الشرط الثنائي المنطقي

في المنطق والرياضيات ، يُعرف الشرط الثنائي المنطقي ، أو الشرط الثنائي المادي ، أو التكافؤ ، أو الاستلزام ثنائي الاتجاه ، أو الاستلزام الثنائي ، أو الاستلزام الثنائي، أو اللاحصري ، بأنه الرابط المنطقي المستخدم لربط عبارتين .${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$لتكوين البيان "${\displaystyle P}$إذا وفقط إذا${\displaystyle Q}$" (غالباً ما يتم اختصارها إلى "${\displaystyle P}$إذا${\displaystyle Q}$" ^{[ 1 ]} )، حيث${\displaystyle P}$يُعرف باسم السابق ، و${\displaystyle Q}$والنتيجة . ^{[ 2 ] [ 3 ]}​

تتضمن الرموز المستخدمة لتمثيل التكافؤ في الوقت الحاضر ما يلي:${\displaystyle \leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv }$.

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$وهو مكافئ منطقياً لكليهما${\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)}$و${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$، وعامل XNOR (NOR الحصري) المنطقي ، والذي يعني "كلاهما أو لا شيء".

من الناحية الدلالية، الحالة الوحيدة التي يختلف فيها الشرط الثنائي المنطقي عن الشرط المادي هي الحالة التي تكون فيها الفرضية (المقدمة) خاطئة ولكن النتيجة (التبعية) صحيحة. في هذه الحالة، تكون النتيجة صحيحة بالنسبة للشرط، ولكنها خاطئة بالنسبة للشرط الثنائي. ^{[ 2 ]}

في التفسير المفاهيمي، تعني P = Q أن "كل عناصر P هي عناصر Q ، وكل عناصر Q هي عناصر P ". بعبارة أخرى، تتطابق المجموعتان P و Q : فهما متطابقتان. مع ذلك، لا يعني هذا بالضرورة أن يكون لـ P و Q المعنى نفسه (مثلاً، قد تكون P تعني "مثلث متساوي الزوايا"، وقد تكون Q تعني "مثلث متساوي الأضلاع"). عند صياغة الجملة، يكون المقدم هو الفاعل ، والنتيجة هي المسند في قضية إيجابية كلية (مثلاً، في عبارة "كل البشر فانون"، "البشر" هو الفاعل، و"فانون" هو المسند).

في التفسير الافتراضي،${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$يعني هذا أن P تستلزم Q و Q تستلزم P ؛ أي أن القضيتين متكافئتان منطقيًا، بمعنى أنهما إما صحيحتان معًا أو خاطئتان معًا. ومع ذلك، لا يعني هذا بالضرورة أن يكون لهما نفس المعنى، فقد تكون P تعني "للمثلث ABC ضلعان متساويان" و Q تعني "للمثلث ABC زاويتان متساويتان". عمومًا، المقدمة هي السبب ، والنتيجة هي النتيجة . عندما تُترجم الاستلزامية بحكم افتراضي (أو شرطي )، تُسمى المقدمة بالفرضية (أو الشرط ) وتُسمى النتيجة بالأطروحة .

إحدى الطرق الشائعة لإثبات الشرط الثنائي هي الشكل التالي${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$الهدف هو إثبات ذلك${\displaystyle P\rightarrow Q}$و${\displaystyle Q\rightarrow P}$بشكل منفصل (نظرًا لتكافؤه مع اقتران الشرطين العكسيين ^{[ 2 ]} ). وهناك طريقة أخرى لإثبات نفس الشرط الثنائي وهي إثبات أن${\displaystyle P\rightarrow Q}$و${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$.

عندما يكون كلا عنصري العبارة الشرطية الثنائية عبارةً، يمكن فصلها إلى شرطين، أحدهما يُسمى نظرية والآخر مقلوبها . وبالتالي، كلما كانت النظرية ومقلوبها صحيحين، لدينا عبارة شرطية ثنائية. تُنتج النظرية البسيطة استلزامًا، مقدمه هو الفرض ونتيجته هي أطروحة النظرية.

كثيرًا ما يُقال إن الفرضية شرط كافٍ للأطروحة، والأطروحة شرط ضروري للفرضية. أي أنه يكفي أن تكون الفرضية صحيحة لكي تكون الأطروحة صحيحة، بينما يكون من الضروري أن تكون الأطروحة صحيحة لكي تكون الفرضية صحيحة. عندما تكون النظرية ومعكوسها صحيحين، يُقال إن فرضيتها شرط ضروري وكافٍ للأطروحة. أي أن الفرضية هي سبب الأطروحة ونتيجتها في آن واحد.

تشمل الرموز المستخدمة في التاريخ لتمثيل التكافؤ ما يلي:

• ${\displaystyle =}$في جورج بول عام 1847. ^{[ 4 ]} على الرغم من أن بول استخدم${\displaystyle =}$وبالأخص فيما يتعلق بالصفوف الدراسية، فقد نظر أيضاً في القضية التي${\displaystyle x,y}$هي مقترحات في${\displaystyle x=y}$وفي ذلك الوقت${\displaystyle =}$هو التكافؤ.
• ${\displaystyle \equiv }$في فريجه عام 1879؛ ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \sim }$في بيرنايز عام 1918؛ ^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \rightleftarrows }$في هيلبرت عام 1927 (بينما كان يستخدم${\displaystyle \sim }$(كرمز رئيسي في المقالة)؛ ^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \leftrightarrow }$في هيلبرت وأكرمان عام 1928 ^{[ 8 ]} (وقد قدموا أيضًا${\displaystyle \rightleftarrows ,\sim }$أثناء استخدامهم${\displaystyle \sim }$باعتباره الرمز الرئيسي في الكتاب بأكمله؛${\displaystyle \leftrightarrow }$وقد تبناها العديد من المتابعين مثل بيكر في عام 1933 ^{[ 9 ]} )؛
• ${\displaystyle E}$(بادئة) في Łukasiewicz عام 1929 ^{[ 10 ]} و${\displaystyle Q}$(بادئة) في Łukasiewicz عام 1951؛ ^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle \supset \subset }$في هيتينغ عام 1930؛ ^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \Leftrightarrow }$في بورباكي عام 1954؛ ^{[ 13 ]}
• ${\displaystyle \subset \supset }$في تشازال عام 1996؛ ^{[ 14 ]}

وهكذا دواليك. شخص آخر يستخدم أيضاً${\displaystyle \operatorname {EQ} }$أو${\displaystyle \operatorname {EQV} }$أحياناً.

المساواة المنطقية (المعروفة أيضًا باسم الشرط الثنائي) هي عملية على قيمتين منطقيتين ، عادةً ما تكون قيمتين لقضيتين ، وتنتج قيمة صحيحة إذا وفقط إذا كان كلا المعاملين خاطئين أو كان كلا المعاملين صحيحين. ^{[ 2 ]}

جدول الحقيقة

فيما يلي جدول الحقيقة لـ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
F	F	تي
F	تي	F
تي	F	F
تي	تي	تي

عند وجود أكثر من عبارتين، يتم دمجهما مع${\displaystyle \leftrightarrow }$قد يكون الأمر غامضًا. على سبيل المثال، العبارة

${\displaystyle x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي

${\displaystyle (((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}}$،

أو يمكن تفسيرها على أنها تعني أن جميع x _i صحيحة مجتمعة أو خاطئة مجتمعة :

${\displaystyle (x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

اتضح أن هاتين العبارتين متطابقتان فقط عند وجود وسيطين أو صفر. في الواقع، تُظهر جداول الحقيقة التالية نفس نمط البتات في السطر الذي لا يحتوي على وسيط وفي الأسطر التي تحتوي على وسيطين فقط.

يمثل مخطط فين الأيسر أدناه، والخطوط (AB )     في هذه المصفوفات نفس العملية.

مخططات فين

المناطق الحمراء تعني صحيح (كما في "لـ و ").

الشرط الثنائي لعبارتين هو نفي الشرط الحصري أو : ${\displaystyle ~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \neg }$

تعطي العبارة الشرطية الثنائية وعبارة " أو الحصرية" لثلاث عبارات نفس النتيجة: ${\displaystyle ~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow }$${\displaystyle ~A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$ ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$

لكن${\displaystyle ~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C}$يمكن استخدامها أيضًا كاختصار لـ${\displaystyle (A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)}$ ${\displaystyle \land }$${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$

التبادلية : نعم

${\displaystyle A\leftrightarrow B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\leftrightarrow A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

الترابط الاجتماعي : نعم

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$	${\displaystyle (B\leftrightarrow C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\leftrightarrow B)}$	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$

التوزيعية : لا يتوزع الشرط الثنائي على أي دالة ثنائية (ولا حتى على نفسه)، لكن الفصل المنطقي يتوزع على الشرط الثنائي.

خاصية التكرار : لا

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\leftrightarrow ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle ~1~}$	${\displaystyle \nLeftrightarrow }$	${\displaystyle ~A~}$
	${\displaystyle ~\leftrightarrow ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \nLeftrightarrow }$

الرتابة : لا

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$			${\displaystyle (A\leftrightarrow C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\leftrightarrow C)}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

الحفاظ على الحقيقة: نعم. عندما تكون جميع المدخلات صحيحة، تكون المخرجات صحيحة.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$

الحفاظ على الزيف: لا. عندما تكون جميع المدخلات خاطئة، فإن المخرجات ليست خاطئة.

${\displaystyle A\leftrightarrow B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$

طيف والش : (2,0,0,2)

اللاخطية : 0 (الدالة خطية )

مثل جميع الروابط في منطق الرتبة الأولى، فإن للشرط الثنائي قواعد استدلال تحكم استخدامه في البراهين الرسمية.

ب → أ أ → ب ∴ أ ↔ ب    

ب → أ أ → ب ∴ ب ↔ أ    

أ ↔ ب   ∴ أ → ب

أ ↔ ب   ∴ ب → أ

إحدى الطرق الواضحة للتعبير عن الشرط الثنائي بلغة إنجليزية بسيطة هي استخدام الصيغة " b إذا كان a و a إذا كان b " - وذلك في حال عدم استخدام الصيغة القياسية " a إذا وفقط إذا كان b ". وبصيغة أكثر رسمية، يمكن القول أيضًا " b يستلزم a و a يستلزم b "، أو " a شرط ضروري وكافٍ لـ b ". قد تُستخدم كلمة "if" في اللغة الإنجليزية البسيطة أحيانًا كعبارة شرطية ثنائية (خاصةً في سياق تعريف رياضي ^{[ 15 ]} ). في هذه الحالة، يجب مراعاة السياق المحيط عند تفسير هذه الكلمات.

على سبيل المثال، قد تُفسَّر عبارة "سأشتري لك محفظة جديدة إذا كنتَ بحاجة إليها" على أنها جملة شرطية ثنائية، لأن المتحدث لا يقصد أن تكون النتيجة الصحيحة هي شراء المحفظة سواءً كانت مطلوبة أم لا (كما في الجملة الشرطية). مع ذلك، فإن عبارة "الجو غائم إذا كانت السماء تمطر" لا تُعتبر عمومًا جملة شرطية ثنائية، إذ يمكن أن يكون الجو غائمًا حتى لو لم تكن السماء تمطر.

• إذا وفقط إذا
• التكافؤ المنطقي
• المساواة المنطقية
• بوابة XNOR
• الاستبعاد المشروط الثنائي
• مقدمة ثنائية الشرط

• الوسائط المتعلقة بالعبارات المنطقية الثنائية الشرطية على ويكيميديا ​​كومنز

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Biconditional على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .