نموذج توبيت

إن دالة الاحتمال اللوغاريتمي، كما ذُكر أعلاه، ليست مقعرة بشكل عام ، مما يُعقّد عملية تقدير الاحتمال الأقصى . وقد اقترح أولسن إعادة تحديد المعلمات ببساطة.${\displaystyle \beta =\delta /\gamma }$و${\displaystyle \sigma ^{2}=\gamma ^{-2}}$مما ينتج عنه تحويل لوغاريتم الاحتمالية،

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}>y_{L}}\left\{\log \gamma +\log \left[\varphi \left(\gamma y_{j}-X_{j}\delta \right)\right]\right\}+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left[\Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}$

وهو مقعر عالميًا من حيث المعاملات المحولة. ^{[ 7 ]}

بالنسبة للنموذج المقتطع (توبيت 2)، أظهر أورم أنه على الرغم من أن دالة الاحتمال اللوغاريتمي ليست مقعرة بشكل عام، إلا أنها مقعرة عند أي نقطة ثابتة في ظل التحويل المذكور أعلاه. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

إذا كانت معلمة العلاقة${\displaystyle \beta }$يتم تقديرها عن طريق تحليل الانحدار للقيم المرصودة${\displaystyle y_{i}}$على${\displaystyle x_{i}}$وبالتالي، فإن مُقدِّر الانحدار الخطي العادي الناتج غير متسق . إذ يُعطي تقديرًا متحيزًا نحو الأسفل لمعامل الميل وتقديرًا متحيزًا نحو الأعلى للتقاطع. وقد أثبت تاكيشي أميميا (1973) أن مُقدِّر الاحتمال الأقصى الذي اقترحه توبين لهذا النموذج متسق. ^{[ 10 ]}

ال${\displaystyle \beta }$لا ينبغي تفسير المعامل على أنه تأثير${\displaystyle x_{i}}$على${\displaystyle y_{i}}$كما هو الحال مع نموذج الانحدار الخطي ؛ هذا خطأ شائع. بدلاً من ذلك، ينبغي تفسيره على أنه مزيج من

1. التغيير في${\displaystyle y_{i}}$من بين أولئك الذين تجاوزوا الحد المسموح به، مرجحين باحتمالية تجاوزهم الحد المسموح به؛
2. التغير في احتمالية تجاوز الحد، مرجحًا بالقيمة المتوقعة لـ${\displaystyle y_{i}}$إذا كان أعلاه. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbb {E} [Y_{i}\mid X_{i}]}{\partial x_{ik}}}={\frac {\partial \mathbb {E} [Y_{i}\mid Y_{i}>0,X_{i}]}{\partial x_{ik}}}\cdot \mathbb {P} (Y_{i}>0\mid X_{i})+{\frac {\partial \mathbb {P} (Y_{i}>0\mid X_{i})}{\partial x_{ik}}}\cdot \mathbb {E} [Y_{i}\mid Y_{i}>0,X_{i}].}$

يُعد نموذج توبيت حالة خاصة من نموذج الانحدار الخاضع للرقابة ، لأن المتغير الكامن${\displaystyle y_{i}^{*}}$ لا يمكن دائمًا ملاحظة المتغير المستقل${\displaystyle x_{i}}$يمكن ملاحظته. أحد الاختلافات الشائعة في نموذج توبيت هو الرقابة عند قيمة معينة.${\displaystyle y_{L}}$يختلف عن الصفر:

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

ومن الأمثلة الأخرى حجب القيم الأعلى من${\displaystyle y_{U}}$.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

وينتج نموذج آخر عندما${\displaystyle y_{i}}$يتم حجبها من الأعلى والأسفل في نفس الوقت.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

سيتم عرض بقية النماذج على أنها محدودة من الأسفل عند 0، على الرغم من أنه يمكن تعميم ذلك كما هو الحال بالنسبة للنوع الأول.

تُدخل نماذج توبيت من النوع الثاني متغيرًا كامنًا ثانيًا. ^{[ 13 ]}

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

في نموذج توبيت من النوع الأول، يستوعب المتغير الكامن كلاً من عملية المشاركة والنتيجة المرجوة. أما في نموذج توبيت من النوع الثاني، فتُعتبر عملية المشاركة (الاختيار) والنتيجة المرجوة مستقلتين، بشرط توفر البيانات القابلة للملاحظة.

يندرج نموذج اختيار هيكمان ضمن النوع الثاني من نموذج توبيت، ^{[ 14 ]} والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم هيكيت نسبة إلى جيمس هيكمان . ^{[ 15 ]}

يُدخل النوع الثالث متغيرًا تابعًا ثانيًا مُلاحَظًا.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

يندرج نموذج هيكمان ضمن هذا النوع .

يُدخل النوع الرابع متغيرًا تابعًا ثالثًا مُلاحَظًا ومتغيرًا كامنًا ثالثًا.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}<0.\end{cases}}}$

على غرار النوع الثاني، في النوع الخامس تظهر علامة فقط${\displaystyle y_{1i}^{*}}$تمت الملاحظة.

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}$

إذا كان المتغير الكامن الأساسي${\displaystyle y_{i}^{*}}$إذا لم يكن التوزيع طبيعيًا، فيجب استخدام المئينات بدلًا من العزوم لتحليل المتغير القابل للملاحظة.${\displaystyle y_{i}}$. يقدم مقدر CLAD الخاص بباول طريقة ممكنة لتحقيق ذلك. ^{[ 16 ]}