مستويات الطاقة المتدهورة

في العديد من الحالات، يمكن الحصول على نتائج تحليلية بسهولة أكبر في دراسة الأنظمة أحادية البعد. بالنسبة لجسيم كمومي ذي دالة موجية${\displaystyle |\psi \rangle }$يتحرك في جهد أحادي البعد${\displaystyle V(x)}$يمكن كتابة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن على النحو التالي:$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$$ بما أن هذه معادلة تفاضلية عادية، فهناك دالتان ذاتيتان مستقلتان لطاقة معينة${\displaystyle E}$على الأكثر، بحيث لا تتجاوز درجة الانحلال اثنين. يمكن إثبات أنه في بُعد واحد، لا توجد حالات مقيدة منحلة للدوال الموجية القابلة للتطبيع . شرط كافٍ على جهد متصل جزئيًا${\displaystyle V}$والطاقة${\displaystyle E}$وجود عددين حقيقيين${\displaystyle M,x_{0}}$مع${\displaystyle M\neq 0}$بحيث${\displaystyle \forall x>x_{0}}$لدينا${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$^{[ 3 ]} على وجه الخصوص ،${\displaystyle V}$محدود من الأسفل في هذا المعيار.

إثبات النظرية المذكورة أعلاه.

بالنظر إلى نظام كمومي أحادي البعد في مجال كامن${\displaystyle V(x)}$مع حالات متدهورة${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$و${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$المقابل لنفس قيمة الطاقة الذاتية${\displaystyle E}$، وكتابة معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن للنظام: $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}+V\psi _{1}&=E\psi _{1}\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}+V\psi _{2}&=E\psi _{2}\end{aligned}}}$$ بضرب المعادلة الأولى في${\displaystyle \psi _{2}}$والثاني بواسطة${\displaystyle \psi _{1}}$وبطرح أحدهما من الآخر، نحصل على: $${\displaystyle \psi _{1}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}-\psi _{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{1}=0}$$ دمج كلا الجانبين $${\displaystyle \psi _{1}{\frac {d\psi _{2}}{dx}}-\psi _{2}{\frac {d\psi _{1}}{dx}}={\mbox{constant}}}$$ في حالة الدوال الموجية المحددة جيدًا والقابلة للتطبيع، فإن الثابت المذكور أعلاه يتلاشى، بشرط أن تتلاشى كلتا الدالتين الموجيتين عند نقطة واحدة على الأقل، ونجد ما يلي: $${\displaystyle \psi _{1}(x)=c\psi _{2}(x)}$$ أين${\displaystyle c}$هو، بشكل عام، ثابت مركب. بالنسبة للدوال الذاتية للحالة المقيدة (التي تميل إلى الصفر عندما${\displaystyle x\to \infty }$)، وبافتراض${\displaystyle V}$و${\displaystyle E}$إذا تحققت الشروط المذكورة أعلاه، يمكن إثبات [ 3 ] أن المشتقة الأولى للدالة الموجية تقترب من الصفر في النهاية.${\displaystyle x\to \infty }$وبالتالي فإن الثابت المذكور أعلاه يساوي صفرًا ولا يوجد لدينا انحلال.

توجد الأنظمة الكمومية ثنائية الأبعاد في جميع حالات المادة الثلاث، ويمكن إنشاء الكثير من التنوع الموجود في المادة ثلاثية الأبعاد في بعدين. تتكون المواد ثنائية الأبعاد الحقيقية من طبقات أحادية الذرة على سطح المواد الصلبة. من الأمثلة على أنظمة الإلكترونات ثنائية الأبعاد التي تم تحقيقها تجريبياً: ترانزستور MOSFET ، والشبكات الفائقة ثنائية الأبعاد للهيليوم والنيون والأرجون والزينون ، وسطح الهيليوم السائل . دُرست ظاهرة وجود مستويات طاقة متماثلة في حالة الجسيم في صندوق والمذبذب التوافقي ثنائي الأبعاد ، والتي تُعد نماذج رياضية مفيدة للعديد من الأنظمة الواقعية.

لنفترض وجود جسيم حر في مستوى ذي أبعاد${\displaystyle L_{x}}$و${\displaystyle L_{y}}$في مستوى من الجدران غير القابلة للاختراق. معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لهذا النظام مع دالة الموجة${\displaystyle |\psi \rangle }$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi }$$ قيم الطاقة المسموح بها هي $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)}$$ الدالة الموجية المعيارية هي $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}$$ أين${\displaystyle n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots }$

إذن، الأعداد الكمومية${\displaystyle n_{x}}$و${\displaystyle n_{y}}$يلزم وصف القيم الذاتية للطاقة، وتُعطى أدنى طاقة للنظام بواسطة $${\displaystyle E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)}$$

بالنسبة لبعض النسب المتناسبة بين الطولين${\displaystyle L_{x}}$و${\displaystyle L_{y}}$تكون بعض أزواج الحالات متماثلة. إذا${\displaystyle L_{x}/L_{y}=p/q}$حيث p و q عددان صحيحان، فإن الحالات${\displaystyle (n_{x},n_{y})}$و${\displaystyle (pn_{y}/q,qn_{x}/p)}$لها نفس الطاقة، وبالتالي فهي متدهورة بالنسبة لبعضها البعض.

في هذه الحالة، أبعاد الصندوق${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L}$وتُعطى قيم الطاقة الذاتية بواسطة $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$$

منذ${\displaystyle n_{x}}$و${\displaystyle n_{y}}$يمكن تبديلها دون تغيير الطاقة، ولكل مستوى طاقة انحلال لا يقل عن اثنين عندما${\displaystyle n_{x}}$و${\displaystyle n_{y}}$تختلف هذه الحالات. كما تُحصل على حالات متماثلة عندما يكون مجموع مربعات الأعداد الكمومية المقابلة لمستويات الطاقة المختلفة متساويًا. على سبيل المثال، الحالات الثلاث (n _x = 7, n _y = 1)، و(n _x = 1, n _y = 7)، و(n _x = n _y = 5) جميعها لها نفس القيمة.${\displaystyle E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}}$وتشكل مجموعة متدهورة.

درجات انحلال مستويات الطاقة المختلفة لجسيم في صندوق مربع:

${\displaystyle n_{x}}$	${\displaystyle n_{y}}$	${\displaystyle E\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)}$	الانحطاط
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1
...	...	...	...
7 5 1	1 5 7	50 50 50	3
...	...	...	...
8 7 4 1	1 4 7 8	65 65 65 65	4
...	...	...	...
9 7 6 2	2 6 7 9	85 85 85 85	4
...	...	...	...
11 10 5 2	2 5 10 11	125 125 125 125	4
...	...	...	...
14 10 2	2 10 14	200 200 200	3
...	...	...	...
17 13 7	7 13 17	338 338 338	3

في هذه الحالة، أبعاد الصندوق${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=L}$وتعتمد القيم الذاتية للطاقة على ثلاثة أعداد كمية. $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$$

منذ${\displaystyle n_{x}}$،${\displaystyle n_{y}}$و${\displaystyle n_{z}}$يمكن تبديلها دون تغيير الطاقة، كل مستوى طاقة له انحلال لا يقل عن ثلاثة عندما لا تكون الأرقام الكمية الثلاثة متساوية.

إذا كانت كمية قابلة للرصد A غير متدهورة، فإنه يوجد أساس فريد يتكون من متجهاتها الذاتية. من ناحية أخرى، إذا كانت قيمة ذاتية واحدة أو أكثر من${\displaystyle {\hat {A}}}$إذا كانت المتجهات متدهورة، فإن تحديد قيمة ذاتية لا يكفي لتوصيف متجه الأساس. إذا تم اختيار قيمة قابلة للرصد${\displaystyle {\hat {B}}}$، والتي تتنقل مع${\displaystyle {\hat {A}}}$، من الممكن إنشاء أساس متعامد من المتجهات الذاتية المشتركة لـ${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$، وهو أمر فريد، لكل زوج من القيم الذاتية الممكنة {a,b}، ثم${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$يُقال إنها تُشكّل مجموعة كاملة من المتغيرات القابلة للرصد التبادلية . ومع ذلك، إذا تعذّر تحديد مجموعة فريدة من المتجهات الذاتية، فإنه بالنسبة لزوج واحد على الأقل من أزواج القيم الذاتية، يتم استخدام متغير قابل للرصد ثالث.${\displaystyle {\hat {C}}}$، والتي تتنقل مع كليهما${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$يمكن إيجادها بحيث تشكل الثلاثة مجموعة كاملة من المتغيرات القابلة للملاحظة المتبادلة.

يترتب على ذلك ضرورة تسمية الدوال الذاتية لهاملتونيان نظام كمومي ذي قيمة طاقة مشتركة، وذلك بإضافة معلومات إضافية، ويمكن تحقيق ذلك باختيار مؤثر يتبادل مع الهاملتونيان. تتطلب هذه التسميات الإضافية تحديد دالة ذاتية فريدة للطاقة، وعادةً ما ترتبط بثوابت حركة النظام.

يتم تعريف عامل التكافؤ من خلال تأثيره في${\displaystyle |r\rangle }$تمثيل تغيير r إلى −r، أي $${\displaystyle \langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)}$$ يمكن إثبات أن القيم الذاتية لـ P محدودة بـ${\displaystyle \pm 1}$وهما قيمتان ذاتيتان متدهورتان في فضاء حالة لا نهائي الأبعاد. يُقال إن المتجه الذاتي لـ P ذو القيمة الذاتية +1 زوجي، بينما يُقال إن المتجه الذاتي ذو القيمة الذاتية -1 فردي.

الآن، عامل زوجي${\displaystyle {\hat {A}}}$هو ما يُرضي، $${\displaystyle {\tilde {A}}=P{\hat {A}}P}$$$${\displaystyle [P,{\hat {A}}]=0}$$ بينما كان عاملاً غريباً${\displaystyle {\hat {B}}}$هو ما يرضي $${\displaystyle P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0}$$ بما أن مربع مؤثر الزخم${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$إذا كان الجهد V(r) زوجيًا، فإن الهاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}}$يُقال إنها مؤثر زوجي. في هذه الحالة، إذا كانت كل قيمة من قيمها الذاتية غير مُنحلة، فإن كل متجه ذاتي هو بالضرورة حالة ذاتية لـ P، وبالتالي من الممكن البحث عن الحالات الذاتية لـ${\displaystyle {\hat {H}}}$بين الحالات الزوجية والفردية. ومع ذلك، إذا لم يكن لإحدى حالات الطاقة الذاتية تكافؤ محدد ، فيمكن التأكيد على أن القيمة الذاتية المقابلة لها متدهورة، و${\displaystyle P|\psi \rangle }$هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle {\hat {H}}}$بنفس القيمة الذاتية مثل${\displaystyle |\psi \rangle }$.

تُعرف مجموعة جميع المؤثرات التي تتبادل مع هاميلتوني نظام كمومي بأنها تُشكل زمرة التناظر للهاميلتوني. وتُحدد مُبدلات مولدات هذه الزمرة جبر الزمرة . ويحافظ التمثيل ذو البعد n لزمرة التناظر على جدول ضرب مؤثرات التناظر. وتُحدد أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للهاميلتوني، مع زمرة تناظر معينة، حالات الانحلال الممكنة للهاميلتوني. وتُشكل الدوال الذاتية المُقابلة لقيمة ذاتية مُنحلة n أساسًا لتمثيل غير قابل للاختزال ذي البعد n لزمرة التناظر للهاميلتوني.

يُطلق على هذا أيضًا اسم الانحلال الهندسي أو الطبيعي، وينشأ نتيجة وجود نوع من التناظر في النظام قيد الدراسة، أي ثبات الهاميلتوني تحت عملية معينة، كما هو موضح أعلاه. التمثيل الناتج عن الانحلال الطبيعي غير قابل للاختزال، وتشكل الدوال الذاتية المقابلة أساسًا لهذا التمثيل.

هو نوع من الانحلال ينتج عن بعض الخصائص المميزة للنظام أو الصيغة الوظيفية للجهد قيد الدراسة، ويرتبط على الأرجح بتناظر ديناميكي خفي في النظام. ^{[ 4 ]} كما ينتج عنه كميات محفوظة، يصعب في كثير من الأحيان تحديدها. وتؤدي التناظرات العرضية إلى هذه الانحلالات الإضافية في طيف الطاقة المنفصل. وقد يعود الانحلال العرضي إلى عدم اكتمال مجموعة الهاميلتوني. وترتبط هذه الانحلالات بوجود مدارات مقيدة في الفيزياء الكلاسيكية.

في الفيزياء الذرية ، تُظهر لنا الحالات المرتبطة للإلكترون في ذرة الهيدروجين أمثلة مفيدة على الانحلال. في هذه الحالة، يتبادل الهاميلتوني مع الزخم الزاوي المداري الكلي.${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$، ومكونه على طول المحور z،${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$الزخم الزاوي الدوراني الكلي${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ومكونه z${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$الأعداد الكمومية المقابلة لهذه المؤثرات هي${\displaystyle \ell }$،${\displaystyle m_{\ell }}$،${\displaystyle s}$(دائماً 1/2 للإلكترون) و${\displaystyle m_{s}}$على التوالى.

تعتمد مستويات الطاقة في ذرة الهيدروجين فقط على العدد الكمي الرئيسي n . بالنسبة لقيمة معينة لـ n ، فإن جميع الحالات المقابلة لـ${\displaystyle \ell =0,\ldots ,n-1}$لها نفس الطاقة وتكون متماثلة. وبالمثل، بالنسبة لقيم معينة من n و ℓ ، فإن${\displaystyle (2\ell +1)}$الولايات مع${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,\ldots ,\ell }$_{تكون هذه المستويات متدهورة. وبالتالي ،} فإن درجة تدهور مستوى الطاقة En هي$${\displaystyle \sum _{\ell \mathop {=} 0}^{n-1}(2\ell +1)=n^{2},}$$والذي يتضاعف إذا أُخذ انحلال اللف المغزلي في الاعتبار. ^{[ 1 ] : 267f}

الانحطاط فيما يتعلق بـ${\displaystyle m_{\ell }}$يُعدّ هذا انحلالًا جوهريًا موجودًا في أي جهد مركزي ، وينشأ من غياب اتجاه مكاني مفضل. ويتعلق الانحلال بـ${\displaystyle \ell }$غالبًا ما يُوصف هذا بأنه انحلال عرضي، ولكن يمكن تفسيره من خلال تناظرات خاصة لمعادلة شرودنغر، والتي لا تصح إلا لذرة الهيدروجين التي تُعطى طاقة وضعها بقانون كولوم . ^{[ 1 ] : 267 وما بعدها}

هو جسيم عديم الدوران كتلته m يتحرك في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ويخضع لقوة مركزية تتناسب قيمتها المطلقة مع المسافة بين الجسيم ومركز القوة. $${\displaystyle F=-kr}$$ يقال إنه متجانس الخواص لأن الجهد${\displaystyle V(r)}$التأثير عليه ثابت دورانيًا، أي$${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}}$$أين${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي المعطى بواسطة${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$.

بما أن فضاء حالة مثل هذا الجسيم هو حاصل الضرب الموتري لفضاءات الحالة المرتبطة بدوال الموجة أحادية البعد الفردية، فإن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لمثل هذا النظام تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\psi }=E\psi }$$

إذن، القيم الذاتية للطاقة هي$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$أو،$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$حيث n عدد صحيح غير سالب. لذا، فإن مستويات الطاقة متساوية في الطاقة، ودرجة التساوي في الطاقة تساوي عدد المجموعات المختلفة.${\displaystyle \{n_{x},n_{y},n_{z}\}}$مُرضٍ $${\displaystyle n_{x}+n_{y}+n_{z}=n}$$ انحطاط${\displaystyle n}$يمكن إيجاد الحالة رقم - من خلال النظر في توزيع${\displaystyle n}$الكميات عبر${\displaystyle n_{x}}$،${\displaystyle n_{y}}$و${\displaystyle n_{z}}$امتلاك صفر في${\displaystyle n_{x}}$أعطِ${\displaystyle n+1}$إمكانيات التوزيع عبر${\displaystyle n_{y}}$و${\displaystyle n_{z}}$امتلاك كمية واحدة في${\displaystyle n_{x}}$أعطِ${\displaystyle n}$الاحتمالات عبر${\displaystyle n_{y}}$و${\displaystyle n_{z}}$وهكذا دواليك. وهذا يؤدي إلى النتيجة العامة التالية:${\displaystyle n-n_{x}+1}$وبجمع كل شيء${\displaystyle n}$يؤدي إلى انحطاط${\displaystyle n}$الولاية رقم -، $${\displaystyle \sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ بالنسبة للحالة الأرضية${\displaystyle n=0}$الانحطاط هو${\displaystyle 1}$إذن، الحالة غير منحطة. أما بالنسبة لجميع الحالات الأعلى، فإن الانحطاط أكبر من 1، لذا فإن الحالة منحطة.

فيما يلي بعض الأمثلة المهمة للحالات الفيزيائية التي يتم فيها تقسيم مستويات الطاقة المتدهورة لنظام كمي عن طريق تطبيق اضطراب خارجي.

يشير النظام ثنائي المستوى أساسًا إلى نظام فيزيائي له حالتان متقاربتان في الطاقة ومختلفتان اختلافًا كبيرًا عن طاقات الحالات الأخرى للنظام. تُجرى جميع الحسابات لهذا النظام على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد من فضاء الحالة.

إذا كانت الحالة الأرضية لنظام فيزيائي متدهورة بشكل مزدوج، فإن أي اقتران بين الحالتين المتناظرتين يقلل من طاقة الحالة الأرضية للنظام، ويجعلها أكثر استقرارًا.

لو${\displaystyle E_{1}}$و${\displaystyle E_{2}}$تمثل مستويات الطاقة للنظام، بحيث${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$والاضطراب${\displaystyle W}$يتم تمثيلها في الفضاء الفرعي ثنائي الأبعاد على شكل المصفوفة 2×2 التالية $${\displaystyle \mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\[1ex]W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.}$$ ثم تكون الطاقات المضطربة $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{+}&=E+|W_{12}|\\E_{-}&=E-|W_{12}|\end{aligned}}}$$

تتضمن أمثلة الأنظمة ثنائية الحالة التي يتم فيها كسر الانحلال في حالات الطاقة من خلال وجود حدود غير قطرية في الهاميلتوني ناتجة عن تفاعل داخلي بسبب خاصية متأصلة في النظام ما يلي:

• البنزين ، مع وجود ترتيبين محتملين للروابط المزدوجة الثلاثة بين ذرات الكربون المتجاورة .
• جزيء الأمونيا ، حيث يمكن أن تكون ذرة النيتروجين إما فوق أو تحت المستوى المحدد بواسطة ذرات الهيدروجين الثلاث .
• جزيء H ⁺ ₂ ، حيث يمكن أن يتمركز الإلكترون حول أي من النواتين.

تؤدي التصحيحات التي تطرأ على تفاعل كولوم بين الإلكترون والبروتون في ذرة الهيدروجين بسبب الحركة النسبية والاقتران بين الدوران والمدار إلى كسر الانحلال في مستويات الطاقة لقيم مختلفة من l تتوافق مع عدد كمي رئيسي واحد n .

يُعطى هاميلتونيان الاضطراب الناتج عن التصحيح النسبي بالصيغة التالية $${\displaystyle H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}}$$ أين${\displaystyle p}$هو عامل الزخم و${\displaystyle m}$هي كتلة الإلكترون. تصحيح الطاقة النسبية من الدرجة الأولى في${\displaystyle |nlm\rangle }$الأساس معطى بواسطة $${\displaystyle E_{r}=\left(-1/8m^{3}c^{2}\right)\left\langle n\ell m\right|p^{4}\left|n\ell m\right\rangle }$$

الآن${\displaystyle p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle +e^{4}\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle \right]\\&=-{\frac {1}{2}}mc^{2}\alpha ^{4}\left[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(\ell +1/2)}\right]\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة .

يشير تفاعل الدوران المداري إلى التفاعل بين العزم المغناطيسي الذاتي للإلكترون والمجال المغناطيسي الذي يتعرض له نتيجة حركته النسبية مع البروتون. وهاملتونيان هذا التفاعل هو $${\displaystyle H_{so}=-{\frac {e}{mc}}{\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {L} }{r^{3}}}={\frac {e^{2}}{m^{2}c^{2}r^{3}}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L} }$$ والتي يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle H_{so}={\frac {e^{2}}{4m^{2}c^{2}r^{3}}}\left[J^{2}-L^{2}-S^{2}\right]}$$

تصحيح الطاقة من الدرجة الأولى في${\displaystyle |j,m,\ell ,1/2\rangle }$الأساس الذي تكون فيه دالة هاميلتون للاضطراب قطرية، يُعطى بواسطة $${\displaystyle E_{so}={\frac {\hbar ^{2}e^{2}}{4m^{2}c^{2}}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{a_{0}^{3}n^{3}\ell (\ell +{\frac {1}{2}})(\ell +1)}}}$$ أين${\displaystyle a_{0}}$يمثل نصف قطر بور . ويُعطى إجمالي انزياح طاقة البنية الدقيقة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle E_{fs}=-{\frac {mc^{2}\alpha ^{4}}{2n^{3}}}\left[1/(j+1/2)-3/4n\right]}$$ ل${\textstyle j=\ell \pm {\tfrac {1}{2}}}$.

انقسام مستويات الطاقة للذرة عند وضعها في مجال مغناطيسي خارجي بسبب تفاعل العزم المغناطيسي${\displaystyle {\vec {m}}}$يُعرف تأثير المجال المطبق على الذرة باسم تأثير زيمان .

مع الأخذ في الاعتبار الزخم الزاوي المداري والدوراني،${\displaystyle \mathbf {L} }$و${\displaystyle \mathbf {S} }$بالنسبة للإلكترون الواحد في ذرة الهيدروجين، على التوالي، يُعطى هاميلتونيان الاضطراب بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\hat {V}}=-(\mathbf {m} _{\ell }+\mathbf {m} _{s})\cdot \mathbf {B} }$$ أين${\displaystyle \mathbf {m} _{\ell }=-e\mathbf {L} /2m}$و${\displaystyle \mathbf {m} _{s}=-e\mathbf {S} /m}$. هكذا، $${\displaystyle {\hat {V}}={\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B} }$$ أما في حالة تأثير زيمان ذي المجال الضعيف، فعندما يكون المجال المطبق ضعيفًا مقارنةً بالمجال الداخلي، فإن اقتران الدوران المداري هو السائد.${\textstyle \mathbf {L} }$و${\textstyle \mathbf {S} }$لا تُحفظ بشكل منفصل. الأعداد الكمية الجيدة هي n و ℓ و j و m _j ، وفي هذا الأساس، يمكن إثبات أن تصحيح الطاقة من الدرجة الأولى يُعطى بواسطة $${\displaystyle E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j},}$$أين ${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar }/2m}$يُطلق عليه اسم مغنيتون بور . وبالتالي، يعتمد ذلك على قيمة${\displaystyle m_{j}}$، كل مستوى طاقة متدهور ينقسم إلى عدة مستويات.

في حالة تأثير زيمان في المجال القوي، عندما يكون المجال المطبق قويًا بما يكفي لفصل الزخم الزاوي المداري والزخم الزاوي المغزلي، تصبح الأعداد الكمية الجيدة هي n و l و m و m s _. هنا، يتم الحفاظ على L _z و S _z ، لذا فإن هاميلتونيان الاضطراب يُعطى بالصيغة التالية _:$${\displaystyle {\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m}$$ بافتراض أن المجال المغناطيسي يمتد على طول المحور z . إذن، $${\displaystyle {\hat {V}}=eB(m_{\ell }+2m_{s})/2m}$$ لكل قيمة من قيم m _ℓ ، توجد قيمتان محتملتان لـ m _s ،${\displaystyle \pm 1/2}$.

يُعرف انقسام مستويات الطاقة للذرة أو الجزيء عند تعرضه لمجال كهربائي خارجي باسم تأثير ستارك .

بالنسبة لذرة الهيدروجين، فإن هاميلتونيان الاضطراب هو $${\displaystyle {\hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$$ إذا تم اختيار المجال الكهربائي على طول الاتجاه z .

تُعطى تصحيحات الطاقة الناتجة عن المجال المطبق بالقيمة المتوقعة لـ${\displaystyle {\hat {H}}_{s}}$في${\displaystyle |n\ell m\rangle }$الأساس. يمكن إثبات ذلك من خلال قواعد الاختيار التي${\displaystyle \langle n\ell m_{\ell }|z|n_{1}\ell _{1}m_{\ell 1}\rangle \neq 0}$متى${\displaystyle \ell =\ell _{1}\pm 1}$و${\displaystyle m_{\ell }=m_{\ell 1}}$.

لا يُزال الانحلال إلا لبعض الحالات التي تخضع لقواعد الاختيار، من الدرجة الأولى. يحدث انقسام من الدرجة الأولى في مستويات الطاقة للحالات المنحلة.${\displaystyle |2,0,0\rangle }$و${\displaystyle |2,1,0\rangle }$يُعطى كل من n = 2 و n = 2 بالصيغة التالية:${\displaystyle \Delta E_{2,1,m_{\ell }}=\pm |e|\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})E}$.