الجبر سيجما

إجراء بشأن​${\displaystyle X}$هي دالة تُسند عددًا حقيقيًا غير سالب إلى مجموعات جزئية من${\displaystyle X;}$يمكن اعتبار هذا بمثابة تحديد دقيق لمفهوم "الحجم" أو "الكمية" للمجموعات. نريد أن يكون حجم اتحاد المجموعات المنفصلة مساوياً لمجموع أحجامها الفردية، حتى بالنسبة لسلسلة لانهائية من المجموعات المنفصلة .

يرغب المرء في تحديد حجم لكل مجموعة فرعية من${\displaystyle X,}$لكن في العديد من البيئات الطبيعية، لا يكون هذا ممكنًا. على سبيل المثال، تنص بديهية الاختيار على أنه عندما يكون الحجم قيد الدراسة هو المفهوم العادي للطول بالنسبة للمجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية، فإنه توجد مجموعات ليس لها حجم محدد، مثل مجموعات فيتالي . لهذا السبب، يُنظر بدلاً من ذلك في مجموعة أصغر من المجموعات الجزئية المميزة من${\displaystyle X.}$ستُسمى هذه المجموعات الجزئية بالمجموعات القابلة للقياس. وهي مغلقة تحت العمليات المتوقعة للمجموعات القابلة للقياس، أي أن متممة المجموعة القابلة للقياس هي مجموعة قابلة للقياس، والاتحاد القابل للعد للمجموعات القابلة للقياس هو مجموعة قابلة للقياس. تُسمى المجموعات غير الفارغة من المجموعات التي تتمتع بهذه الخصائص بالجبر سيجما.

تتضمن العديد من استخدامات القياس، مثل مفهوم الاحتمالية للتقارب شبه المؤكد ، نهايات متتاليات المجموعات . ولذلك، يُعدّ الانغلاق تحت الاتحادات والتقاطعات القابلة للعد أمرًا بالغ الأهمية. تُعرَّف نهايات المجموعات على النحو التالي في جبر سيجما.

• الحد الأعلى أو الحد الخارجي للمتتالية${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty} A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty}A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$وهي تتكون من جميع النقاط${\displaystyle x}$التي تنتمي إلى عدد لا نهائي من هذه المجموعات (أو بصورة مكافئة، التي تنتمي إلى عدد لا نهائي منها). أي،${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$إذا وفقط إذا وُجدت متتالية جزئية لا نهائية${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$(أين${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$) من المجموعات التي تحتوي جميعها${\displaystyle x;}$أي بحيث${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• الحد الأدنى أو الحد الداخلي للمتتالية${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$وهي تتألف من جميع النقاط الموجودة في جميع هذه المجموعات باستثناء عدد محدود منها (أو بصورة مكافئة، التي تقع في النهاية في جميعها). أي،${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$إذا وفقط إذا كان هناك فهرس${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$جميعها تحتوي على${\displaystyle x;}$أي بحيث${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

الحد الداخلي هو دائماً مجموعة جزئية من الحد الخارجي:$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ إذا كانت هاتان المجموعتان متساويتين، فإن نهايتهما${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$موجودة وتساوي هذه المجموعة المشتركة: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

في كثير من الاحتمالات، وخاصةً عند استخدام التوقع الشرطي ، نهتم بمجموعات لا تمثل سوى جزء من جميع المعلومات الممكنة التي يمكن ملاحظتها. يمكن وصف هذه المعلومات الجزئية بجبر سيجما أصغر، وهو مجموعة فرعية من جبر سيجما الرئيسي؛ ويتكون من مجموعة المجموعات الفرعية ذات الصلة فقط بالمعلومات الجزئية والمحددة بها فقط. رسميًا، إذا${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$هي جبر سيجما على${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle \Sigma '}$هي جبر فرعي من نوع سيجما من${\displaystyle \Sigma }$لو${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$.

تُقدّم عملية برنولي مثالاً بسيطاً. تتكون هذه العملية من سلسلة من رميات العملة العشوائية، حيث يظهر الوجه (الصورة).${\displaystyle H}$) أو ذيل (${\displaystyle T}$)، ذات طول غير محدود. تتكون فضاء العينة Ω من جميع المتتاليات اللانهائية الممكنة من${\displaystyle H}$أو${\displaystyle T:}$$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

يمكن توليد جبر سيجما الكامل من سلسلة تصاعدية من الجبر الفرعي، وذلك من خلال النظر في المعلومات التي يمكن الحصول عليها بعد ملاحظة بعض أو كل الجبر الفرعي الأول.${\displaystyle n}$رمي العملة. تُعطى هذه المتتالية من الجبر الجزئي بواسطة $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \Omega :A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$ كل منها أدق من سابقتها، وبالتالي يمكن طلبها كمرشح .

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subseteq {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}} _ {\infty }}$$

الجبر الفرعي الأول${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}}$الجبر التافه: يحتوي على عنصرين فقط، وهما المجموعة الفارغة والفضاء الكلي. الجبر الفرعي الثاني${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$يتكون من أربعة عناصر: العنصران في${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$بالإضافة إلى اثنين آخرين: تسلسلات تبدأ بـ${\displaystyle H}$والتسلسلات التي تبدأ بـ${\displaystyle T}$كل جبر فرعي أدق من سابقه.${\displaystyle n}$يحتوي الجبر الفرعي على${\displaystyle 2^{n+1}}$العناصر: تقسم المساحة الكلية$أوميغا$إلى جميع التسلسلات المحتملة التي ربما لوحظت بعد${\displaystyle n}$التقلبات، بما في ذلك احتمال عدم ملاحظة بعض التقلبات.

الجبر الحدي${\displaystyle {\mathcal {G}} _ {\infty }}$هي أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع الجبر الأخرى. وهي الجبر المتولد بواسطة طوبولوجيا الضرب أو الطوبولوجيا الضعيفة على فضاء الضرب.${\displaystyle \{H,T\}^{\infty }.}$

يترك${\displaystyle X}$ليكن مجموعة ما، ولتكن${\displaystyle P(X)}$يمثل مجموعة القوى الخاصة به ، وهي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$ثم مجموعة جزئية${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$يُطلق عليه اسم جبر سيجما إذا استوفى الخصائص الثلاث التالية: ^{[ 2 ]}

1. ${\displaystyle X}$هو في${\displaystyle \Sigma }$.
2. ${\displaystyle \Sigma }$مجموعة مغلقة تحت المكمل : إذا كانت مجموعة ما${\displaystyle A}$هو في${\displaystyle \Sigma ,}$وكذلك يكون مكملها ،${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$مغلق في ظل النقابات القابلة للعد : إذا${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$في${\displaystyle \Sigma ,}$إذن كذلك${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

ومن هذه الخصائص، يترتب على ذلك أن الجبر σ مغلق أيضًا تحت التقاطعات القابلة للعد (عن طريق تطبيق قوانين دي مورغان ).

ويترتب على ذلك أيضاً أن المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$هو في${\displaystyle \Sigma ,}$بما أن (1)${\displaystyle X}$هو في${\displaystyle \Sigma }$و (2) تؤكد أن مكملتها، وهي المجموعة الفارغة، موجودة أيضًا في${\displaystyle \Sigma .}$ علاوة على ذلك، منذ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$إذا استوفى الشروط الثلاثة جميعها، فإن ذلك يستتبع ما يلي:${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$هي أصغر جبر سيجما ممكن على${\displaystyle X.}$أكبر جبر سيجما ممكن على${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle P(X).}$

تُسمى عناصر جبر سيجما بالمجموعات القابلة للقياس . الزوج المرتب${\displaystyle (X,\Sigma ),}$أين${\displaystyle X}$هي مجموعة و${\displaystyle \Sigma }$هي جبر سيجما على${\displaystyle X,}$يُطلق على الفضاء القابل للقياس اسم الفضاء القابل للقياس . وتُسمى الدالة بين فضاءين قابلين للقياس دالة قابلة للقياس إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة قابلة للقياس قابلة للقياس. تُشكل مجموعة الفضاءات القابلة للقياس فئةً ، حيث تُمثل الدوال القابلة للقياس تشاكلات . تُعرَّف المقاييس على أنها أنواع معينة من الدوال من جبر سيجما إلى${\displaystyle [0,\infty ].}$

الجبر سيجما هو نظام باي ونظام دينكين (نظام لامدا). والعكس صحيح أيضاً، وفقاً لنظرية دينكين (انظر أدناه).

تُعدّ هذه النظرية (أو نظرية الفئة الرتيبة ذات الصلة ) أداةً أساسيةً لإثبات العديد من النتائج المتعلقة بخصائص جبر سيجما المحدد. وهي تستفيد من طبيعة فئتين أبسط من المجموعات، وهما التاليتان.

• نظام باي${\displaystyle P}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$وهو طريق مغلق عند عدد محدود من التقاطعات، و
• نظام دينكين (أو نظام λ)${\displaystyle D}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$الذي يحتوي${\displaystyle X}$وهي مغلقة تحت المكمل وتحت الاتحادات القابلة للعد للمجموعات الفرعية المنفصلة .

تنص نظرية دينكين π-λ على ما يلي: إذا${\displaystyle P}$هو نظام باي و${\displaystyle D}$هو نظام دينكين يحتوي على${\displaystyle P,}$ثم الجبر سيجما${\displaystyle \sigma (P)}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle P}$يحتوي على${\displaystyle D.}$ بما أن بعض أنظمة π هي فئات بسيطة نسبيًا، فقد لا يكون من الصعب التحقق من أن جميع المجموعات في${\displaystyle P}$الاستمتاع بالعقار قيد الدراسة، مع إظهار أن المجموعة من ناحية أخرى${\displaystyle D}$يمكن أن يكون نظام دينكين بسيطًا أيضًا. تشير نظرية دينكين π-λ إلى أن جميع المجموعات في${\displaystyle \sigma (P)}$استمتع بالعقار، وتجنب مهمة فحصه بحثًا عن مجموعة عشوائية في${\displaystyle \sigma (P).}$

يُعدّ إثبات تكافؤ المقاييس أو التكاملات المُعرّفة بشكل منفصل أحد أهم استخدامات نظرية π-λ. على سبيل المثال، تُستخدم هذه النظرية لمساواة احتمال متغير عشوائي.${\displaystyle X}$مع التكامل Lebesgue-Stieltjes المرتبط عادةً بحساب الاحتمالية: $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$للجميع${\displaystyle A}$في جبر سيجما بوريل على${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ أين${\displaystyle F(x)}$هي دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X,}$محدد في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$بينما${\displaystyle \mathbb {P} }$هو مقياس احتمالي ، معرف على جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$مجموعات جزئية من فضاء عينة ما$أوميغا .$

يفترض${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$هي مجموعة من الجبر سيجما على فضاء${\displaystyle X.}$

يفترض${\displaystyle Y}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle (X,\Sigma )}$أن تكون مساحة قابلة للقياس.

• المجموعة${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$هي جبر سيجما لمجموعات جزئية من${\displaystyle Y.}$
• يفترض${\displaystyle (Y,\Lambda )}$هي مساحة قابلة للقياس. المجموعة${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$هي جبر سيجما لمجموعات جزئية من${\displaystyle X.}$

جبر سيجما​${\displaystyle \Sigma }$هي مجرد حلقة سيجما تحتوي على المجموعة الشاملة${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]} لا يشترط أن تكون الحلقةσجبرًاσ، فمثلاً، تُعدّ المجموعات الجزئية القابلة للقياس ذات قياس ليبيغ الصفري في خط الأعداد الحقيقية حلقةσ، ولكنها ليستσلأن خط الأعداد الحقيقية له قياس لانهائي، وبالتالي لا يمكن الحصول عليه من خلال اتحادها المعدود. وإذا استبدلنا القياس الصفري بمجموعات جزئية قابلة للقياس ذات قياس ليبيغ محدود، فإنها تُشكّلحلقةولكنها ليستσ، لأن خط الأعداد الحقيقية يمكن الحصول عليه من خلال اتحادها المعدود، ومع ذلك فإن قياسه ليس محدودًا.

تُرمز أحيانًا إلى جبر سيجما باستخدام الأحرف الكبيرة ذات الخط العربي ، أو خط فراكتورا .${\displaystyle (X,\Sigma )}$يمكن الإشارة إليه على النحو التالي:${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$أو ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

قابل للفصل${\displaystyle \sigma }$الجبر (أو القابل للفصل)${\displaystyle \sigma }$-الحقل ) هو${\displaystyle \sigma }$-الجبر${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هذا فضاء قابل للفصل عند اعتباره فضاءً متريًا بمقياس${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ل${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ومقياس محدود معين${\displaystyle \mu }$(ومع${\displaystyle \triangle }$(باعتباره عامل الفرق المتناظر ). ^{[ 4 ]} أي${\displaystyle \sigma }$الجبر الناتج عن مجموعة قابلة للعد من المجموعات قابل للفصل، ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحًا. على سبيل المثال، جبر ليبيغ${\displaystyle \sigma }$الجبر - قابل للفصل (لأن كل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لـ Lebesgue تعادل مجموعة Borel ما) ولكنه غير مولد بشكل قابل للعد (لأن عدد عناصره أعلى من عدد عناصر المتصل).

يتمتع فضاء القياس القابل للفصل بمقياس شبه طبيعي يجعله قابلاً للفصل كفضاء شبه متري . تُعرَّف المسافة بين مجموعتين بأنها قياس الفرق المتناظر بينهما. قد يكون قياس الفرق المتناظر بين مجموعتين مختلفتين صفرًا؛ لذا، فإن المقياس الشبه كما عُرِّف أعلاه ليس بالضرورة مقياسًا حقيقيًا. مع ذلك، إذا تم تحديد المجموعات التي يكون قياس فرقها المتناظر صفرًا في فئة تكافؤ واحدة ، فيمكن قياس مجموعة القسمة الناتجة قياسًا صحيحًا بواسطة المقياس المُستحث . إذا كان فضاء القياس قابلاً للفصل، فيمكن إثبات أن فضاء المقياس المقابل له قابل للفصل أيضًا.

يترك${\displaystyle X}$أي مجموعة.

• العائلة التي تتكون فقط من المجموعة الفارغة والمجموعة${\displaystyle X,}$يُطلق عليها اسم الجبر σ الأدنى أو التافه على${\displaystyle X.}$
• مجموعة القوى لـ${\displaystyle X,}$يُطلق عليها اسم الجبر المتقطع σ .
• المجموعة${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$هي جبر سيجما بسيط مولد بواسطة المجموعة الجزئية${\displaystyle A.}$
• مجموعة المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$التي يمكن عدها أو التي تكون مكملاتها قابلة للعد هي جبر سيجما (وهو يختلف عن مجموعة القوى لـ${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$(غير معدود). هذا هو الجبر سيجما الناتج عن المجموعات المفردة لـ${\displaystyle X.}$ملاحظة: كلمة "قابل للعد" تشمل المحدود أو الفارغ.
• مجموعة جميع اتحادات المجموعات في قسم قابل للعد من${\displaystyle X}$هو جبر سيجما.

وقت التوقف${\displaystyle \tau }$يمكن تعريف${\displaystyle \sigma }$-الجبر${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ما يسمى بجبر سيجما لوقت التوقف ، والذي يصف المعلومات حتى الوقت العشوائي في فضاء احتمالي مُصفّى${\displaystyle \tau }$بمعنى أنه إذا تم تفسير فضاء الاحتمالات المُصفّى على أنه تجربة عشوائية، فإن أقصى قدر من المعلومات التي يمكن الحصول عليها حول التجربة من خلال تكرارها بشكل عشوائي حتى وقت${\displaystyle \tau }$يكون${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle F}$لتكن عائلة عشوائية من المجموعات الجزئية من${\displaystyle X.}$ثم توجد أصغر جبر سيجما فريد يحتوي على كل مجموعة في${\displaystyle F}$(بالرغم من${\displaystyle F}$(قد تكون أو لا تكون جبر سيجما بحد ذاتها). إنها في الواقع تقاطع جميع جبر سيجما التي تحتوي${\displaystyle F.}$(انظر تقاطعات جبر سيجما أعلاه.) يُرمز إلى جبر سيجما هذا بـ${\displaystyle \sigma (F)}$ويُطلق عليه اسم الجبر سيجما الناتج عن${\displaystyle F.}$

لو${\displaystyle F}$فارغ، إذن${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ خلاف ذلك${\displaystyle \sigma (F)}$يتكون من جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$التي يمكن صنعها من عناصر${\displaystyle F}$من خلال عدد قابل للعد من عمليات المكمل والاتحاد والتقاطع.

كمثال بسيط، انظر إلى المجموعة${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ثم الجبر σ الناتج عن المجموعة الفرعية المفردة${\displaystyle \{1\}}$يكون ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ بسبب إساءة استخدام الترميز ، عندما تحتوي مجموعة من المجموعات الجزئية على عنصر واحد فقط،${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sigma (A)}$يمكن كتابتها بدلاً من${\displaystyle \sigma (\{A\});}$في المثال السابق${\displaystyle \sigma (\{1\})}$بدلاً من${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$في الواقع، باستخدام${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$بمعنى${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$وهو أمر شائع جدًا أيضًا.

توجد العديد من عائلات المجموعات الجزئية التي تولد جبر سيجما مفيد. بعض هذه العائلات معروضة هنا.

لو${\displaystyle f}$هي دالة من مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة${\displaystyle Y}$و${\displaystyle B}$هو${\displaystyle \sigma }$جبر المجموعات الجزئية من${\displaystyle Y,}$ثم${\displaystyle \sigma }$الجبر الناتج عن الدالة${\displaystyle f,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \sigma (f),}$هي مجموعة جميع الصور المعكوسة${\displaystyle f^{-1}(S)}$من المجموعات${\displaystyle S}$في${\displaystyle B.}$إنه، $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

وظيفة${\displaystyle f}$من مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة${\displaystyle Y}$قابلة للقياس بالنسبة إلى جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \sigma (f)}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \Sigma .}$

إحدى الحالات الشائعة، والتي تُفهم تلقائيًا إذا${\displaystyle B}$إذا لم يتم تحديد ذلك صراحةً، فذلك عندما${\displaystyle Y}$هو فضاء متري أو طوبولوجي و${\displaystyle B}$هي مجموعة من مجموعات بوريل على${\displaystyle Y.}$

لو${\displaystyle f}$هي دالة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم${\displaystyle \sigma (f)}$يتم توليدها بواسطة عائلة المجموعات الجزئية التي هي صور معكوسة للفترات/المستطيلات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

إحدى الخصائص المفيدة هي التالية. ليكن${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$،${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$و${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$كن مساحات قابلة للقياس ودع${\displaystyle f:X\to S}$و${\displaystyle g:X\to T}$ليكن هناك خرائط قابلة للقياس بينهما. إذا وُجدت خريطة ثالثة قابلة للقياس${\displaystyle h:T\to S}$بحيث${\displaystyle f=h\circ g}$، ثم${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle S}$قابل للعد، أو بشكل أعم، إذا${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$إذا كان فضاء بوريل قياسيًا ، فإن العكس صحيح أيضًا. ^{[ 6 ]} ومن أمثلة فضاء بوريل القياسي أي فضاء متري كامل قابل للفصل، مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، مع مجموعات بوريل المرتبطة بها. مثال آخر هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$باستخدام جبر سيجما الأسطواني الموصوف أدناه.

من الأمثلة المهمة على ذلك جبر بوريل على أي فضاء طوبولوجي : وهو جبر سيجما المُوَلَّد بواسطة المجموعات المفتوحة (أو، بصورة مكافئة، بواسطة المجموعات المغلقة ). لا يُمثِّل جبر سيجما هذا، بشكل عام، مجموعة القوى الكاملة. للاطلاع على مثال غير بديهي ليس مجموعة بوريل، انظر مجموعة فيتالي أو المجموعات غير البوريلية .

في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ثمة جبر سيجما آخر ذو أهمية: وهو جبر جميع المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ . يحتوي جبر سيجما هذا على مجموعات أكثر من جبر سيجما بوريل الموجود على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ويُفضل استخدامه في نظرية التكامل ، لأنه يعطي فضاء قياس كامل .

يترك${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$و${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ليكن فضاءان قابلان للقياس. الجبر سيجما لفضاء الضرب المقابل${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$يُطلق عليه اسم جبر سيجما الناتج ، ويُعرَّف بواسطة $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

لاحظ ذلك${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$هو نظام باي.

جبر سيجما بوريل لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم توليدها بواسطة مستطيلات نصف لانهائية ومستطيلات محدودة. على سبيل المثال، $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

في كل من هذين المثالين، تكون العائلة المولدة عبارة عن نظام π.

يفترض $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

هي مجموعة من الدوال ذات القيم الحقيقية. ليكن${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$تشير إلى المجموعات الفرعية بوريل من${\displaystyle \mathbb {R} .}$مجموعة فرعية أسطوانية من${\displaystyle X}$هي مجموعة محدودة نهائية معرفة على النحو التالي $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

كل $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ هو نظام π يُولّد جبر σ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$ثم عائلة المجموعات الجزئية $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$ هي جبرية تولد جبر سيجما للأسطوانة لـ${\displaystyle X.}$هذا الجبر سيجما هو جبر فرعي من جبر بوريل سيجما المحدد بواسطة طوبولوجيا الضرب لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$يقتصر على${\displaystyle X.}$

ومن الحالات الخاصة المهمة عندما${\displaystyle \mathbb {T} }$هي مجموعة الأعداد الطبيعية و${\displaystyle X}$هي مجموعة من المتتاليات ذات القيم الحقيقية. في هذه الحالة، يكفي النظر في مجموعات الأسطوانات. $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ والتي $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$ هي متتالية غير متناقصة من جبر سيجما.

جبر سيجما الكروي هو أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع الكرات المفتوحة (أو المغلقة). ولا يتجاوز حجمه جبر سيجما بوريل . تجدر الإشارة إلى أن هذين الجبرين متساويان في الفضاءات القابلة للفصل. أما في بعض الفضاءات غير القابلة للفصل، فتكون بعض التطبيقات قابلة للقياس الكروي حتى وإن لم تكن قابلة للقياس بوريل، مما يجعل استخدام جبر سيجما الكروي مفيدًا في تحليل هذه التطبيقات. ^{[ 7 ]}

يفترض${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$هو فضاء احتمالي . إذا${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$قابلة للقياس بالنسبة إلى جبر بوريل سيجما على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم${\displaystyle Y}$يُطلق عليه اسم المتغير العشوائي (${\displaystyle n=1}$) أو متجه عشوائي (${\displaystyle n>1}$). الجبر سيجما الناتج عن${\displaystyle Y}$يكون $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

يفترض${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$هو فضاء احتمالي و${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$هي مجموعة الدوال ذات القيم الحقيقية على${\displaystyle \mathbb {T} .}$لو${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$قابلة للقياس بالنسبة إلى جبر سيجما للأسطوانة${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$(انظر أعلاه) لـ${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle Y}$يُطلق عليها اسم العملية العشوائية أو العملية الاحتمالية . الجبر سيجما الناتج عن${\displaystyle Y}$يكون $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$ الجبر σ الناتج عن الصور العكسية لمجموعات الأسطوانات.