وظيفة المنحدر

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة المنحدر

دالة المنحدر هي دالة حقيقية أحادية ، ورسمها البياني على شكل منحدر . يمكن التعبير عنها بتعريفات عديدة ، منها: "صفر للمدخلات السالبة، والمخرج يساوي المدخل للمدخلات غير السالبة". يُستخدم مصطلح "المنحدر" أيضًا للإشارة إلى دوال أخرى ناتجة عن تغيير المقياس والإزاحة ، والدالة المذكورة في هذه المقالة هي دالة المنحدر الواحدية (ميلها 1، وتبدأ من الصفر).

في الرياضيات، تُعرف دالة المنحدر أيضًا بالجزء الموجب .

في مجال تعلم الآلة ، تُعرف هذه الدالة عادةً باسم دالة التنشيط ReLU [ 1 ] [ 2 ] أو المقوم قياسًا على تقويم نصف الموجة في الهندسة الكهربائية . أما في الإحصاء (عند استخدامها كدالة احتمالية )، فتُعرف باسم نموذج توبيت .

لهذه الدالة تطبيقات عديدة في الرياضيات والهندسة، وتُعرف بأسماء مختلفة حسب السياق. وهناك صيغ قابلة للتفاضل لدالة المنحدر.

التعريفات

يمكن تعريف دالة المنحدر ( R ( x )  : R → R₀⁺ ) تحليليًا بعدة طرق. ومن التعريفات الممكنة ما يلي :

  • دالة متعددة التعريف :R(x):={x،x≥0؛0،x<0{\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}
  • باستخدام صيغة أقواس إيفرسون :R(x):=x⋅[x≥0]{\displaystyle R(x):=x\cdot [x\geq 0]}أوR(x):=x⋅[x>0]{\displaystyle R(x):=x\cdot [x>0]}
  • دالة القيمة القصوى :R(x):=الأعلى(x،0){\displaystyle R(x):=\max(x,0)}
  • متوسط ​​المتغير المستقل وقيمته المطلقة (خط مستقيم ميله يساوي واحدًا وقيمته المطلقة) :R(x):=x+|x|2{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}يمكن استنتاج ذلك من خلال ملاحظة التعريف التالي لـ max( a , b ) ،الأعلى(أ،ب)=أ+ب+|أ-ب|2{\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|ab|}{2}}}حيث a = x و b = 0
  • دالة هيفسايد المتدرجة مضروبة في خط مستقيم ذي ميل يساوي واحدًا:R(x):=xح(x){\displaystyle R\left(x\right):=xH(x)}
  • التفاف دالة هيفسايد المتدرجة مع نفسها :R(x):=ح(x)*ح(x){\displaystyle R\left(x\right):=H(x)*H(x)}
  • تكامل دالة هيفسايد المتدرجة: [ 3 ]R(x):=∫-∞xح(ξ)دξ{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi }
  • أقواس ماكولاي :R(x):=⟨x⟩{\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }
  • الجزء الموجب من دالة التطابق :R:=بطاقة تعريف+{\displaystyle R:=\operatorname {id} ^{+}}
  • كدالة حدية:R(x):=ليمأ→∞{1أ،x=0x1-هـ-أx،x≠0{\displaystyle R\left(x\right):=\lim _{a\to \infty }{\begin{cases}{\frac {1}{a}},\quad x=0\\{\dfrac {x}{1-e^{-ax}}},\quad x\neq 0\end{cases}}}

يمكن تقريبها بالقدر المطلوب عن طريق اختيار قيمة موجبة متزايدةأ>0{\displaystyle a>0}.

التطبيقات

للدالة المنحدرة تطبيقات عديدة في الهندسة، مثل نظرية معالجة الإشارات الرقمية .

العائد والأرباح من شراء خيار الشراء

في مجال التمويل ، يُمثل العائد من خيار الشراء منحنىً منحدرًا (يُزاح بمقدار سعر التنفيذ ). يؤدي قلب المنحنى أفقيًا إلى خيار بيع ، بينما يُشير قلبه رأسيًا (أخذ القيمة السالبة) إلى بيع الخيار أو اتخاذ مركز "بيع على المكشوف". في مجال التمويل، يُطلق على هذا الشكل اسم " عصا الهوكي "، نظرًا لتشابهه مع عصا هوكي الجليد .

زوج متناظر من دوال المفصل مع عقدة عند x=3.1

في الإحصاء ، تعتبر الدوال المفصلية للشرائح الانحدارية التكيفية متعددة المتغيرات (MARS) بمثابة منحدرات، وتستخدم لبناء نماذج الانحدار .

الخصائص التحليلية

عدم السلبية

في المجال بأكمله، تكون الدالة غير سالبة، لذا فإن قيمتها المطلقة هي نفسها، أي ∀x∈R:R(x)≥0{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0} و |R(x)|=R(x){\displaystyle \left|R(x)\right|=R(x)}

دليل

بحسب التعريف 2، فإنها غير سالبة في الربع الأول، وصفر في الربع الثاني؛ لذلك فهي غير سالبة في كل مكان.

المشتق

مشتقها هو دالة هيفسايد المتدرجة : R′(x)=ح(x)ل x≠0.{\displaystyle R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }}x\neq 0.}

المشتقة الثانية

تحقق دالة المنحدر المعادلة التفاضلية التالية: د2دx2R(x-x0)=دلتا(x-x0)،{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),} حيث δ ( x ) هي دالة ديراك دلتا . هذا يعني أن R ( x ) هي دالة غرين لمؤثر المشتقة الثانية. وبالتالي، فإن أي دالة f ( x ) ذات مشتقة ثانية قابلة للتكامل، f ″( x ) ، ستحقق المعادلة التالية: و(x)=و(أ)+(x-أ)و′(أ)+∫أبR(x-s)و"(s)دsل أ<x<ب.{\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\,ds\quad {\mbox{for }}a<x<b.}

مضاد المشتق

تحتوي دالة Ramp على الدالة العكسية التالية:

∫R(x)دx=x2+x|x|4+ج=x2R(x)+ج،{\displaystyle \int {R(x)dx}={\frac {x^{2}+x\vert x\vert }{4}}+C={\frac {x}{2}}R(x)+C\,,}

أينج{\displaystyle C}هو ثابت التكامل .

تحويل فورييه

F{R(x)}(و)=∫-∞∞R(x)هـ-2πأناوxدx=أنادلتا′(و)4π-14π2و2،{\displaystyle {\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},} حيث δ ( x ) هي دالة ديراك دلتا (في هذه الصيغة، يظهر مشتقها ).

تحويل لابلاس

يُعطى تحويل لابلاس أحادي الجانب لـ R ( x ) على النحو التالي، [ 4 ]ل{R(x)}(s)=∫0∞هـ-sxR(x)دx=1s2.{\displaystyle {\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}

الخصائص الجبرية

ثبات التكرار

كل دالة متكررة لرسم الخرائط المنحدرة هي نفسها، كما R(R(x))=R(x).{\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}=R(x).}

دليل

R(R(x)):=R(x)+|R(x)|2=R(x)+R(x)2=R(x).{\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x).} وهذا يطبق خاصية عدم السالبية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ براونلي، جيسون (8 يناير 2019). "مقدمة مبسطة لوحدة التنشيط الخطي المعدل (ReLU)" . إتقان تعلم الآلة . تم الاسترجاع في 8 أبريل 2021 .
  2. ↑ ليو، دانكينغ (30 نوفمبر 2017). "دليل عملي لـ ReLU" . Medium . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 أبريل 2021 .
  3. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة المنحدر" . عالم الرياضيات .
  4. ↑ "تحويل لابلاس للدوال" . lpsa.swarthmore.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-04-05 .