علم التماثل (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُستخدم مصطلح "التماثل" (Homology )، الذي ظهر لأول مرة في الطوبولوجيا الجبرية ، في ثلاثة سياقات رئيسية مترابطة. أولًا، هناك تماثل المركب السلسلي ، وهو عبارة عن سلسلة من الزمر الأبيلية تُسمى زمر التماثل ، والتي تُعتبر ثوابت أساسية للمركب السلسلي. ثانيًا، عندما يُمكن ربط مركب سلسلي بكائن رياضي مختلف، يُمكن أيضًا ربط تماثله بذلك الكائن. تُصنف الإجراءات المختلفة لربط المركبات السلسلية بكائن معين ضمن نظريات التماثل . أخيرًا، يُعد التماثل مهمًا في دراسة الفضاءات الطوبولوجية . في ظل شروط معينة، حيث تُنتج نظريات التماثل المختلفة لفضاء طوبولوجي واحد نفس زمر التماثل، يُمكن تعريف تماثل واحد للفضاء الطوبولوجي . يرتبط هذا المفهوم الأخير للتماثل ارتباطًا وثيقًا بالأفكار الطوبولوجية التي تُناقش بكثرة في الرياضيات الشعبية ، مثل ثقوب السطح أو دورات الرسم البياني . هناك أيضًا مفهوم ذو صلة بعلم التماثل لمركب السلسلة المشتركة ، مما أدى إلى ظهور نظريات مختلفة في علم التماثل، بالإضافة إلى مفهوم علم التماثل للفضاء الطوبولوجي .

نبدأ بسلسلة معقدة، وهي عبارة عن تسلسل${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$من المجموعات الأبيلية${\displaystyle C_{n}}$(التي تسمى عناصرها سلاسل ) وتجانسات المجموعات${\displaystyle d_{n}}$(تسمى خرائط الحدود ):

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots }$،

بحيث يكون تركيب أي خريطتين متتاليتين يساوي صفرًا:

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

ال${\displaystyle n}$المجموعة الثالثة من الدورات ،${\displaystyle Z_{n}}$، يتم تحديدها بواسطة المجموعة الفرعية للنواة

${\displaystyle Z_{n}=\ker d_{n}=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$،

و${\displaystyle n}$مجموعة الحدود ،${\displaystyle B_{n}}$، يتم تحديدها بواسطة مجموعة الصور الفرعية

${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$.

ال${\displaystyle n}$مجموعة التماثل th${\displaystyle H_{n}}$إذن، فإن مجموعة القسمة لهذه السلسلة المعقدة هي مجموعة القسمة${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$من الدورات modulo الحدود.

يمكن إضفاء بنية إضافية على المركبات السلسلية: على سبيل المثال، أخذ المجموعات${\displaystyle C_{n}}$أن تكون وحدات فوق حلقة معاملات${\displaystyle R}$وأخذ خرائط الحدود${\displaystyle d_{n}}$يكون${\displaystyle R}$- ينتج عن تماثل الوحدات مجموعات التماثل${\displaystyle H_{n}}$وهي أيضًا وحدات قسمة .

يمكن استخدام أدوات من الجبر المتجانس لربط مجموعات التجانس لمجمعات السلاسل المختلفة.

لربط نظرية التماثل بأنواع أخرى من الكائنات الرياضية، يُحدد أولًا وصفٌ لربط مُركبات السلاسل بهذا الكائن، ثم يُحسب تماثل مُركب السلسلة هذا. ولكي تكون نظرية التماثل صحيحة، يجب أن تتشارك جميع مُركبات السلاسل المرتبطة بالكائن الرياضي نفسه في التماثل. غالبًا ما تُسمى نظرية التماثل الناتجة وفقًا لنوع مُركب السلسلة الموصوف. على سبيل المثال، يُستنتج التماثل الفردي ، وتماثل مورس ، وتماثل خوفانوف ، وتماثل هوتشيلد على التوالي من مُركبات السلاسل الفردية، ومُركبات مورس، ومُركبات خوفانوف، ومُركبات هوتشيلد. في حالات أخرى، مثل تماثل الزمر ، توجد طرق مشتركة متعددة لحساب زمر التماثل نفسها.

في لغة نظرية الفئات ، تُعرَّف نظرية التماثل بأنها نوع من الدوال التي تربط فئة الكائن الرياضي قيد الدراسة بفئة الزمر الأبيلية وتشاكلات الزمر، أو بشكل أعم، بالفئة المقابلة لسلاسل المركبات المرتبطة بها. ويمكن أيضًا صياغة نظريات التماثل كدوال مشتقة على فئات أبيلية مناسبة ، لقياس مدى عدم دقة الدالة المناسبة . ويمكن وصف هذا البناء الأخير صراحةً باستخدام الاستدلالات ، أو بشكل أكثر تجريدًا من منظور الفئات المشتقة أو فئات النموذج .

بغض النظر عن كيفية صياغتها، فإن نظريات التماثل تساعد في توفير معلومات حول بنية الكائنات الرياضية التي ترتبط بها، ويمكن أن تساعد أحيانًا في التمييز بين الكائنات المختلفة.

لعلّ الاستخدام الأكثر شيوعًا لمصطلح "التماثل" هو للدلالة على تماثل الفضاء الطوبولوجي . ففي حالة الفضاءات الطوبولوجية الجيدة بما يكفي، واختيار حلقات المعاملات المتوافقة، فإن أي نظرية تماثل تُحقق بديهيات إيلنبرغ-ستينرود تُنتج نفس مجموعات التماثل التي يُنتجها التماثل المفرد (انظر أدناه) لذلك الفضاء الطوبولوجي، مما يؤدي إلى الإشارة غالبًا إلى "تماثل" ذلك الفضاء، بدلًا من تحديد نظرية التماثل المستخدمة لحساب مجموعات التماثل المعنية.

بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية أحادية البعد، ربما تكون أبسط نظرية تماثلية هي تماثلية المخططات ، والتي يمكن اعتبارها حالة خاصة أحادية البعد من التماثلية التبسيطية ، التي تتضمن تجزئة الفضاء الطوبولوجي إلى تبسيطات . (التبسيطات هي تعميم للمثلثات إلى أي بُعد؛ على سبيل المثال، الحافة في المخطط متماثلة شكليًا مع تبسيط أحادي البعد، والهرم القائم على المثلثات هو تبسيط ثلاثي الأبعاد). يمكن تعميم التماثلية التبسيطية بدورها إلى التماثلية الشاذة ، مما يسمح بخرائط أكثر عمومية للتبسيطات في الفضاء الطوبولوجي. استبدال التبسيطات بأقراص ذات أبعاد مختلفة ينتج عنه بناء ذو ​​صلة يُسمى التماثلية الخلوية .

هناك أيضًا طرق أخرى لحساب مجموعات التماثل هذه، على سبيل المثال عبر تماثل مورس ، أو عن طريق أخذ ناتج نظرية المعامل العالمي عند تطبيقها على نظرية التماثل مثل تماثل تشيك أو (في حالة المعاملات الحقيقية) تماثل دي رام .

إن تماثل الفضاء الطوبولوجي X هو مجموعة من الثوابت الطوبولوجية لـ X ممثلة بمجموعات التماثل الخاصة به$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$ حيث${\displaystyle k^{\rm {th}}}$مجموعة التماثل${\displaystyle H_{k}(X)}$يصف هذا المصطلح، بشكل غير رسمي، عدد الثقوب في X ذات حدود k- الأبعاد. أما الثقب ذو الحدود 0-الأبعاد فهو ببساطة فجوة بين مكونين . وبالتالي،${\displaystyle H_{0}(X)}$يصف المكونات المتصلة بالمسار لـ X. ^{[ 1 ]}

الدائرة أو الكرة أحادية البعد${\displaystyle S^{1}}$

الكرة الثنائية${\displaystyle S^{2}}$الغلاف الخارجي، وليس الجزء الداخلي، للكرة

كرة أحادية البعد${\displaystyle S^{1}}$هي دائرة . لها مكون متصل واحد وثقب حدودي أحادي البعد، ولكن لا توجد بها ثقوب ذات أبعاد أعلى. تُعطى مجموعات التماثل المقابلة على النحو التالي: $${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة الأعداد الصحيحة و${\displaystyle \{0\}}$هي المجموعة التافهة . المجموعة${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$يمثل مجموعة أبيلية مولدة بشكل محدود ، مع مولد واحد يمثل الثقب أحادي البعد الموجود داخل دائرة. ^{[ 2 ]}

كرة ثنائية الأبعاد${\displaystyle S^{2}}$يحتوي على مكون متصل واحد، ولا يحتوي على ثقوب حدودية أحادية البعد، ويحتوي على ثقب حدودي ثنائي البعد، ولا يحتوي على ثقوب ذات أبعاد أعلى. مجموعات التماثل المقابلة هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

بشكل عام بالنسبة للكرة ذات الأبعاد n${\displaystyle S^{n},}$مجموعات التماثل هي $${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

القرص الصلب أو الكرة المزدوجة${\displaystyle B^{2}}$

الطارة${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

كرة ثنائية الأبعاد${\displaystyle B^{2}}$هو قرص صلب. يحتوي على مكون واحد متصل بمسار، ولكن على عكس الدائرة، لا يحتوي على ثقوب ذات أبعاد أعلى. جميع مجموعات التماثل المقابلة تافهة باستثناء${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$بشكل عام، بالنسبة للكرة ذات الأبعاد n${\displaystyle B^{n},}$^{[ 2 ]}$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

يُعرَّف الطارة بأنها حاصل ضرب دائرتين${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$يحتوي الطارة على مكون واحد متصل بمسار، وثقبين مستقلين أحاديي البعد (مشار إليهما بدوائر باللونين الأحمر والأزرق)، وثقب ثنائي البعد يمثل باطن الطارة. مجموعات التماثل المقابلة هي ^{[ 3 ].}$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

إذا كان n من نواتج الفضاء الطوبولوجي X مكتوبًا على النحو التالي${\displaystyle X^{n}}$ثم بشكل عام، بالنسبة لسطح حلقي ذي أبعاد n${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$، $${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ (انظر Torus §  torus n-dimensional torus and Betti number §  More examples لمزيد من التفاصيل).

يشكل الثقبان المستقلان أحاديا البعد مولدين مستقلين في مجموعة أبيلية مولدة بشكل نهائي، معبر عنها كمجموعة الضرب.${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

بالنسبة للمستوى الإسقاطي P ، تُظهر عملية حسابية بسيطة (حيث${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$(هي المجموعة الدورية من الرتبة 2): $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$يتوافق ذلك، كما في الأمثلة السابقة، مع حقيقة وجود مكون واحد متصل.${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$هي ظاهرة جديدة: بشكل بديهي، تتوافق مع حقيقة وجود "حلقة" واحدة غير قابلة للانكماش، ولكن إذا قمنا بتكرار الحلقة مرتين، فإنها تصبح قابلة للانكماش إلى الصفر. تسمى هذه الظاهرة بالالتواء .

يصف النص التالي خوارزمية عامة لإنشاء مجموعات التماثل. قد يكون من الأسهل على القارئ الاطلاع أولاً على بعض الأمثلة البسيطة: تماثل الرسم البياني والتماثل التبسيطي .

يبدأ البناء العام بكائن مثل الفضاء الطوبولوجي X ، حيث يتم أولاً تعريف مُركب سلسلة C ( X ) الذي يُشفّر معلومات حول X. مُركب السلسلة هو سلسلة من الزمر أو الوحدات الأبيلية.${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$متصلة بتشاكلات${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$والتي تُسمى عوامل الحدود . ^{[ 3 ]} أي،

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

حيث يرمز الصفر إلى المجموعة التافهة و${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$لـ i < 0. كما يُشترط أن يكون تركيب أي مؤثرين حدوديين متتاليين تافهاً. أي، لجميع قيم n ،

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

أي، الخريطة الثابتة التي ترسل كل عنصر من${\displaystyle C_{n+1}}$لهوية المجموعة في${\displaystyle C_{n-1}.}$

القول بأن حدود الحدود تافهة يعادل القول بأن${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$، أين${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$يشير إلى صورة عامل الحدود و${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$نواتها . عناصر من${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$تُسمى هذه الحدود وعناصرها${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$تُسمى هذه الدورات .

بما أن كل زمرة سلسلة C _n هي زمرة تبديلية، فإن جميع زمرها الجزئية تكون طبيعية. إذن، لأن${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$هي مجموعة فرعية من C _n ،${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$أبيلية، وبما${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$لذلك${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ثم يمكن إنشاء مجموعة القسمة

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\operatorname {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

تُسمى المجموعة H _n(X) مجموعة التماثل النونية لـ X. تُسمى عناصر H _{_n} ( X ) فئات التماثل . كل فئة تماثل هي فئة تكافؤ على الدورات، ويُقال إن دورتين في نفس فئة التماثل متماثلتان . ^{[ 4 ]}

يُقال إن مُركّب السلسلة دقيق إذا كانت صورة التطبيق ( ن + ١) تساوي دائمًا نواة التطبيق ن . ولذلك، تقيس مجموعات التماثل لـ X مدى بُعد مُركّب السلسلة المرتبط بـ X عن الدقة. ^{[ ٥ ]}

يتم تعريف مجموعات التماثل المختزلة لمركب السلسلة C ( X ) على أنها تماثلات لمركب السلسلة المعزز ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

حيث عامل الحدود${\displaystyle \varepsilon }$يكون

${\displaystyle \varepsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

للحصول على مزيج${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$من النقاط${\displaystyle \sigma _{i},}$وهي المولدات الثابتة لـ C _0. مجموعات التماثل المختزلة${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$يتزامن مع${\displaystyle H_{i}(X)}$ل${\displaystyle i\neq 0.}$الإضافي${\displaystyle \mathbb {Z} }$يمثل مجمع السلسلة الخريطة الفريدة${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$من المجسم البسيط الفارغ إلى X.

حساب الدورة${\displaystyle Z_{n}(X)}$والحدود${\displaystyle B_{n}(X)}$عادةً ما تكون المجموعات صعبة نوعًا ما نظرًا لوجود عدد كبير جدًا من المولدات فيها. من ناحية أخرى، توجد أدوات تُسهّل هذه المهمة.

تُعرَّف مجموعات التماثل التبسيطي H_n(X) للمركب التبسيطي X باستخدام مركب السلسلة التبسيطي C ( X ₎ ، حيث C _n ( X ) هي _{المجموعة} الأبيلية الحرة المولدة بواسطة التبسيطات n من X. انظر التماثل التبسيطي لمزيد من التفاصيل.

يتم تعريف مجموعات التماثل المفردة H _n ( X ) لأي فضاء طوبولوجي X ، وتتفق مع مجموعات التماثل التبسيطية للمركب التبسيطي.

تتشابه مجموعات التماثل المشترك شكليًا مع مجموعات التماثل: يبدأ المرء بمركب سلسلة مشتركة ، وهو نفسه مركب السلسلة ولكن أسهمه، التي يُشار إليها الآن بـ${\displaystyle d_{n},}$تشير إلى اتجاه زيادة n بدلاً من تقليل n ؛ ثم المجموعات${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$من الدورات المشتركة و${\displaystyle \operatorname {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$تُستنتج حدود التماثل من نفس الوصف. وتكون مجموعة التماثل من الرتبة n لـ X هي مجموعة القسمة.

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

قياساً على مجموعة التماثل النونية .

مجموعة التماثل النونية${\displaystyle \pi _{n}(X)}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هي مجموعة فئات التماثل للخرائط التي تحافظ على نقطة الأساس من${\displaystyle n}$-جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$ل${\displaystyle X}$، في ظل عملية التجميع. المجموعة الأساسية للتماثل هي المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X)}$للاتصال${\displaystyle X}$تصف نظرية هوريفيتش التشاكل${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$يُطلق عليه اسم تماثل هوريفيتش.${\displaystyle n>1}$قد يكون هذا التشاكل معقدًا، ولكن عندما${\displaystyle n=1}$، يتطابق تشاكل هوريفيتش مع التبديل . أي،${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$هي شاملة ونواتها هي مجموعة التبديل الفرعية لـ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$وبالتالي فإن${\displaystyle H_{1}(X)}$متماثل مع التبديلية لـ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$قد يكون حساب مجموعات التماثل العليا صعباً في بعض الأحيان. على سبيل المثال، مجموعات التماثل للكرات غير مفهومة جيداً وغير معروفة بشكل عام، على عكس الوصف المباشر المذكور أعلاه لمجموعات التماثل.

لـ${\displaystyle n=1}$على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle X}$الشكل ثمانية . وكالعادة، زمرة التماثل الأولى له، أو الزمرة الأساسية ،${\displaystyle \pi _{1}(X)}$هي مجموعة فئات التماثل للحلقات الموجهة التي تبدأ وتنتهي عند نقطة محددة مسبقًا (مثل مركزها). وهي متماثلة مع المجموعة الحرة من الرتبة 2.${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$وهي ليست تبادلية: فالدوران حول الدورة اليسرى ثم حول الدورة اليمنى يختلف عن الدوران حول الدورة اليمنى ثم الدوران حول الدورة اليسرى. على النقيض من ذلك، فإن مجموعة التماثل الأولى للشكل ثمانية${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$هي أبيلية. وللتعبير عن ذلك صراحةً من حيث فئات التماثل للدورات، يمكن للمرء أن يأخذ فئة التماثل${\displaystyle l}$من الدورة اليسرى وفئة التماثل${\displaystyle r}$من الدورة اليمنى كعناصر أساسية لـ${\displaystyle H_{1}(X)}$مما يسمح لنا بالكتابة${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$.

تنشأ الأنواع المختلفة لنظرية التماثل من الدوال التي تربط فئات متنوعة من الكائنات الرياضية بفئة المركبات السلسلية. في كل حالة، يُحدد تركيب الدالة من الكائنات إلى المركبات السلسلية والدالة من المركبات السلسلية إلى مجموعات التماثل الدالة التماثلية الكلية للنظرية. ^{[ 7 ]}

تشكل المركبات السلسلية فئة : تشاكل من المركب السلسلي (${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$) إلى سلسلة معقدة (${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$) عبارة عن سلسلة من التشاكلات${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$بحيث${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$لكل n . يمكن اعتبار التماثل n -th H _n بمثابة دالة متغيرة من فئة المركبات السلسلية إلى فئة المجموعات الأبيلية (أو الوحدات).

إذا كان المركب السلسلي يعتمد على الكائن X بطريقة متغيرة (بمعنى أن أي تشاكل${\displaystyle X\to Y}$يحفز تشاكل من المركب السلسلي لـ X إلى المركب السلسلي لـ Y )، ثم تكون H _n دوالًا متغيرة من الفئة التي ينتمي إليها X إلى فئة المجموعات الأبيلية (أو الوحدات).

الفرق الوحيد بين علم التماثل وعلم التماثل المشترك هو أنه في علم التماثل المشترك تعتمد مجمعات السلسلة بطريقة متغايرة على X ، وبالتالي فإن مجموعات التماثل (التي تسمى مجموعات التماثل المشترك في هذا السياق ويرمز لها بـ H ⁿ ) تشكل دوال متغايرة من الفئة التي ينتمي إليها X إلى فئة المجموعات أو الوحدات الأبيلية.

لو (${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$إذا كان لدينا مُركب سلسلة بحيث تكون جميع عناصره، باستثناء عدد محدود منها، _تساوي صفرًا، والعناصر الأخرى عبارة عن زمر أبيلية مولدة توليدًا منتهيًا (أو فضاءات متجهة منتهية الأبعاد)، فيمكننا تعريف خاصية أويلر.

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(باستخدام الرتبة في حالة الزمر الأبيلية وبُعد هامل في حالة الفضاءات المتجهة). واتضح أنه يمكن أيضًا حساب خاصية أويلر على مستوى التماثل:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

ويوفر هذا، وخاصة في الطوبولوجيا الجبرية، طريقتين لحساب الثابت المهم${\displaystyle \chi }$بالنسبة للكائن X الذي أدى إلى ظهور المركب السلسلي.

كل تسلسل قصير دقيق

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

يؤدي تكوين معقدات السلسلة إلى ظهور سلسلة طويلة ودقيقة من مجموعات التماثل

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

جميع الخرائط في هذا التسلسل الطويل الدقيق ناتجة عن الخرائط بين سلاسل المركبات، باستثناء الخرائط${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$تُسمى هذه الأخيرة بالتشاكلات الرابطة، وتُستمد من مبرهنة الزجزاج . ويمكن تطبيق هذه المبرهنة على علم التماثل بطرق عديدة تُساعد في حساب مجموعات التماثل، مثل نظريات التماثل النسبي ومتتاليات ماير-فيتوريس .

طُوِّرت العديد من حزم البرامج لحساب مجموعات التماثل للمجمعات الخلوية المحدودة. Linbox مكتبة C++ لإجراء عمليات سريعة على المصفوفات، بما في ذلك صيغة سميث المعيارية ؛ وهي تتكامل مع كل من Gap و Maple . Chomp و CAPD::Redhom ( مؤرشفة في 15 يوليو 2013 على Wayback Machine) و Perseus مكتوبة أيضًا بلغة C++. تُطبِّق هذه البرامج الثلاثة خوارزميات معالجة مسبقة تعتمد على تكافؤ التماثل البسيط ونظرية مورس المنفصلة لإجراء اختزالات تحافظ على التماثل للمجمعات الخلوية المدخلة قبل اللجوء إلى جبر المصفوفات. Kenzo مكتوب بلغة Lisp، وبالإضافة إلى التماثل، يمكن استخدامه أيضًا لإنشاء عروض لمجموعات التماثل للمجمعات التبسيطية المحدودة. يتضمن Gmsh محلل تماثل لشبكات العناصر المحدودة، والذي يمكنه إنشاء قواعد التماثل القابلة للاستخدام مباشرةً بواسطة برامج العناصر المحدودة. ^{[ 12 ]}

• رقم بيتي
• مساحة للدراجات
• علم التماثل دي رام
• بديهيات إيلنبرغ-ستينرود
• نظرية التماثل غير العادية
• الجبر المتماثل
• التخمينات الهومولوجيّة في الجبر التبادلي
• الاتصال المتماثل
• البعد المتماثل
• مجموعة متجانسة
• نظرية كونيث
• قائمة بنظريات التماثل المشترك – تتضمن أيضًا قائمة بنظريات التماثل
• ازدواجية بوانكاريه

• كارتان، هنري بول ؛ إيلنبرغ، صموئيل (1956). الجبر التماثلي . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد  19. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780674079779. OCLC 529171 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• إيدلسبرونر، هربرت؛ هارير، جون ل. (2010). "الطوبولوجيا الحاسوبية: مقدمة". الجمعية الرياضية الأمريكية .
• إيلنبرغ، صموئيل؛ مور، جيه سي (1965). أسس الجبر التماثلي النسبي . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد  55. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982 . 
• جوورز، تيموثي ؛ بارو-جرين، جون ؛ ليدر، إيمري، محرران (2010)، دليل برينستون للرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9781400830398.
• هاتشر، أ. (2002)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-79540-0. مناقشة مفصلة لنظريات التماثل للمجمعات والمتشعبات التبسيطية، والتماثل الفردي، وما إلى ذلك.
• هيلتون، بيتر (1988)، "تاريخ موجز وذاتي لنظرية التماثل والتماثل في هذا القرن"، مجلة الرياضيات ، 60 (5)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 282-291 ، doi : 10.1080/0025570X.1988.11977391 ، JSTOR 2689545 
• كاتشينسكي، توماسز؛ ميشايكو، كونستانتين؛ مروزك، ماريان (2004). التماثل الحسابي . سبرينغر. رقم ISBN 9780387215976.
• ريتشسون، د. (2008)، جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح ونشأة علم الطوبولوجيا ، جامعة برينستون.
• سبانير، إدوين هـ. (1966)، الطوبولوجيا الجبرية ، سبرينغر، ص  155، ISBN 0-387-90646-0.
• ستيلويل، جون (1993)، "نظرية التماثل والتحويل الأبلي"، الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية الزمر التوافقية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  72، سبرينغر، الصفحات 169-184 ، doi : 10.1007/978-1-4612-4372-4_6 ، ISBN  978-0-387-97970-0.
• تايشر، م. ، محرر (1999)، إرث إيمي نوثر ، وقائع المؤتمر الرياضي الإسرائيلي، جامعة بار إيلان / الجمعية الرياضية الأمريكية / مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-851045-1، OCLC 223099225 
• ويبل، تشارلز أ. (1999)، "28. تاريخ الجبر التماثلي" (ملف PDF) ، في جيمس، آي إم (محرر)، تاريخ الطوبولوجيا ، إلسيفير، رقم ISBN 9780080534077.

• مجموعة التماثل في موسوعة الرياضيات
• الطوبولوجيا الجبرية - ألين هاتشر - الفصل الثاني عن علم التماثل