الجوانب الإيجابية والسلبية

في الرياضيات ، يُعرَّف الجزء الموجب من دالة حقيقية أو دالة حقيقية موسعة بالصيغة التالية: $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ إذا }}f(x)>0\\0&{\text{ خلاف ذلك.}}\end{cases}}}$$

بشكل بديهي، الرسم البياني لـ${\displaystyle f^{+}}$يتم الحصول عليها من خلال رسم بياني لـ${\displaystyle f}$، "بقطع" الجزء الواقع أسفل المحور السيني ، وترك${\displaystyle f^{+}}$خذ القيمة صفر هناك.

وبالمثل، يُعرَّف الجزء السالب من f على النحو التالي:$${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ إذا }}f(x)<0\\0&{\text{ خلاف ذلك}}\end{cases}}}$$

لاحظ أن كلاً من f ⁺ و f- ^دالتان غير سالبتين. ومن خصائص المصطلحات أن "الجزء السالب" ليس سالباً ولا جزءاً (كما أن الجزء التخيلي من العدد المركب ليس تخيلياً ولا جزءاً).

يمكن التعبير عن الدالة f بدلالة f ⁺ و f ⁻ كما يلي: $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

لاحظ أيضًا أن $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

باستخدام هاتين المعادلتين، يمكن التعبير عن الأجزاء الموجبة والسالبة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}$$

وهناك تمثيل آخر باستخدام قوس إيفرسون وهو $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}}$$

يمكن تعريف الجزء الموجب والجزء السالب لأي دالة بقيم في مجموعة مرتبة خطيًا .

دالة المنحدر الواحد هي الجزء الموجب من دالة التطابق .

بالنظر إلى فضاء قابل للقياس ( X , Σ) ، تكون الدالة الحقيقية f قابلة للقياس إذا وفقط إذا كان جزئيها الموجب والسالب قابلين للقياس. لذلك، إذا كانت هذه الدالة f قابلة للقياس، فإن قيمتها المطلقة | f | قابلة للقياس أيضًا، لأنها مجموع دالتين قابلتين للقياس. مع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة: على سبيل المثال، إذا أخذنا f كـ $${\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}$$ حيث V هي مجموعة فيتالي ، من الواضح أن f غير قابلة للقياس، ولكن قيمتها المطلقة قابلة للقياس، كونها دالة ثابتة.

يُستخدم الجزء الموجب والجزء السالب من الدالة لتعريف تكامل ليبيغ للدالة الحقيقية. وبالمثل، يمكن تحليل مقياس مُوَقَّع إلى جزأين موجب وسالب - انظر نظرية هان للتحليل .

• المُقوِّم (الشبكات العصبية)
• الدوال الزوجية والفردية
• الأجزاء الحقيقية والخيالية

• الجانب الإيجابي على موقع MathWorld