الفضاء الإسقاطي المعقد

إحدى الطرق المفيدة لبناء الفضاءات الإسقاطية المعقدة${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$يتم ذلك من خلال بناء تكراري باستخدام مركبات CW . تذكر أن هناك تماثلًا شكليًا${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$إلى الكرة ثنائية الأبعاد، مما يعطي المساحة الأولى. يمكننا بعد ذلك تطبيق الاستقراء على الخلايا للحصول على خريطة دفع للخارج$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$أين${\displaystyle D^{4}}$هي الكرة رقم أربعة، و${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$يمثل المولد في${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$(وبالتالي فهي مكافئة تماثليًا لخريطة هوبف ). يمكننا بعد ذلك بناء الفضاءات استقرائيًا كمخططات دفع خارجية.$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$أين${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$يمثل عنصرًا في$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$يُشرح أدناه تماثل مجموعات التماثل، وهو حساب قياسي في نظرية التماثل المستقر (والذي يمكن إجراؤه باستخدام متتالية سير الطيفية ، ونظرية تعليق فرويدنتال ، وبرج بوستنيكوف ). وتأتي هذه الخريطة من حزمة الألياف .$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$مما يعطي خريطة غير قابلة للانكماش، وبالتالي فهي تمثل المولد في${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$وإلا، فسيكون هناك تكافؤ تماثلي${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$لكن حينها سيكون مكافئًا من حيث التماثل لـ${\displaystyle S^{2}}$، وهو تناقض يمكن رؤيته من خلال النظر إلى مجموعات التماثل للفضاء.

الفضاء الإسقاطي المركب هو فضاء مضغوط ومتصل ، كونه خارج قسمة فضاء مضغوط ومتصل.

من حزمة الألياف

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

أو بشكل أكثر إيحاءً

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿ متصلة ببساطة . علاوة على ذلك، من خلال متتالية التماثل التام الطويلة ، فإن مجموعة التماثل الثانية هي π ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Z ، وتتفق جميع مجموعات التماثل الأعلى مع تلك الخاصة بـ S ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} ) لجميع k > 2.

بشكل عام، تعتمد الطوبولوجيا الجبرية لـ CP ⁿ على أن رتبة مجموعات التماثل تساوي صفرًا في الأبعاد الفردية؛ كما أن H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) دورية لانهائية من i = 0 إلى n . لذلك، فإن أعداد بيتي تتزايد

1، 0، 1، 0، ...، 0، 1، 0، 0، 0، ...

أي أن 0 في الأبعاد الفردية، و1 في الأبعاد الزوجية من 0 إلى 2n. وبالتالي، فإن خاصية أويلر لـ CP ⁿ هي n  +  1. وبحسب ازدواجية بوانكاريه، ينطبق الأمر نفسه على رتب مجموعات التماثل . في حالة التماثل، يمكننا المضي قدمًا وتحديد بنية الحلقة المتدرجة ، بالنسبة لحاصل الضرب الكأسي ؛ مولد H ² ( CP ⁿ , Z ) هو الفئة المرتبطة بمستوى فائق ، وهذا مولد حلقة، لذا فإن الحلقة متماثلة مع

Z [ T ]/( T ^{n +1} ),

مع كون T مولدًا من الدرجة الثانية. وهذا يعني أيضًا أن عدد هودج hᵢ ^{، حيث i =} 1، وجميع الأعداد الأخرى تساوي صفرًا. انظر ( بيسي 1978 ) .

ويترتب على ذلك من الاستقراء ودورية بوت أن

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

تحقق حزمة المماس ما يلي:

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

أين${\displaystyle \vartheta ^{1}}$يرمز إلى حزمة الخط التافهة، من متتالية أويلر . ومن هذا، يمكن حساب فئات تشيرن والأعداد المميزة بشكل صريح.

يوجد مكان${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$وهو، بمعنى ما، الحد الاستقرائي لـ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$إنها BU(1) ، وهي فضاء التصنيف لـ U(1) ، وهي مجموعة الدائرة، وفقًا لنظرية التماثل ، وبالتالي تصنف حزم الخطوط المعقدة . وبشكل مكافئ، فهي تمثل فئة تشيرن الأولى . ويمكن ملاحظة ذلك بشكل استدلالي من خلال النظر إلى خرائط حزم الألياف.$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$و${\displaystyle n\to \infty }$وهذا يُنتج حزمة ليفية (تُسمى حزمة الدائرة العالمية ) .$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$بناء هذا الفضاء. لاحظ أنه باستخدام التسلسل التام الطويل لمجموعات التماثل، لدينا${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$لذلك${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$هو فضاء إيلنبرغ-ماكلين ،${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$وبسبب هذه الحقيقة، ونظرية براون للتمثيل ، لدينا التشاكل التالي$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$لأي مجمع CW جيد${\displaystyle X}$علاوة على ذلك، من نظرية فئات تشيرن ، كل حزمة خطية معقدة${\displaystyle L\to X}$يمكن تمثيلها على أنها سحب للخلف لحزمة الخط العالمية على${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$وهذا يعني وجود مربع ارتداد$${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$أين${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$هي حزمة المتجهات المرتبطة بالرئيسي${\displaystyle U(1)}$-باقة${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$انظر، على سبيل المثال، ( Bott & Tu 1982 ) و ( Milnor & Stasheff 1974 ) .

يمر عبر أي نقطتين p و q في الفضاء الإسقاطي المركب خط مركب وحيد ( CP ¹ ). الدائرة العظمى لهذا الخط المركب التي تحتوي على p و q هي خط جيوديسي لمقياس فوبيني - ستودي. على وجه الخصوص، جميع الخطوط الجيوديسية مغلقة (أي أنها دوائر)، وجميعها متساوية الطول. (ينطبق هذا دائمًا على الفضاءات الريمانية المتناظرة عالميًا من الرتبة 1).

إنّ موضع القطع لأي نقطة p يساوي مستوىً فائقًا CP ^{n − 1.} وهو أيضًا مجموعة النقاط الثابتة للتناظر الجيوديسي عند p (باستثناء p نفسها). انظر ( بيسي 1978 ) .

يتميز هذا الفضاء بانحناء قطاعي يتراوح بين 1/4 و1، وهو أكثر الفضاءات استدارةً التي لا تُمثل كرة (أو لا تُغطيها كرة): فبحسب نظرية الكرة المضغوطة 1/4 ، فإن أي فضاء ريماني كامل وبسيط الاتصال، ذي انحناء يقع بين 1/4 و1، يكون متماثلًا مع الكرة. يُبين الفضاء الإسقاطي المركب أن 1/4 حاد. وعلى العكس، إذا كان للفضاء الريماني الكامل وبسيط الاتصال انحناءات قطاعية في الفترة المغلقة [1/4,1]، فإنه إما يكون متماثلًا مع الكرة، أو متساوي القياس مع الفضاء الإسقاطي المركب، _أو الفضاء الإسقاطي الرباعي ، أو مستوى كايلي F₄ /Spin(9)؛ انظر ( بريندل وشوين 2008 ) .

يمكن إعطاء الفضاءات الإسقاطية ذات الأبعاد الفردية بنية دورانية ، بينما لا يمكن إعطاء الفضاءات الإسقاطية ذات الأبعاد الزوجية بنية دورانية.

في الهندسة الجبرية ، يمكن تزويد الفضاء الإسقاطي المركب بطوبولوجيا أخرى تُعرف باسم طوبولوجيا زاريسكي ( هارتشورن 1977 ، §II.2) . لنفترض أن _S = C [ Z₀ , _... , Zₙ ] تُمثل الحلقة التبادلية لكثيرات الحدود في ( n +1) متغيرًا Z₀ _, ..., Zₙ _. يتم تصنيف هذه الحلقة حسب الدرجة الكلية لكل كثيرة حدود.

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

تُعرَّف مجموعة جزئية من CP ⁿ بأنها مغلقة إذا كانت تمثل مجموعة الحلول المتزامنة لمجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة. وباعتبار مكملات المجموعات المغلقة مفتوحة، يُعرَّف بذلك طوبولوجيا (طوبولوجيا زاريسكي) على CP ⁿ .

من الممكن بناء CP ⁿ بطريقة أخرى (وطوبولوجيا زاريسكي الخاصة بها). ليكن S ₊  ⊂ S هو المثالي الممتد بواسطة كثيرات الحدود المتجانسة ذات الدرجة الموجبة: 

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

عرّف Proj S بأنها مجموعة جميع المُثُل الأولية المتجانسة في S التي لا تحتوي على S ₊ . تُسمى مجموعة جزئية من Proj S مغلقة إذا كانت على الشكل التالي:

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

لبعض المثالي I في S. تُعرّف مُكمّلات هذه المجموعات المغلقة طوبولوجيا على Proj S. تُحدّد الحلقة S ، من خلال التموضع عند مثالي أولي ، حزمة من الحلقات المحلية على Proj S. الفضاء Proj S ، مع طوبولوجيته وحزمة الحلقات المحلية الخاصة به، هو مخطط . مجموعة النقاط المغلقة في Proj S متماثلة طوبولوجيًا مع CP ⁿ بطوبولوجيا زاريسكي الخاصة به. تُعرّف المقاطع المحلية للحزمة بالدوال الكسرية ذات الدرجة الكلية صفر على CP ⁿ .

يمكن الحصول على جميع حزم الخطوط على الفضاء الإسقاطي المركب من خلال البناء التالي. تُسمى الدالة f  : C ^{n +1} \{0} → C متجانسة من الدرجة k إذا

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

لكل λ ∈ C \{0 } و z ∈ C ^{n +1} \{0 }. وبشكل أعم، يكون هذا التعريف منطقيًا في المخاريط في C ^{n +1} \{0 }. تُسمى المجموعة V ⊂ C ^{n +1} \{0 } مخروطًا إذا كان، كلما كان v ∈ V ، فإن λv ∈ V لكل λ ∈ C \{0 }؛ أي أن المجموعة الجزئية مخروط إذا احتوت على الخط المركب المار بكل نقطة من نقاطها. إذا كانت U ⊂ CP ⁿ مجموعة مفتوحة (سواء في الطوبولوجيا التحليلية أو طوبولوجيا زاريسكي )، فليكن V ⊂ C ^{n +1} \{0 } هو المخروط فوق U : الصورة العكسية لـ U تحت الإسقاط C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ . أخيرًا، لكل عدد صحيح k ، ليكن O ( k )( U ) مجموعة الدوال المتجانسة من الدرجة k في V. هذا يحدد حزمة من مقاطع حزمة خطية معينة، ويرمز لها بـ O ( k ).

في الحالة الخاصة k = − 1 ، تُسمى الحزمة O ( − 1) حزمة الخط التكرارية . وهي تُعرَّف بشكل مكافئ على أنها الحزمة الفرعية من حاصل الضرب.

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

التي يكون ليفها على L ∈ CP ⁿ هو المجموعة

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

يمكن وصف هذه الحزم الخطية أيضًا بلغة القواسم . ليكن H = CP ^{n − 1} مستوىً فائقًا عقديًا مُعطى في CP ⁿ . فضاء الدوال الميرومورفية على CP ⁿ التي لها قطب بسيط على الأكثر على طول H (ولا يوجد لها قطب في أي مكان آخر) هو فضاء أحادي البعد، يُرمز له بـ O ( H )، ويُسمى حزمة المستوى الفائق . الحزمة الثنائية يُرمز لها بـ O ( −H )، والقوة ^{الموترية} k لـ O ( H ) يُرمز لها بـ O ( kH ). هذه هي الحزمة المولدة بواسطة المضاعفات الهولومورفية لدالة ميرومورفية لها قطب من الرتبة k على طول H. يتضح أن

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

في الواقع، إذا كانت L ( z ) = 0 دالة تعريف خطية لـ H ، فإن L ^{− k} هو مقطع ميرومورفي لـ O ( k )، ومحليًا المقاطع الأخرى لـ O ( k ) هي مضاعفات لهذا المقطع.

بما أن ^H₁ ( CPₙ , ^Z ) = 0 ، فإن حزم الخطوط على CPₙ تُصنَّف حتى التشاكل بواسطة فئات تشيرن الخاصة بها ، وهي أعداد صحيحة: تقع هذه الحزم في ^{H₂ (} CPₙ , Z ⁾ = Z. في الواقع ، تُولَّد فئات تشيرن الأولى للفضاء الإسقاطي المركب في ظل ازدواجية بوانكاريه بواسطة فئة التماثل المرتبطة بالمستوى الفائق H. حزمة الخطوط O ( kH ) لها فئة تشيرن k . بالتالي ^، فإن كل حزمة خطوط هولومورفية على CPₙ هي قوة موترية لـ O ( H ) أو O ( −H ) . بعبارة أخرى، تُولَّد زمرة بيكارد لـ CPₙ كزمرة أبيلية بواسطة فئة المستوى الفائق [ H ] ( ^{هارتشورن} 1977 ) .