مخطط راندولف

مخطط راندولف ( مخطط R ) هو طريقة بسيطة لتصور التعبيرات المنطقية وتراكيب المجموعات. ابتكر مخططات راندولف عالم الرياضيات جون ف. راندولف عام 1965، خلال فترة عمله في جامعة أركنساس .

يمكن تفسير مخططات راندولف بسهولة أكبر بتحديد كل خط على أنه ينتمي إلى عبارة منطقية أو مجموعة واحدة أو يرتبط بها . تشير أي نقطة أعلى الخط إلى الصواب أو الاحتواء، بينما تشير النقطة أسفل الخط إلى الخطأ أو الاستبعاد. باستخدام هذا النظام، يمكن تمثيل أي مجموعة من العبارات المنطقية أو المجموعات باستخدام خطوط متقاطعة.

على الرغم من أن مخططات فين تُستخدم عادةً لتمثيل مجموعات من العناصر، إلا أن مخططات راندولف تتميز بقدرتها على تمثيل مجموعات من أكثر من ثلاث عناصر بوضوح. تتطلب مخططات فين إما توسيعًا إلى أبعاد مكانية أعلى أو استخدام أشكال أكثر تعقيدًا، بينما تُقسّم مخططات راندولف كل مجموعة إضافية بالتساوي. ^{[ 1 ]} فيما يلي مقارنة بين مخطط فين ومخطط راندولف لخمس مجموعات من العبارات المنطقية:

في ورقته التمهيدية حول هذا الموضوع، بعنوان "دراسة متعمقة لحساب القضايا وعمليات المجموعات" ، ^{[ 2 ]} يذكر راندولف أن أول استخدام للصلبان والنقاط لتمثيل العلاقات المنطقية كان من ابتكار دبليو إس ماكولوتش ، عالم وظائف الأعصاب والمعاصر لراندولف. عدّل راندولف نظام ماكولوتش بطريقة جديدة لتمثيل تركيبات وعلاقات أكثر من عبارتين منطقيتين أو مجموعتين، وذلك بتقسيم كل قسم من مخطط R بخط قطري جديد لكل عنصر جديد. تشير ورقة راندولف إلى أن فكرته الأصلية كانت استخدام مخططات R لتمثيل العلاقات المنطقية، ثم وسّع الفكرة لتشمل نظرية المجموعات أيضًا. في جميع أنحاء الورقة، تُستخدم مخططات R جنبًا إلى جنب مع رموز العمليات المنطقية والثنائية العادية للمجموعات.

عند تطبيق مخططات R على نظرية المنطق، يمكن تمثيل العبارات المنطقية p و q و r بخط أو عدة خطوط لعرض صحة كل عنصر في عبارة أكبر. يُفترض عمومًا أن p تُمثَّل بخط مائل لأعلى (/)، بينما تُمثَّل q بخط مائل لأسفل (\). تشير النقطة أعلى الخط المائل في المخطط إلى صحة تلك العبارة، بينما تشير النقطة أسفله إلى خطئها. يوضح الشكل أدناه مخططات R للعبارتين p و q على التوالي.

في حالة وجود أكثر من عبارتين، يجب تقسيم المساحات الأربع الناتجة عن تقاطع الخطين p و q إلى خطوط فرعية. أما في حالة r، فيُضاف خط واحد مائل لأعلى (/) في كل مساحة من المساحات الأربع. يوضح الشكل أدناه مخطط R الخاص بـ r:

يمكن توسيع هذه الطريقة لتشمل أي عدد من قيم الصواب:

، إلخ.

تُستخدم مخططات R بشكل أساسي لتمثيل التعبيرات المنطقية. فعند إعطاء عبارة منطقية، تستطيع مخططات R عرض نتيجة كل احتمال من احتمالات الصواب/الخطأ لكل عنصر، مما يخلق طريقة بديلة لتمثيل جدول الحقيقة .

يمكن التعبير عن جميع العمليات المنطقية الأساسية، أو الروابط المنطقية ، باستخدام مخططات R كبديل أسهل للقراءة من جدول الحقيقة، كما هو موضح في الجدول أدناه:

العمليات المنطقية الأساسية

اسم	الرموز	مخطط R	جدول الحقيقة
النفي (ليس)	¬ , ~		ص ¬p تي F F تي
حرف العطف (و)	& , ∧		ص q p ∧ q تي تي تي تي F F F تي F F F F
الفصل (أو)	∨		ص q p ∨ q تي تي تي تي F تي F تي تي F F F
الآثار المادية (إذا...إذن)	${\displaystyle \rightarrow }$ ،${\displaystyle \Rightarrow }$،${\displaystyle \supset }$		ص q ص${\displaystyle \rightarrow }$q تي تي تي تي F F F تي تي F F تي
الشرط الثنائي (إذا وفقط إذا، xnor)	${\displaystyle \leftrightarrow }$،${\displaystyle \equiv }$،${\displaystyle =}$		ص q ص${\displaystyle \leftrightarrow }$q تي تي تي تي F F F تي F F F تي

تُستخدم مخططات R أيضًا في نظرية المجموعات ، كبديل لمخططات فين. في نظرية المجموعات، يُمثل كل خط مجموعةً بدلًا من عبارة منطقية؛ حيث يحل A محل p وB محل q. عند استخدامها للمجموعات، تُمثل النقطة أعلى الخط الاحتواء، بينما تُمثل النقطة أسفله الاستبعاد. وكما هو الحال في المنطق، يُمكن تمثيل عمليات المجموعات الأساسية بصريًا باستخدام مخططات R.

عمليات المجموعات الأساسية

اسم	الترميز	مخطط R
الاتحاد	${\displaystyle A\cup B}$
تقاطع	${\displaystyle A\cap B}$
المكمل المطلق	${\displaystyle A^{c}}$
المتمم النسبي (فرق المجموعة)	${\displaystyle A\smallsetminus B}$
فرق متناظر	${\displaystyle A\Delta B}$

توضح مخططات R التكافؤ بين المفاهيم النظرية للمجموعات والمفاهيم المنطقية: التقاطع في نظرية المجموعات يعادل الاقتران في المنطق، والاتحاد في نظرية المجموعات يعادل الفصل المنطقي.