مخطط التكرار

في الإحصاء الوصفي ونظرية الفوضى ، يُعد مخطط التكرار ( RP ) مخططًا يوضح، لكل لحظة${\displaystyle j}$بمرور الوقت، الأوقات التي تعود فيها حالة النظام الديناميكي إلى الحالة السابقة عند${\displaystyle i}$أي عندما يمر مسار فضاء الطور بنفس المنطقة تقريبًا في فضاء الطور كما في الوقت${\displaystyle j}$بعبارة أخرى، إنها مؤامرة من

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),}$

عرض${\displaystyle i}$على محور أفقي و${\displaystyle j}$على محور رأسي، حيث${\displaystyle {\vec {x}}}$هي حالة النظام (أو مسار فضاء الطور الخاص به).

قد تتسم العمليات الطبيعية بسلوك تكراري مميز، كالدورات الموسمية أو دورات ميلانكوفيتش ، وكذلك الدورات غير المنتظمة ( كظاهرة النينيو الجنوبية، وفترات نبضات القلب). علاوة على ذلك، يُعد تكرار الحالات، بمعنى تقاربها مجددًا بعد فترة من التباعد ، خاصية أساسية للأنظمة الديناميكية الحتمية ، وهو سمة مميزة للأنظمة غير الخطية أو الفوضوية (انظر نظرية بوانكاريه للتكرار ). عُرف تكرار الحالات في الطبيعة منذ زمن طويل، ونوقش أيضًا في دراسات سابقة (مثل هنري بوانكاريه، 1890).

إحدى طرق تصوير الطبيعة المتكررة للحالات من خلال مسارها عبر فضاء الطور هي مخطط التكرار، الذي قدمه إيكمان وآخرون (1987). ^{[ 1 ]} غالبًا ما يكون فضاء الطور غير منخفض الأبعاد بما يكفي (اثنان أو ثلاثة) لتصويره، إذ لا يمكن تصوير فضاءات الطور ذات الأبعاد الأعلى إلا بالإسقاط على الفضاءات الفرعية ثنائية أو ثلاثية الأبعاد. ومن الأدوات الشائعة لدراسة سلوك مسارات فضاء الطور هذه خريطة بوانكاريه . كما يُعد مخطط التكرار أداة أخرى تُمكّننا من دراسة جوانب عديدة لمسار فضاء الطور ذي الأبعاد m من خلال تمثيل ثنائي الأبعاد.

عند التكرار، يعود المسار إلى موقع (حالة) في فضاء الطور سبق له زيارته، وذلك في حدود خطأ صغير.${\displaystyle \varepsilon }$يمثل مخطط التكرار مجموعة أزواج أوقات هذه التكرارات، أي مجموعة${\displaystyle (i,j)}$مع${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)}$، مع${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$نقاط زمنية منفصلة و${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$حالة النظام في وقت${\displaystyle i}$(موقع المسار في وقت${\displaystyle i}$). رياضياً، يتم التعبير عن ذلك بواسطة مصفوفة التكرار الثنائية

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \|\cdot \|}$هو أمر طبيعي و${\displaystyle \varepsilon }$عتبة التكرار. وهناك تعبير بديل وأكثر رسمية يتمثل في استخدام دالة هيفسايد المتدرجة.${\displaystyle R(i,j)=\Theta (\varepsilon -D_{i,j})}$ مع${\displaystyle D_{i,j}=\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|}$معيار متجه المسافة بين${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$و${\displaystyle {\vec {x}}(j)}$تأخذ تعريفات التكرار البديلة في الاعتبار مسافات مختلفة.${\displaystyle D_{i,j}}$على سبيل المثال، المسافة الزاوية ، أو المسافة الضبابية ، أو مسافة التحرير . ^{[ 2 ]}

يوضح مخطط التكرار${\displaystyle \mathbf {R} }$مع نقطة ملونة (سوداء في الغالب) عند الإحداثيات${\displaystyle (i,j)}$لو${\displaystyle R(i,j)=1}$، مع مرور الوقت في${\displaystyle x}$- و${\displaystyle y}$المحاور.

إذا كانت سلسلة زمنية أحادية المتغير فقط${\displaystyle u(t)}$إذا كان ذلك متاحًا، فيمكن إعادة بناء فضاء الطور، على سبيل المثال، باستخدام تضمين تأخير زمني (انظر نظرية تاكنز ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

أين${\displaystyle u(i)}$هي السلسلة الزمنية (مع${\displaystyle t=i\Delta t}$و${\displaystyle \Delta t}$(وقت أخذ العينات)${\displaystyle m}$بُعد التضمين و${\displaystyle \tau }$التأخير الزمني. ومع ذلك، فإن إعادة بناء فضاء الطور ليس جزءًا أساسيًا من مخطط التكرار (على الرغم من ذكره كثيرًا في الأدبيات)، لأنه يعتمد على مسارات فضاء الطور التي يمكن اشتقاقها من متغيرات النظام مباشرة (على سبيل المثال، من المتغيرات الثلاثة لنظام لورنز ) أو من بيانات متعددة المتغيرات.

يُقدّم المظهر المرئي لمخطط التكرار مؤشرات حول ديناميكيات النظام. ونظرًا للسلوك المميز لمسار فضاء الطور، يحتوي مخطط التكرار على هياكل نموذجية صغيرة النطاق، مثل النقاط المفردة والخطوط القطرية والخطوط الرأسية/الأفقية (أو مزيج من الأخيرة، والذي يتحد ليشكل تجمعات ممتدة). ويمكن تمييز البنية واسعة النطاق، والتي تُسمى أيضًا بالنسيج ، بصريًا بأنها متجانسة أو دورية أو متغيرة أو مضطربة . على سبيل المثال، يمكن أن يُظهر المخطط ما إذا كان المسار دوريًا تمامًا بفترة زمنية محددة.${\displaystyle T}$إذن، ستفصل بين جميع أزواج الأوقات هذه مضاعفات لـ${\displaystyle T}$وتظهر على شكل خطوط قطرية.

تحتوي البنى الصغيرة في مخططات التكرار على معلومات حول خصائص معينة لديناميكيات النظام الأساسي. على سبيل المثال، يرتبط طول الخطوط القطرية الظاهرة في مخطط التكرار بتباعد مسارات فضاء الطور، وبالتالي، يمكن أن يمثل معلومات حول الفوضى. ^{[ 3 ]} لذلك، يُحدد تحليل التكرار الكمي توزيع هذه البنى الصغيرة. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} يمكن استخدام هذا التحديد الكمي لوصف مخططات التكرار بطريقة كمية. تشمل التطبيقات التصنيف والتنبؤات وتقدير المعلمات غير الخطية وتحليل الانتقال. على عكس النهج الاستدلالي لتحليل التكرار الكمي، والذي يعتمد على اختيار معلمات التضمين، يمكن أيضًا استخلاص بعض الثوابت الديناميكية ، مثل بُعد الارتباط ، وإنتروبيا K2 ، والمعلومات المتبادلة ، والتي لا تعتمد على التضمين، من مخططات التكرار. تعتمد هذه الثوابت الديناميكية على معدل التكرار وتوزيع أطوال الخطوط القطرية. ^{[ 3 ]} وتستخدم التطبيقات الحديثة مخططات التكرار كأداة لتصوير السلاسل الزمنية في مناهج التعلم الآلي ودراسة التكرارات المكانية والزمانية. ^{[ 2 ]}

تتشابه مخططات عوائد الإغلاق مع مخططات التكرار. والفرق هو أن الوقت النسبي بين التكرارات يُستخدم في...${\displaystyle y}$المحور السيني (بدلاً من الوقت المطلق). ^{[ 6 ]}

تتمثل الميزة الرئيسية لمخططات التكرار في أنها توفر معلومات مفيدة حتى بالنسبة للبيانات القصيرة وغير المستقرة، حيث تفشل الطرق الأخرى.

تم تطوير امتدادات متعددة المتغيرات لمخططات التكرار كمخططات تكرار متقاطعة ومخططات تكرار مشتركة .

تأخذ مخططات التكرار المتقاطع في الاعتبار مسارات فضاء الطور لنظامين مختلفين في نفس فضاء الطور: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.}$

يجب أن يكون بُعد النظامين متطابقًا، ولكن يمكن أن يختلف عدد الحالات المدروسة (أي طول البيانات). تُقارن مخططات التكرار المتقاطع حدوث الحالات المتشابهة في نظامين. ويمكن استخدامها لتحليل تشابه التطور الديناميكي بين نظامين مختلفين، أو للبحث عن أنماط مطابقة متشابهة في نظامين، أو لدراسة العلاقة الزمنية بين نظامين متشابهين يختلف مقياسهما الزمني. ^{[ 8 ]}

تمثل مخططات التكرار المشتركة حاصل ضرب هادامارد لمخططات التكرار للأنظمة الفرعية المدروسة، ^{[ 9 ]} على سبيل المثال لنظامين${\displaystyle {\vec {x}}}$و${\displaystyle {\vec {y}}}$مخطط التكرار المشترك هو

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.}$

على عكس مخططات التكرار المتقاطع، تقارن مخططات التكرار المشترك حدوث التكرارات في نظامين (أو أكثر) في آنٍ واحد. علاوة على ذلك، قد يختلف بُعد فضاءات الطور المدروسة، ولكن يجب أن يكون عدد الحالات المدروسة متساوياً لجميع الأنظمة الفرعية. يمكن استخدام مخططات التكرار المشترك للكشف عن تزامن الطور .

• مؤامرة بوانكاريه
• إنتروبيا كثافة فترة التكرار ، وهي طريقة نظرية معلوماتية لتلخيص خصائص التكرار لكل من الأنظمة الديناميكية الحتمية والعشوائية.
• تحليل تحديد كمية التكرار ، وهو نهج استدلالي لتحديد كمية مخططات التكرار.
• مصفوفة التشابه الذاتي
• مخطط النقاط (المعلوماتية الحيوية)

• مخطط التكرار