حد السرعة الكمومية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الكم ، يُعرف حد سرعة الكم ( QSL ) بأنه الحد الأدنى للوقت اللازم لتطور نظام كمومي بين حالتين متميزتين (متعامدتين). [ 1 ] ترتبط نظريات حد سرعة الكم ارتباطًا وثيقًا بعلاقات عدم اليقين بين الزمن والطاقة. في عام 1945، استنتج ليونيد ماندلشتام وإيغور تام علاقة عدم يقين بين الزمن والطاقة تحدد سرعة التطور بدلالة تشتت الطاقة. [ 2 ] بعد أكثر من نصف قرن، أثبت نورمان مارغولوس وليف ليفيتين أن سرعة التطور لا يمكن أن تتجاوز متوسط ​​الطاقة، [ 3 ] وهي نتيجة تُعرف بنظرية مارغولوس-ليفيتين. تُعرف الأنظمة الفيزيائية الواقعية المتفاعلة مع بيئة ما بالأنظمة الكمومية المفتوحة ، ويخضع تطورها أيضًا لحد سرعة الكم. [ 4 ] [ 5 ] ومن اللافت للنظر أنه تم إثبات أن التأثيرات البيئية، مثل الديناميكيات غير الماركوڤية، يمكن أن تُسرّع العمليات الكمومية، [ 6 ] وهو ما تم التحقق منه في تجربة كهروديناميكا الكم التجويفية. [ 7 ]

استُخدمت حدود حالة الكم (QSL) لاستكشاف حدود الحوسبة [ 8 ] [ 9 ] والتعقيد. في عام 2017، دُرست حدود حالة الكم في مذبذب كمومي عند درجة حرارة عالية. [ 10 ] وفي عام 2018، تبيّن أن حدود حالة الكم لا تقتصر على المجال الكمومي، وأن حدودًا مماثلة تنطبق على الأنظمة الكلاسيكية. [ 11 ] [ 12 ] وفي عام 2021، اختُبرت حدود ماندلستام-تام ومارغولوس-ليفتين لحدود حالة الكم في تجربة واحدة [ 13 ] ، مما أشار إلى وجود "نظامين مختلفين: أحدهما حيث يُقيّد حد ماندلستام-تام التطور في جميع الأوقات، والآخر حيث يحدث انتقال إلى حد مارغولوس-ليفتين عند فترات زمنية أطول".

في الاستشعار الكمومي ، تفرض حدود الحالة الكمومية قيودًا أساسية على أقصى دقة زمنية يمكن تحقيقها لأجهزة الاستشعار الكمومية. تنبع هذه القيود من ضرورة تطور الحالات الكمومية إلى حالات متعامدة لاستخلاص معلومات دقيقة. على سبيل المثال، في تطبيقات مثل قياس التداخل رامزي ، تحدد حدود الحالة الكمومية الحد الأدنى من الوقت اللازم لتراكم الطور أثناء تسلسلات التحكم، مما يؤثر بشكل مباشر على الدقة الزمنية وحساسية المستشعر . [ 14 ]

تعريفات أولية

يمكن صياغة نظريات تحديد السرعة للحالات النقية ، وللحالات المختلطة ؛ وتأخذ شكلاً أبسط للحالات النقية. ويمكن كتابة أي حالة نقية كمزيج خطي من حالات الطاقة الذاتية.

|ψ⟩=∑نجن|هـن⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|E_{n}\rangle .}

تتمثل المهمة في تحديد حد أدنى للفترة الزمنيةت⊥{\displaystyle t_{\perp }}مطلوب للحالة الأولية|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }للتطور إلى حالة متعامدة مع|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }يُعطى التطور الزمني لحالة نقية بواسطة معادلة شرودنغر :

|ψت⟩=∑نجنهـأناتهـن/ℏ|هـن⟩.{\displaystyle |\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .}

يتم الحصول على التعامد عندما

⟨ψ0|ψت⟩=0{\displaystyle \langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle =0}

والحد الأدنى للفاصل الزمنيت=ت⊥{\displaystyle t=t_{\perp }}يُطلق على الفترة اللازمة لتحقيق هذا الشرط اسم فترة التعامد [ 2 ] أو زمن التعامد. [ 15 ]

حد ماندلستام-تام

بالنسبة للحالات النقية، تنص نظرية ماندلستام-تام على أن الحد الأدنى للوقتت⊥{\displaystyle t_{\perp }}الشرط اللازم لتطور حالة ما إلى حالة متعامدة هو أن تكون محدودة بما يلي:

ت⊥≥πℏ2دلتاهـ=ح4دلتاهـ{\displaystyle t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}}،

أين

(دلتاهـ)2=⟨ψ|ح2|ψ⟩-(⟨ψ|ح|ψ⟩)2=12∑ن،م|جن|2|جم|2(هـن-هـم)2{\displaystyle (\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{ن,م}|c_{ن}|^{2}|c_{م}|^{2}(E_{n}-E_{م})^{2}}،

يمثل تباين طاقة النظام وح{\displaystyle H}هو مؤثر هاميلتوني . التطور الكمومي مستقل عن الهاميلتوني المحدد المستخدم لنقل النظام الكمومي على طول منحنى معين في فضاء هيلبرت الإسقاطي ؛ تُقاس المسافة على طول هذا المنحنى بواسطة مقياس فوبيني-ستودي . [ 16 ] يُطلق على هذا أحيانًا اسم الزاوية الكمومية ، حيث يمكن فهمه على أنه معكوس جيب التمام للجداء الداخلي للحالتين الابتدائية والنهائية.

بالنسبة للحالات المختلطة

يمكن أيضًا تحديد حد ماندلستام-تام للحالات المختلطة وللهاملتونيان المتغير مع الزمن. في هذه الحالة، يجب استخدام مقياس بوريس بدلًا من مقياس فوبيني-ستودي. يمكن فهم الحالة المختلطة على أنها مجموع الحالات النقية، مرجحة باحتمالات كلاسيكية ؛ وبالمثل، فإن مقياس بوريس هو مجموع مرجح لمقياس فوبيني-ستودي. بالنسبة للهاملتونيان المتغير مع الزمنحت{\displaystyle H_{t}}ومصفوفة الكثافة المتغيرة مع الزمنρت،{\displaystyle \rho _{t},}يُعطى تباين الطاقة بواسطة

σح2(ت)=|tr(ρتحت2)|-|tr(ρتحت)|2{\displaystyle \sigma _{H}^{2}(t)=|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t}^{2})|-|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|^{2}}

ثم تأخذ نهاية ماندلستام-تام الشكل التالي

∫0τσح(ت)دت≥ℏدب(ρ0،ρτ){\displaystyle \int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}،

أيندب{\displaystyle D_{B}}هي مسافة بوريس بين نقطتي البداية والنهاية. مسافة بوريس هي مسافة جيوديسية ، وهي أقصر مسافة ممكنة لأي منحنى متصل يربط بين نقطتين.σح(ت){\displaystyle \sigma _{H}(t)}يُفهم على أنه طول مسار متناهي الصغر على طول منحنى مُعطى بواسطةت.{\displaystyle t.}وبعبارة أخرى، الوقتτ{\displaystyle \tau }يُعتقد أنها تطورت منρ{\displaystyle \rho }لρ′{\displaystyle \rho '}محدد بـ

τ≥ℏσ¯حدب(ρ،ρ′){\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')}

أين

σ¯ح=1τ∫0τσح(ت)دت{\displaystyle {\overline {\sigma }}_{H}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}

يمثل متوسط ​​عدم اليقين في الطاقة على مدى الزمن. بالنسبة لحالة نقية تتطور تحت تأثير هاميلتوني متغير مع الزمن، فإن الزمنτ{\displaystyle \tau }يُعتبر التطور من حالة نقية إلى حالة نقية أخرى متعامدة معها محدودًا على النحو التالي [ 17 ].

τ≥ℏσ¯حπ2{\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}{\frac {\pi }{2}}}

ويترتب على ذلك، كما هو الحال بالنسبة للحالة النقية، أن يكون لدينا مصفوفة الكثافةρت=|ψت⟩⟨ψت|.{\displaystyle \rho _{t}=|\psi _{t}\rangle \langle \psi _{t}|.}إذن، الزاوية الكمومية (مسافة فوبيني-ستودي) هيدب(ρ0،ρت)=أركوس⁡|⟨ψ0|ψت⟩|{\displaystyle D_{B}(\rho _{0},\rho _{t})=\arccos |\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle |}وهكذا يخلص المرءدب=أركوس⁡0=π/2{\displaystyle D_{B}=\arccos 0=\pi /2}عندما تكون الحالتان الابتدائية والنهائية متعامدتين.

حد مارغولوس-ليفيتين

في حالة الحالة النقية، حصل مارغولوس وليفيتين [ 3 ] على حد مختلف، وهو

τ⊥≥ح4⟨هـ⟩،{\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},}

أين⟨هـ⟩{\displaystyle \langle E\rangle }هي متوسط ​​الطاقة، ⟨هـ⟩=هـمتوسط=⟨ψ|ح|ψ⟩=∑ن|جن|2هـن.{\displaystyle \langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.} ينطبق هذا الشكل عندما لا يكون الهاميلتوني معتمدًا على الزمن، ويتم تعريف طاقة الحالة الأرضية على أنها صفر.

بالنسبة للحالات المتغيرة مع الزمن

يمكن تعميم نظرية مارغولوس-ليفتين لتشمل الحالة التي يتغير فيها الهاميلتوني مع الزمن، ويُوصَف النظام بحالة مختلطة . [ 17 ] في هذه الصيغة، تُعطى النظرية بالصيغة التالية:

∫0τ|tr(ρتحت)|دت≥ℏدب(ρ0،ρτ){\displaystyle \int _{0}^{\tau }|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}

مع تعريف الحالة الأرضية بحيث تكون طاقتها صفرًا في جميع الأوقات.

يُقدّم هذا نتيجةً للحالات المتغيرة مع الزمن. ورغم أنه يُقدّم أيضًا حدًا للحالات المختلطة، إلا أن هذا الحد (للحالات المختلطة) قد يكون فضفاضًا لدرجة تجعله غير مفيد. [ 18 ] لم يتم إثبات نظرية مارغولوس-ليفتين تجريبيًا بعد في الأنظمة الكمومية المعتمدة على الزمن، والتي يكون لهاملتونيانهاحت{\displaystyle H_{t}}يتم التحكم فيها بواسطة معلمات عشوائية تعتمد على الزمن، باستثناء الحالة الأديباتية. [ 19 ]

الحد المزدوج لمارجولوس-ليفيتين

بالإضافة إلى حد مارغولوس-ليفتين الأصلي، يوجد حد مزدوج للأنظمة الكمومية ذات طيف الطاقة المحدود. يعتمد هذا الحد المزدوج، المعروف أيضًا باسم حد نيس-ألبرتي-ساغي أو حد نيس، على الفرق بين متوسط ​​طاقة الحالة وطاقة أعلى حالة ذاتية مشغولة. في الأنظمة المحدودة، يكون الحد الأدنى للوقتτ⊥{\displaystyle \tau _{\perp }}إن الشرط اللازم لتطور حالة ما إلى حالة متعامدة هو أن تكون محدودة بـ

τ⊥≥ح4(هـالأعلى-⟨هـ⟩)،{\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4(E_{\max }-\langle E\rangle )}},}

أينهـالأعلى{\displaystyle E_{\max }}هي طاقة أعلى حالة ذاتية مشغولة و⟨هـ⟩{\displaystyle \langle E\rangle }يمثل متوسط ​​طاقة الحالة. يكمل هذا الحد حد مارغولوس-ليفتين الأصلي وحد ماندلستام-تام، مشكلاً بذلك ثلاثة قيود على سرعة التطور الكمي. [ 20 ]

حد ليفيتين-توفولي

تُشير نتيجةٌ توصل إليها ليف ب. ليفيتين وتوماسو توفولي عام 2009 إلى أن الحدّ الدقيق لنظرية ماندلستام-تام لا يتحقق إلا لحالة الكيوبت . [ 15 ] وهذه حالة ثنائية المستوى في تراكب متساوٍ.

|ψq⟩=12(|هـ0⟩+هـأناφ|هـ1⟩){\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)}

بالنسبة لحالات الطاقة الذاتيةهـ0=0{\displaystyle E_{0}=0}وهـ1=±πℏ/Δت{\displaystyle E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t}الولايات|هـ0⟩{\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle }و|هـ1⟩{\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }فريدة من نوعها حتى انحلال مستوى الطاقةهـ1{\displaystyle E_{1}}وعامل طور اعتباطيφ.{\displaystyle \varphi .}هذه النتيجة دقيقة، حيث أن هذه الحالة تحقق أيضًا شرط مارغولوس-ليفيتين، من حيث أنهـمتوسط=دلتاهـ{\displaystyle E_{\text{avg}}=\delta E}وهكذات⊥=ℏπ/2هـمتوسط=ℏπ/2دلتاهـ.{\displaystyle t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.}تثبت هذه النتيجة أن الحدود المجمعة صارمة:

ت⊥≥الأعلى(πℏ2دلتاهـ،πℏ2هـمتوسط){\displaystyle t_{\perp }\geq \max \left({\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}\;,\;{\frac {\pi \hbar }{2\,E_{\text{avg}}}}\right)}

كما يقدم ليفيتين وتوفولي حدًا لمتوسط ​​الطاقة بدلالة الحد الأقصى. لأي حالة نقية|ψ⟩،{\displaystyle \left|\psi \right\rangle ,}متوسط ​​الطاقة محدود بـ

هـالأعلى4≤هـمتوسط≤هـالأعلى2{\displaystyle {\frac {E_{\text{max}}}{4}}\leq E_{\text{avg}}\leq {\frac {E_{\text{max}}}{2}}}

أينهـالأعلى{\displaystyle E_{\text{max}}}هي أعلى قيمة طاقة ذاتية تظهر في|ψ⟩.{\displaystyle \left|\psi \right\rangle .}(هذه هي نظرية ربع الكرة المضغوطة متنكرة، تم نقلها إلى الفضاء الإسقاطي المركب .) وبالتالي، يكون لدينا الحد

πℏهـالأعلى≤ت⊥≤2πℏهـالأعلى{\displaystyle {\frac {\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}\leq t_{\perp }\leq {\frac {2\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}}

الحد الأدنى الصارمهـالأعلىت⊥=πℏ{\displaystyle E_{\text{max}}t_{\perp }=\pi \hbar }يتم تحقيق ذلك مرة أخرى لحالة الكيوبت |ψq⟩{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle }معهـالأعلى=هـ1{\displaystyle E_{\text{max}}=E_{1}}.

حد بريمرمان

تحدد حدود سرعة الكم الحد الأعلى الذي يمكن عنده إجراء العمليات الحسابية . تُبنى الآلات الحسابية من مادة فيزيائية تخضع لميكانيكا الكم، وكل عملية، لكي تكون واضحة لا لبس فيها، يجب أن تكون انتقالًا للنظام من حالة إلى حالة متعامدة. لنفترض أن الآلة الحسابية نظام فيزيائي يتطور وفقًا لهاملتوني لا يتغير مع الزمن. عندئذٍ، وفقًا لنظرية مارغولوس-ليفتين، يكون عدد العمليات لكل وحدة زمنية لكل وحدة طاقة محدودًا من الأعلى بـ

2ℏπ=6×1033s-1⋅ج-1{\displaystyle {\frac {2}{\hbar \pi }}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}}

يُحدد هذا حدًا أقصى صارمًا لعدد العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها بواسطة المادة الفيزيائية. لا يمكن أن يتجاوز معدل معالجة جميع أنواع الحوسبة حوالي 6 × 10³³ عملية في الثانية لكل جول من الطاقة. ويشمل هذا الحواسيب "الكلاسيكية"، لأنها حتى الحواسيب الكلاسيكية مصنوعة من مادة تخضع لقوانين ميكانيكا الكم. [ 21 ] [ 22 ]

لا يُعدّ هذا الحدّ مجرّد حدٍّ خياليّ، بل له تداعيات عملية على التشفير المقاوم للحوسبة الكمومية . فإذا تخيّلنا حاسوبًا يعمل عند هذا الحدّ، فإنّ البحث الشامل لكسر مفتاح تشفير بطول 128 بت لا يتطلّب سوى موارد متواضعة. بينما يتطلّب كسر مفتاح بطول 256 بت حواسيبَ على مستوى الكواكب، في حين أنّ البحث الشامل عن مفاتيح بطول 512 بت يكاد يكون مستحيلاً خلال عمر الكون، حتى لو تمّ استخدام حواسيب بحجم المجرات لحلّ هذه المشكلة.

يُحدد حد بيكنشتاين كمية المعلومات التي يُمكن تخزينها ضمن حجم معين من الفضاء. ويُحدد الحد الأقصى لسرعة تغير المعلومات ضمن هذا الحجم من الفضاء بحد السرعة الكمومية. يُطلق على حاصل ضرب هذين الحدين أحيانًا حد بريمرمان-بيكنشتاين ؛ وهو مُشبع بإشعاع هوكينغ . [ 1 ] أي أن إشعاع هوكينغ ينبعث بأقصى معدل مسموح به تحدده هذه الحدود.

مراجع

  1. 1 2 ديفنر، س.؛ كامبل، س. (10 أكتوبر 2017). "حدود السرعة الكمومية: من مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ إلى التحكم الكمومي الأمثل". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات النظرية 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Bibcode : 2017JPhA...50S3001D . doi : 10.1088/1751-8121/aa86c6 . S2CID 3477317 . 
  2. 1 2 ماندلشتام، ل.إ؛ تام، إ.إ (1945). "علاقة عدم اليقين بين الطاقة والزمن في ميكانيكا الكم غير النسبية". مجلة الفيزياء (الاتحاد السوفيتي) . 9 : 249-254 .أُعيد طبعه بعنوان: ماندلستام، ل.؛ تام، إيغ. (1991). "علاقة عدم اليقين بين الطاقة والزمن في ميكانيكا الكم غير النسبية". في: بولوتوفسكي، بوريس م.؛ فرينكل، فيكتور يا.؛ بيرلز، رودولف (محررون). أوراق مختارة . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. ص 115-123 . doi : 10.1007/978-3-642-74626-0_8 . ISBN  978-3-642-74628-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-04-06 .
  3. 1 2 مارغولوس، نورمان؛ ليفيتين، ليف ب. (سبتمبر 1998). "السرعة القصوى للتطور الديناميكي". فيزيكا د: الظواهر غير الخطية . 120 ( 1-2 ): 188-195 . arXiv : quant-ph/9710043 . Bibcode : 1998PhyD..120..188M . doi : 10.1016/S0167-2789(98)00054-2 . S2CID 468290 . 
  4. ↑ تادي، م.م.؛ إيشر، ب.م.؛ دافيدوفيتش، ل.؛ دي ماتوس فيلهو، ر.ل. (30 يناير 2013). "الحد الكمي لسرعة العمليات الفيزيائية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 110 (5) 050402. arXiv : 1209.0362 . Bibcode : 2013PhRvL.110e0402T . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050402 . PMID 23414007. S2CID 38373815 .  
  5. ↑ ديل كامبو، أ.؛ إيغوسكويزا، إيل؛ بلينيو، إم بي؛ هويغا، إس إف (30 يناير 2013). "حدود السرعة الكمومية في ديناميكيات الأنظمة المفتوحة". رسائل المراجعة الفيزيائية . 110 (5) 050403. arXiv : 1209.1737 . Bibcode : 2013PhRvL.110e0403D . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050403 . PMID 23414008. S2CID 8362503 .  
  6. ↑ ديفنر، س.؛ لوتز، إ. (3 يوليو 2013). "الحد الكمي للسرعة في الديناميكا غير الماركوڤية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 111 (1) 010402. arXiv : 1302.5069 . Bibcode : 2013PhRvL.111a0402D . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.010402 . PMID 23862985. S2CID 36711861 .  
  7. ↑ سيماروستي، أ.د.؛ يان، ز.؛ باترسون، ب.د.؛ كوركوس، ل.ب.؛ أوروزكو، ل.أ.؛ ديفنر، س. (11 يونيو 2015). "تسريع تطور المجال بمساعدة البيئة في الديناميكا الكهربائية الكمومية للتجويف". رسائل المراجعة الفيزيائية . 114 (23) 233602. arXiv : 1503.02591 . Bibcode : 2015PhRvL.114w3602C . doi : 10.1103/ PhysRevLett.114.233602 . PMID 26196802. S2CID 14904633 .  
  8. ↑ لويد، سيث (31 أغسطس 2000). "الحدود الفيزيائية القصوى للحوسبة". مجلة نيتشر . 406 (6799): 1047-1054 . arXiv : quant- ph /9908043 . Bibcode : 2000Natur.406.1047L . doi : 10.1038/35023282 . ISSN 1476-4687 . PMID 10984064. S2CID 75923 .   
  9. ↑ لويد، سيث (24 مايو 2002). "القدرة الحسابية للكون". رسائل المراجعة الفيزيائية . 88 (23) 237901. arXiv : quant-ph/0110141 . Bibcode : 2002PhRvL..88w7901L . doi : 10.1103/ PhysRevLett.88.237901 . PMID 12059399. S2CID 6341263 .  
  10. ↑ ديفنر، س. (20 أكتوبر 2017). "حدود السرعة الكمومية الهندسية: حالة فضاء طور ويغنر" . المجلة الجديدة للفيزياء . 19 (10): 103018. arXiv : 1704.03357 . Bibcode : 2017NJPh...19j3018D . doi : 10.1088/1367-2630/aa83dc . hdl : 11603/19409 .
  11. ↑ شاناهان، ب.؛ تشينو، أ.؛ مارغولوس، ن.؛ ديل كامبو، أ. (12 فبراير 2018). "حدود السرعة الكمومية عبر الانتقال من الكموم إلى الكلاسيكي" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 120 (7) 070401. arXiv : 1710.07335 . Bibcode : 2018PhRvL.120g0401S . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070401 . PMID 29542956 . 
  12. ↑ أوكوياما، ماناكا؛ أوزيكي، ماسايوكي (12 فبراير 2018). "حد السرعة الكمومية ليس كموميًا". رسائل المراجعة الفيزيائية . 120 (7) 070402. arXiv : 1710.03498 . Bibcode : 2018PhRvL.120g0402O . doi : 10.1103/ PhysRevLett.120.070402 . PMID 29542975. S2CID 4027745 .  
  13. ↑ نيس، غال؛ لام، مانولو ر.؛ آلت، وولفغانغ؛ ميشيده، ديتر؛ ساغي، يواف؛ ألبرتي، أندريا (22 ديسمبر 2021). "ملاحظة الانتقال بين حدود السرعة الكمومية" . مجلة ساينس أدفانسز . 7 (52) eabj9119. doi : 10.1126/sciadv.abj9119 . PMC 8694601. PMID 34936463 .  
  14. ↑ هيرب، كونستانتين؛ ديجن، كريستيان ل. (19 نوفمبر 2024). "الحد الأقصى للسرعة الكمومية في الاستشعار الكمومي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 133 (21) 210802. arXiv : 2406.18348 . doi : 10.1103/PhysRevLett.133.210802 .
  15. 1 2 ليف ب. ليفيتين؛ توماسو توفولي (2009)، "الحد الأساسي لمعدل الديناميكا الكمومية: الحد الموحد محكم" ، رسائل المراجعة الفيزيائية ، 103 (16) 160502، arXiv : 0905.3417 ، Bibcode : 2009PhRvL.103p0502L ، doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160502 ، ISSN 0031-9007 ، PMID 19905679 ، S2CID 36320152   
  16. ↑ أهارونوف، ياكير؛ أناندان، جيفا (1990). "هندسة التطور الكمي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 65 (14): 1697-1700 . Bibcode : 1990PhRvL..65.1697A . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.1697 . PMID 10042340 . 
  17. 1 2 ديفنر، سيباستيان؛ لوتز، إريك (23-08-2013). "علاقة عدم اليقين بين الطاقة والزمن للأنظمة الكمومية المُحفَّزة" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 46 (33) 335302. arXiv : 1104.5104 . Bibcode : 2013JPhA...46G5302D . doi : 10.1088/1751-8113/46/33/335302 . hdl : 11603/19394 . ISSN 1751-8113 . S2CID 119313370 .  
  18. ↑ مارفيان، إيمان؛ سبيكنز، روبرت و.؛ زاناردي، باولو (24-05-2016). "حدود السرعة الكمومية، والترابط، وعدم التناظر" . مجلة Physical Review A. 93 ( 5) 052331. arXiv : 1510.06474 . Bibcode : 2016PhRvA..93e2331M . doi : 10.1103/PhysRevA.93.052331 . ISSN 2469-9926 . 
  19. ↑ أوكوياما، ماناكا؛ أوزيكي، ماسايوكي (2018). "تعليق على 'علاقة عدم اليقين بين الطاقة والزمن للأنظمة الكمومية المُحفَّزة'"" . مجلة الفيزياء أ: الرياضيات والنظرية . 51 (31): 318001. arXiv : 1802.00995 . Bibcode : 2018JPhA...51E8001O . doi : 10.1088/1751-8121/aacb90 . ISSN 1751-8113 . 
  20. ↑ نيس، غال؛ ألبرتي، أندريا؛ ساغي، يواف (29-09-2022). "الحد الكمي للسرعة للحالات ذات طيف الطاقة المحدود" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 129 (14). arXiv : 2206.14803 . doi : 10.1103/PhysRevLett.129.140403 . ISSN 0031-9007 . 
  21. ↑ بريمرمان، إتش جيه (1962) التحسين من خلال التطور وإعادة التركيب مؤرشف 2019-12-18 في Wayback Machine في: الأنظمة ذاتية التنظيم 1962، حرره إم سي يوفيتس وآخرون، سبارتان بوكس، واشنطن العاصمة، ص 93-106.
  22. ↑ بريمرمان، إتش جيه (1965) الضوضاء الكمومية والمعلومات . الندوة الخامسة لبيركلي حول الإحصاء الرياضي والاحتمالات؛ مطبعة جامعة كاليفورنيا، بيركلي، كاليفورنيا.

للمزيد من القراءة