مشاركة الأسرار الكمومية

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ نظام مشاركة الأسرار الكمومية ( QSS ) نظام تشفير كمومي للاتصالات الآمنة ، وهو يتجاوز مجرد توزيع المفاتيح الكمومية . فهو يُعدّل نظام مشاركة الأسرار الكلاسيكي (CSS) باستخدام المعلومات الكمومية ونظرية عدم الاستنساخ لتحقيق أعلى مستويات الأمان للاتصالات.

تعتمد طريقة تبادل الأسرار على مُرسِل يرغب في مشاركة سر مع عدد من المُستقبِلين، بحيث لا يُكشف السر بالكامل إلا إذا تعاون عدد كافٍ منهم. أما إذا لم يتعاون عدد كافٍ من المُستقبِلين لكشف السر، فإنه يبقى مجهولاً تماماً.

اقترح آدي شامير [ 1 ] وجورج بلاكلي [ 2 ] المخطط الكلاسيكي بشكل مستقل عام 1979. وفي عام 1998، وسّع مارك هيليري وفلاديمير بوزيك وأندريه بيرثيوم النظرية لتشمل استخدام الحالات الكمومية لإنشاء مفتاح آمن يمكن استخدامه لنقل السر عبر البيانات الكلاسيكية. [ 3 ] وفي السنوات اللاحقة، بُذلت جهود إضافية لتوسيع النظرية لتشمل نقل المعلومات الكمومية كسر، بدلاً من مجرد استخدام الحالات الكمومية لإنشاء مفتاح التشفير. [ 4 ] [ 5 ]

تم اقتراح استخدام QSS في النقود الكمومية [ 6 ] وكذلك في الحسابات المشتركة ، والشبكات الكمومية ، والحوسبة الكمومية الموزعة ، من بين تطبيقات أخرى.

بروتوكول

أبسط الحالات: دول الجيجا هرتز

يتبع هذا المثال المخطط الأصلي الذي وضعه هيليري وآخرون عام ١٩٩٨، والذي يستخدم حالات غرينبرغر-هورن-زيلينغر (GHZ) . وقد طُوِّر مخطط مشابه بعد ذلك بفترة وجيزة، استخدم حالات متشابكة ثنائية الجسيمات بدلاً من حالات ثلاثية الجسيمات. [ ٧ ] في كلتا الحالتين، يُعد البروتوكول في جوهره امتدادًا لتوزيع المفاتيح الكمومية إلى مُستقبِلَين بدلاً من مُستقبِل واحد.

باتباع اللغة المعتادة، لنفترض أن المرسل هو أليس، والمستقبلان هما بوب وتشارلي. هدف أليس هو إرسال "حصة" من مفتاحها السري (وهو في الواقع مجرد حالة كمومية) إلى كل مستقبل على النحو التالي:

  1. لا تحتوي حصة بوب ولا حصة تشارلي على أي معلومات حول رسالة أليس الأصلية، وبالتالي لا يستطيع أي منهما استخراج السر بمفرده.
  2. لا يمكن استخراج السر إلا إذا عمل بوب وتشارلي معًا، وفي هذه الحالة يتم الكشف عن السر بالكامل.
  3. يمكن اكتشاف وجود متجسس خارجي أو متلقي غير أمين (إما بوب أو تشارلي) دون الكشف عن السر.

تبدأ أليس البروتوكول بمشاركة كل من بوب وتشارلي جسيم واحد من ثلاثية GHZ في أساس Z (القياسي)، مع احتفاظها بالجسيم الثالث بنفسها:

|Ψ⟩جيحZ=|٠٠٠⟩+|111⟩2،{\displaystyle |\mathrm {\Psi} \rangle _{\rm {GHZ}}={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}},}

أين|0⟩{\displaystyle |\mathrm {0} \rangle }و|1⟩{\displaystyle |\mathrm {1} \rangle }هي أنماط متعامدة في فضاء هيلبرت عشوائي .

بعد أن يقيس كل مشارك جسيمه في أساس X أو Y (يتم اختيارهما عشوائيًا)، يتبادلون (عبر قناة عامة تقليدية ) الأساس الذي استخدموه في القياس، دون الكشف عن النتيجة نفسها. وبدمج نتائج قياساتهم، يستطيع بوب وتشارلي استنتاج ما قاسه أليس في 50% من الحالات. بتكرار هذه العملية عدة مرات، وباستخدام نسبة صغيرة للتحقق من عدم وجود جهات خبيثة، يستطيع المشاركون الثلاثة إنشاء مفتاح مشترك للتواصل الآمن. إليك مثالًا واضحًا لكيفية عمل ذلك.

لنعرّف الحالات الذاتية x و y بالطريقة القياسية التالية:

|+x⟩=|0⟩+|1⟩2،|-x⟩=|0⟩-|1⟩2{\displaystyle |\mathrm {+x} \rangle ={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},|\mathrm {-x} \rangle ={\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}
|+y⟩=|0⟩+أنا|1⟩2،|-y⟩=|0⟩-أنا|1⟩2{\displaystyle |\mathrm {+y} \rangle ={\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},|\mathrm {-y} \rangle ={\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}}.

ويمكن إعادة كتابة حالة GHZ على النحو التالي

|Ψ⟩جيحZ=122[(|+x⟩أ|+x⟩ب+|-x⟩أ|-x⟩ب)(|0⟩ج+|1⟩ج)+(|+x⟩أ|-x⟩ب+|-x⟩أ|+x⟩ب)(|0⟩ج-|1⟩ج)]{\displaystyle |\mathrm {\Psi } \rangle _{\rm {GHZ}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}[({|+x\rangle _{a}|+x\rangle _{b}+|-x\rangle _{a}|-x\rangle _{b}})(|0\rangle _{c}+|1\rangle _{c})+({|+x\rangle _{a}|-x\rangle _{b}+|-x\rangle _{a}|+x\rangle _{b}})(|0\rangle _{c}-|1\rangle _{c})]}،

حيث تُمثل (أ، ب، ج) الجسيمات الخاصة بـ (أليس، بوب، تشارلي)، وقد كُتبت حالات أليس وبوب في أساس X. باستخدام هذا الشكل، يتضح وجود ارتباط بين قياسات أليس وبوب وحالة تشارلي كجسيم منفرد.

إذا كانت نتائج أليس وبوب مترابطة، فإن تشارلي يمتلك الحالة|0⟩ج+|1⟩ج2{\displaystyle {\frac {|0\rangle _{c}+|1\rangle _{c}}{\sqrt {2}}}}وإذا كانت نتائج أليس وبوب مترابطة عكسيًا، فإن تشارلي يمتلك الحالة|0⟩ج-|1⟩ج2{\displaystyle {\frac {|0\rangle _{c}-|1\rangle _{c}}{\sqrt {2}}}}.

تأثير قياسات أليس وبوب على حالة تشارلي بالنسبة للثلاثية القياسية GHZ.

يتضح من الجدول الذي يلخص هذه الارتباطات أنه بمعرفة قواعد قياس أليس وبوب، يستطيع تشارلي استخدام نتيجة قياسه لاستنتاج ما إذا كانت نتائج أليس وبوب متطابقة أم متعاكسة. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه لإجراء هذا الاستنتاج، يجب على تشارلي اختيار قاعدة القياس الصحيحة لقياس جسيمه. وبما أنه يختار عشوائيًا بين قاعدتين غير تبادليتين، فلن يتمكن من استخلاص معلومات مفيدة إلا في نصف الحالات. أما في النصف الآخر، فيجب تجاهل النتائج. إضافةً إلى ذلك، يُلاحظ من الجدول أن تشارلي لا يملك وسيلة لتحديد من قاس ماذا، بل فقط ما إذا كانت نتائج أليس وبوب مترابطة أم متعاكسة. لذا، فإن السبيل الوحيد أمام تشارلي لمعرفة قياس أليس هو التعاون مع بوب ومشاركة نتائجهما. وبذلك، يستطيعان استخلاص نتائج أليس لكل قياس، واستخدام هذه المعلومات لإنشاء مفتاح تشفير لا يعرفه سواهما.

مخطط العتبة (( k , n ))

يمكن توسيع الحالة البسيطة المذكورة أعلاه بشكل مشابه لما تم في CSS بواسطة شامير وبليكلي عبر مخطط عتبة . في مخطط العتبة (( k , n )) (حيث يشير القوسان المزدوجان إلى مخطط كمي)، تقسم أليس مفتاحها السري (الحالة الكمية) إلى n جزءًا بحيث يكون أي عدد k ≤ n جزءًا مطلوبًا لاستخراج المعلومات الكاملة، بينما لا يمكن لأي عدد k-1 أو أقل استخراج أي معلومات حول مفتاح أليس.

عدد المستخدمين اللازمين لاستخراج السر محدود بـ n /2 < k ≤ n . لنفترض أنه عندما يكون n ≥ 2k ، إذا طُبِّقَ مخطط عتبة (( k , n )) على مجموعتين منفصلتين من k في n ، فإنه يمكن إعادة بناء نسختين مستقلتين من سر أليس. وهذا بالطبع يُخالف نظرية عدم الاستنساخ، ولذلك يجب أن يكون n أقل من 2k.

طالما وُجد مخطط عتبة (( k , n )) ، يُمكن إنشاء مخطط عتبة (( k , n -1)) ببساطة عن طريق استبعاد حصة واحدة. يُمكن تكرار هذه الطريقة حتى k=n.

يوضح ما يلي مخطط عتبة بسيط ((2,3))، [ 4 ] ويمكن تخيل مخططات أكثر تعقيدًا عن طريق زيادة عدد الحصص التي تقسم إليها أليس حالتها الأصلية:

لنفترض أن أليس بدأت بحالة الكيوتريت المفردة

|Ψ⟩أ=α|0⟩+β|1⟩+γ|2⟩،{\displaystyle |\mathrm {\Psi} \rangle _{a}=\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle +\gamma |2\rangle ,}

ثم تحويلها إلى ثلاثة كيوبتات

|ψ⟩=α(|٠٠٠⟩+|111⟩+|222⟩)+β(|012⟩+|120⟩+|201⟩)+γ(|021⟩+|102⟩+|210⟩){\displaystyle |\mathrm {\psi } \rangle =\alpha (|000\rangle +|111\rangle +|222\rangle )+\beta (|012\rangle +|120\rangle +|201\rangle )+\gamma (|021\rangle +|102\rangle +|210\rangle )}

ويتم مشاركة كيوبت واحد مع كل من المستقبلين الثلاثة. من الواضح أن مشاركة واحدة لا تُعطي أي معلومات عن حالة أليس الأصلية، لأن كل مشاركة تكون في حالة المزج القصوى. مع ذلك، يمكن استخدام مشاركتين لإعادة بناء حالة أليس الأصلية. لنفترض أن أول مشاركتين معطيتان. أضف المشاركة الأولى إلى الثانية (باقي القسمة على ثلاثة)، ثم أضف القيمة الجديدة للمشاركة الثانية إلى الأولى. الحالة الناتجة هي

|ψ⟩=(α|0⟩+β|1⟩+γ|2⟩)(|٠٠⟩+|12⟩+|21⟩){\displaystyle |\mathrm {\psi } \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle +\gamma |2\rangle )(|00\rangle +|12\rangle +|21\rangle )}

حيث يمثل الكيوبت الأول حالة أليس الأصلية تمامًا. بهذه الطريقة، يمكن إعادة بناء الحالة الأصلية للمرسل عند أحد جسيمات المستقبل، ولكن من الضروري عدم إجراء أي قياسات أثناء عملية إعادة البناء هذه، وإلا سينهار أي تراكب داخل الحالة الكمومية.

حماية

يعتمد أمان نظام QSS على نظرية عدم الاستنساخ للحماية من المتنصتين المحتملين والمستخدمين غير النزيهين. يتبنى هذا القسم بروتوكول التشابك ثنائي الجسيمات المذكور بإيجاز شديد أعلاه. [ 7 ]

التنصت

يعد بروتوكول QSS بتوفير الحماية ضد التنصت بنفس طريقة توزيع المفاتيح الكمومية. لنفترض وجود متنصتة، اسمها إيف، قادرة على التمييز التام بين الحالات الكمومية المستخدمة في بروتوكول QSS وإنشائها. هدف إيف هو اعتراض إحدى حصص المُستقبِل (مثلاً حصة بوب)، وقياسها، ثم إعادة إنشاء الحالة وإرسالها إلى المُستقبِل الأصلي. تكمن المشكلة في هذه الطريقة في أن إيف تحتاج إلى اختيار أساس عشوائي للقياس، وفي نصف الحالات ستختار الأساس الخاطئ. عندما تختار الأساس الصحيح، ستحصل على نتيجة القياس الصحيحة بكل تأكيد، ويمكنها إعادة إنشاء الحالة التي قاستها وإرسالها إلى بوب دون أن يتم اكتشاف وجودها. أما عندما تختار الأساس الخاطئ، فسترسل إحدى الحالتين من الأساس الخاطئ. سيقيس بوب الحالة التي أرسلتها إليه، وفي نصف الحالات سيكون هذا هو الكشف الصحيح، ولكن فقط لأن الحالة من الأساس الخاطئ هي تراكب متساوٍ للحالتين في الأساس الصحيح. وبالتالي، في نصف الحالات التي تقيس فيها إيف على أساس خاطئ، وبالتالي ترسل الحالة غير الصحيحة، سيقيس بوب الحالة الخاطئة. يؤدي هذا التدخل من جانب إيف إلى حدوث خطأ في البروتوكول في 25% إضافية من التجارب. لذلك، مع عدد كافٍ من القياسات، سيكون من شبه المستحيل تفويت أخطاء البروتوكول التي تحدث باحتمالية 75% بدلاً من احتمالية 50% التي تنبأت بها النظرية، مما يشير إلى وجود متنصت داخل قناة الاتصال.

يمكن تنفيذ استراتيجيات تنصت أكثر تعقيدًا باستخدام حالات مساعدة، ولكن سيظل من الممكن اكتشاف المتنصت بطريقة مماثلة.

مشارك غير أمين

لنفترض الآن أن أحد المشاركين في البروتوكول (لنفترض بوب) يتصرف كمستخدم خبيث محاولًا الحصول على السر دون علم المشاركين الآخرين. بتحليل الاحتمالات، يتضح أن اختيار الترتيب الصحيح الذي يُصدر به بوب وتشارلي قواعد بيانات القياس ونتائجها عند اختبار التنصت، يُمكن أن يضمن كشف أي غش محتمل. والترتيب الصحيح هو:

  1. يقوم جهاز الاستقبال رقم 1 بإصدار نتائج القياس.
  2. يقوم جهاز الاستقبال 2 بإصدار نتائج القياس.
  3. يقوم جهاز الاستقبال 2 بإصدار أساس القياس.
  4. يقوم جهاز الاستقبال 1 بتحرير أساس القياس.

يمنع هذا الترتيب المُستقبِل الثاني من معرفة الأساس الذي سيشاركه لخداع المشاركين الآخرين، لأنه لا يعلم بعدُ الأساس الذي سيُعلنه المُستقبِل الأول. وبالمثل، بما أن المُستقبِل الأول مُلزم بنشر نتائجه أولًا، فلا يمكنه التحكم في ما إذا كانت القياسات مُرتبطة أو مُتضادة بالنسبة لمجموعة الأسس المُستخدمة. وبهذه الطريقة، يُؤدي التصرّف غير النزيه إلى أخطاء في مرحلة اختبار المُتنصّت، سواءً كان المُستقبِل الأول أو الثاني. لذا، يجب اختيار ترتيب نشر البيانات بعناية لمنع أي مُستخدم غير نزيه من الحصول على السر دون أن يلاحظه المشاركون الآخرون.

التنفيذ التجريبي

يأتي هذا القسم من أول عرض تجريبي لظاهرة QSS في عام 2001 والذي أصبح ممكناً بفضل التقدم في تقنيات البصريات الكمومية . [ 8 ]

كانت الفكرة الأصلية لتطبيق QSS باستخدام حالات GHZ أكثر صعوبة في التنفيذ بسبب صعوبة إنتاج ارتباطات ثلاثية الجسيمات عبر عمليات التحويل السفلي معχ3{\displaystyle \chi ^{3}}اللاخطية أو إفناء البوزيترونيوم بثلاثة فوتونات، وكلاهما حدثان نادران. [ 9 ] بدلاً من ذلك، أُجريت التجربة الأصلية عبر مخطط الجسيمين باستخدام معيار قياسيχ2{\displaystyle \chi ^{2}}عملية التحويل البارامتري التلقائي (SPDC) مع الفوتون الثالث المرتبط الذي يكون فوتون الضخ.

إعداد مشاركة الأسرار الكمومية ثنائية الفوتون (QSS) عبر التحويل البارامتري التلقائي (SPDC)

يعمل الإعداد التجريبي على النحو التالي:

  • أليس: شعاع ليزر نابض ينبعث في وقتت0{\displaystyle t_{0}}يدخل شعاع الضخ إلى مقياس تداخل ذي مسارين غير متساويين، بحيث ينقسم إلى نبضتين زمنيتين متميزتين متساويتين في السعة. يحتوي أحد ذراعي مقياس التداخل على مُغيّر طور للتحكم في فرق الطور بين الذراعين، ويُشار إليه بـα.{\displaystyle \alpha .}تُركز نبضات الضخ على بلورة غير خطية حيث يتم تحويل بعض فوتونات الضخ إلى أزواج من الفوتونات عبر تحويل الفوتونات التلقائي (SPDC). ثم يتم تقسيم أزواج SPDC، حيث يتم إرسال أحدها إلى بوب والآخر إلى تشارلي.
  • بوب وتشارلي: يحتوي كلا جهازي الاستقبال على مقياس تداخل متطابق مع ذلك الذي استخدمته أليس، بحيث يتم تحقيق نفس فرق التوقيت بين الذراعين، ويحتوي كل منهما على مُزحزح طور يُشار إليه بـβ{\displaystyle \beta }لبوب وγ{\displaystyle \gamma }بالنسبة لتشارلي. تؤدي المسارات المختلفة المحتملة لكل مقياس تداخل إلى ثلاثة فروق زمنية متميزة بين وقت انبعاث نبضة الضخ الخاصة بأليس ووقت اكتشاف فوتونات SPDC الخاصة ببوب وتشارلي (تب{\displaystyle t_{B}}وتج{\displaystyle t_{C}}، على التوالي)، بالإضافة إلى ثلاثة فروق زمنية بين عمليات الكشف في كل من أجهزة الكشف الخاصة بـ Bob و Charlie.

استخدام|X⟩أنا،|Y⟩ج{\displaystyle |\mathrm {X} \rangle _{i},|\mathrm {Y} \rangle _{j}}حيث يمثل X و Y إما 'S' للمسار القصير أو 'L' للمسار الطويل، ويمثل i و j أحد الرموز 'A' أو 'B' أو 'C' لتسمية مقياس التداخل الخاص بالمشارك، يصف هذا الترميز المسار العشوائي الذي يسلكه أي مزيج من مشاركين. لاحظ أن|S⟩أ،|ل⟩ج{\displaystyle |\mathrm {S} \rangle _{A},|\mathrm {L} \rangle _{j}}و|ل⟩أ،|S⟩ج{\displaystyle |\mathrm {L} \rangle _{A},|\mathrm {S} \rangle _{j}}حيث تكون قيمة j إما 'B' أو 'C'، فإن العمليتين متطابقتان تمامًا لأن الفرق الزمني بينهما متطابق تمامًا. وينطبق الأمر نفسه على|S⟩ب،|S⟩ج{\displaystyle |\mathrm {S} \rangle _{B},|\mathrm {S} \rangle _{C}}و|ل⟩ب،|ل⟩ج.{\displaystyle |\mathrm {L} \rangle _{B},|\mathrm {L} \rangle _{C}.}وصف هذه العمليات التي لا يمكن تمييزها رياضياً،

|ψ⟩=12(|ل⟩أ،|S⟩ب|S⟩ج+هـأنا(α+β+γ)|S⟩أ،|ل⟩ب|ل⟩ج))،{\displaystyle |\mathrm {\psi } \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|L\rangle _{A},|S\rangle _{B}|S\rangle _{C}+e^{i(\alpha +\beta +\gamma )}|S\rangle _{A},|L\rangle _{B}|L\rangle _{C})),}

ويمكن اعتبار ذلك حالة "شبه GHZ"، حيث يكمن الفرق بينها وبين حالة GHZ الحقيقية في أن الفوتونات الثلاثة لا تتواجد في آن واحد. ومع ذلك، يمكن وصف "التزامن" الثلاثي بنفس دالة الاحتمال المستخدمة في حالة GHZ الحقيقية.

Pأنا،ج،ك=18(1+أناجككوس⁡(α+β+γ))،{\displaystyle P_{i,j,k}={\frac {1}{8}}(1+ijk\cos(\alpha +\beta +\gamma )),}

مما يعني أن QSS ستعمل بنفس الطريقة بالنسبة لهذا المصدر المكون من جسيمين.

من خلال تحديد المراحلα،β،{\displaystyle \alpha ,\beta ,}وγ{\displaystyle \gamma }إما إلى 0 أوπ2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}وبنفس الطريقة التي يتم بها اختبار بيل ثنائي الفوتون ، يمكن إثبات أن هذا الإعداد ينتهك متباينة من نوع بيل لثلاثة جسيمات.

S3=|هـ(α′+β+γ)+هـ(α+β′+γ)+هـ(α+β+γ′)-هـ(α′+β′+γ′)|≤2{\displaystyle S_{3}=|E(\alpha '+\beta +\gamma )+E(\alpha +\beta '+\gamma )+E(\alpha +\beta +\gamma ')-E(\alpha '+\beta '+\gamma ')|\leq {2}}،

أينهـ(α+β+γ){\displaystyle E(\alpha +\beta +\gamma )}القيمة المتوقعة لقياس التزامن مع إعدادات مُغير الطور(α،β،γ){\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}في هذه التجربة، تم انتهاك متباينة بيل، معSهـxص=3.69{\displaystyle S_{\rm {exp}}=3.69}مما يشير إلى أن هذا الإعداد يُظهر خاصية عدم التمركز الكمومي .

أظهرت هذه التجربة الرائدة أن الارتباطات الكمومية الناتجة عن هذا الإعداد يمكن وصفها بالفعل بواسطة دالة الاحتمال.Pأنا،ج،ك.{\displaystyle P_{i,j,k}.}سمحت بساطة مصدر SPDC بحدوث تطابقات بمعدلات أعلى بكثير من مصادر التشابك التقليدية ثلاثية الفوتونات، مما جعل تقنية QSS أكثر عملية. وكانت هذه أول تجربة تثبت جدوى بروتوكول QSS.

مراجع

  1. ↑ شامير، عدي (1 نوفمبر 1979). "كيفية مشاركة سر" ( ملف PDF) . مجلة اتصالات رابطة آلات الحوسبة . 22 (11): 612-613 . doi : 10.1145/359168.359176 . S2CID 16321225. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 10 أغسطس 2017. 
  2. ↑ بلاكلي، جي آر (1979). "حماية مفاتيح التشفير" (ملف PDF) . إدارة متطلبات المعرفة، ورشة العمل الدولية حول (AFIPS) . 48 : 313-317 . doi : 10.1109/AFIPS.1979.98 . S2CID 38199738. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 28-06-2018. 
  3. ↑ هيليري، مارك؛ بوزيك، فلاديمير؛ بيرثيوم، أندريه (1998). "مشاركة الأسرار الكمومية". مجلة Physical Review A. 59 ( 3): 1829–1834 . arXiv : quant-ph/9806063 . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1829 . S2CID 55165469 . 
  4. 1 2 كليف، ريتشارد؛ غوتسمان، دانيال؛ لو، هوي-كوونغ (1999). "كيفية مشاركة سر كمومي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 83 (3): 648-651 . arXiv : quant-ph/9901025 . Bibcode : 1999PhRvL..83..648C . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.648 . S2CID 7397021 . 
  5. ↑ غوتسمان، دانيال (2000). "نظرية مشاركة الأسرار الكمومية" . مجلة Physical Review A. 61 ( 4) 042311. arXiv : quant-ph/9910067 . Bibcode : 2000PhRvA..61d2311G . doi : 10.1103/PhysRevA.61.042311 . S2CID 45581685. تاريخ الاسترجاع: 14 ديسمبر 2021 . 
  6. ↑ ويزنر، ستيفن (يناير 1983). "الترميز المترافق". أخبار ACM SIGACT . 15 (1): 78-88 . doi : 10.1145/1008908.1008920 . S2CID 207155055 . 
  7. 1 2 كارلسون، أندرس؛ كواشي، ماساتو؛ إيموتو، نوبويوكي (1999). "التشابك الكمي لمشاركة الأسرار وتقسيمها" . مجلة Physical Review A. 59 ( 1): 162-168 . Bibcode : 1999PhRvA..59..162K . doi : 10.1103/PhysRevA.59.162 . تاريخ الاسترجاع: 14 ديسمبر 2021 .
  8. ↑ تيتل، دبليو؛ زبيندن، إتش؛ جيسين، إن. (2001). "عرض تجريبي لمشاركة الأسرار الكمومية" . مجلة Physical Review A. 63 ( 4) 042301. Bibcode : 2001PhRvA..63d2301T . doi : 10.1103/PhysRevA.63.042301 . تاريخ الاسترجاع: 15 ديسمبر 2021 .
  9. ↑ زوكوفسكي، م.؛ زيلينجر، أ.؛ هورن، م.أ.؛ واينفورتر، هـ. (1998). "البحث عن حالات GHZ" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء البولندية أ . 98 (1): 187-195 . رمز Bibcode : 1998AcPPA..93..187Z . doi : 10.12693/APhysPolA.93.187 . تاريخ الاسترجاع: 15 ديسمبر 2021 .