التباين

الموسوعة الحرة
حقل متجهي ذو متجهات متباعدة، وحقل متجهي ذو متجهات متقاربة، وحقل متجهي ذو متجهات متوازية لا تتباعد ولا تتقارب.
تباعد حقول المتجهات المختلفة. تباعد المتجهات من النقطة ( س ، ص ) يساوي مجموع المشتقة الجزئية بالنسبة إلى س للمركبة س والمشتقة الجزئية بالنسبة إلى ص للمركبة ص عند تلك النقطة: ∇⋅(V(x،y))=∂Vx(x،y)∂x+∂Vy(x،y)∂y{\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}

في حساب المتجهات ، يُعدّ التباعد مؤثرًا متجهيًا يعمل على حقل متجهي ، مُنتجًا حقلًا قياسيًا يُحدد معدل تغيير الحقل المتجهي للحجم في جوار متناهي الصغر لكل نقطة. (في بُعدين، يُشير هذا "الحجم" إلى المساحة). بتعبير أدق، يُعرّف التباعد عند نقطة ما بأنه معدل تعديل تدفق الحقل المتجهي للحجم حول تلك النقطة في النهاية ، حيث يتقلص حجم صغير إلى تلك النقطة.

كمثال، لنفترض أن الهواء يتعرض للتسخين أو التبريد. تحدد سرعة الهواء عند كل نقطة حقلًا متجهيًا. عند تسخين الهواء في منطقة ما، يتمدد في جميع الاتجاهات، وبالتالي يتجه حقل السرعة نحو الخارج من تلك المنطقة. لذا، يكون تباعد حقل السرعة في تلك المنطقة موجبًا. أما عند تبريد الهواء وانكماشه، فيكون تباعد السرعة سالبًا.

التفسير الفيزيائي للاختلاف

من الناحية الفيزيائية، يُعرَّف تباعد حقل متجهي بأنه مدى سلوك تدفق هذا الحقل كمصدر أو مصب عند نقطة معينة. وهو مقياس محلي لـ"اتجاهه الخارجي" - أي مدى تفوق عدد متجهات الحقل الخارجة من منطقة متناهية الصغر في الفضاء على عدد متجهات الحقل الداخلة إليها. النقطة التي يكون فيها التدفق خارجيًا لها تباعد موجب، وتُسمى غالبًا "مصدرًا" للحقل. أما النقطة التي يكون فيها التدفق داخليًا فلها تباعد سالب، وتُسمى غالبًا "مصبًا" للحقل. كلما زاد تدفق الحقل عبر سطح صغير يحيط بنقطة معينة، زادت قيمة التباعد عند تلك النقطة. أما النقطة التي ينعدم فيها التدفق عبر سطح محيط فلها تباعد صفري.

غالبًا ما يُوضَّح تباعد حقل متجهي باستخدام مثال بسيط لحقل سرعة مائع، سواء كان سائلًا أو غازًا. يمتلك الغاز المتحرك سرعةً واتجاهًا عند كل نقطة، ويمكن تمثيل هذه السرعة والاتجاه بمتجه ، لذا تُشكِّل سرعة الغاز حقلًا متجهيًا . عند تسخين الغاز، يتمدد، مما يُؤدي إلى حركة صافية لجزيئات الغاز نحو الخارج في جميع الاتجاهات. أي سطح مغلق داخل الغاز سيُحيط بالغاز المتمدد، وبالتالي سيكون هناك تدفق خارجي للغاز عبر السطح. لذلك، يكون تباعد حقل السرعة موجبًا في كل مكان. وبالمثل، عند تبريد الغاز، ينكمش. سيتوفر حيز أكبر لجزيئات الغاز في أي حجم، لذا سيُؤدي الضغط الخارجي للمائع إلى تدفق صافٍ لحجم الغاز نحو الداخل عبر أي سطح مغلق. لذلك، يكون تباعد حقل السرعة سالبًا في كل مكان. في المقابل، في غاز عند درجة حرارة وضغط ثابتين، يكون التدفق الصافي للغاز خارج أي سطح مغلق صفرًا. قد يتحرك الغاز، لكن معدل تدفق الغاز الداخل إلى أي سطح مغلق يجب أن يساوي معدل تدفقه الخارج، لذا فإن التدفق الكلي يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن سرعة الغاز لها تباعد صفري في كل مكان. يُطلق على المجال الذي يكون تباعده صفريًا في كل مكان اسم المجال اللولبي .

إذا سُخِّن الغاز عند نقطة واحدة أو منطقة صغيرة فقط، أو أُدخل أنبوب صغير لتزويده بمصدر إضافي للغاز عند تلك النقطة، فسيتمدد الغاز هناك، دافعًا جزيئات المائع المحيطة به إلى الخارج في جميع الاتجاهات. سيؤدي هذا إلى نشوء مجال سرعة خارجي في جميع أنحاء الغاز، متمركزًا حول النقطة المُسخَّنة. أي سطح مغلق يُحيط بالنقطة المُسخَّنة سيشهد تدفقًا لجزيئات الغاز الخارجة منه، وبالتالي يكون هناك تباعد موجب عند تلك النقطة. أما أي سطح مغلق لا يُحيط بالنقطة، فستكون كثافة الغاز داخله ثابتة، لذا فإن عدد جزيئات المائع الداخلة إلى الحجم يساوي عدد الجزيئات الخارجة منه، وبالتالي يكون صافي التدفق الخارج من الحجم صفرًا. لذلك، يكون التباعد عند أي نقطة أخرى صفرًا.

تعريف

يمثل التباعد عند النقطة x نهاية نسبة التدفقΦ{\displaystyle \Phi }عبر السطح S i (الأسهم الحمراء) إلى الحجم|Vأنا|{\displaystyle |V_{i}|}لأي تسلسل من المناطق المغلقة V 1 ، V 2 ، V 3 ، … التي تحيط بـ x والتي تقترب من حجم صفري: div⁡F=ليم|Vأنا|→0Φ(Sأنا)|Vأنا|{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}

يُعرَّف تباعد حقل متجه F ( x ) عند النقطة x₀ بأنه نهاية نسبة التكامل السطحي لـ F خارج السطح المغلق لحجم V الذي يحيط بـ x₀ إلى حجم V ، عندما يتقلص V إلى الصفر .

div⁡F|x0=ليمV→01|V|{\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}}\oiintS(V){\displaystyle \scriptstyle S(V)}F⋅ن^دS{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}

حيث | V | هو حجم V ، وS ( V ) هي حدود V ، و ن^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }يمثل متجه الوحدة العمودي الخارجي على ذلك السطح. ويمكن إثبات أن النهاية المذكورة أعلاه تتقارب دائمًا إلى القيمة نفسها لأي سلسلة من الأحجام التي تحتوي على x = 0 وتقترب من حجم صفري. والنتيجة، div F ، هي دالة قياسية لـ x .

بما أن هذا التعريف لا يعتمد على الإحداثيات، فإنه يُظهر أن التباعد هو نفسه في أي نظام إحداثيات . مع ذلك، لا يُستخدم التعريف أعلاه عمليًا لحساب التباعد؛ فعندما يُعطى حقل المتجهات في نظام إحداثيات، تكون تعريفات الإحداثيات أدناه أسهل بكثير في الاستخدام.

يُطلق على حقل المتجهات ذي التباعد الصفري في كل مكان اسم الحقل اللولبي ، وفي هذه الحالة، لا يوجد تدفق صافٍ عبر أي سطح مغلق. وهذا يعني أن تدفق حقل المتجهات يحافظ على الحجم: فحجم أي منطقة لا يتغير بعد نقلها بواسطة التدفق لأي فترة زمنية.

التعريف بالإحداثيات

الإحداثيات الديكارتية

في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد، تباعد حقل متجه قابل للتفاضل باستمرارF=Fxأنا+Fyج+Fzك{\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }تُعرَّف بأنها الدالة ذات القيمة العددية :

div⁡F=∇⋅F=(∂∂x،∂∂y،∂∂z)⋅(Fx،Fy،Fz)=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z.{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}

على الرغم من التعبير عنها بدلالة الإحداثيات، فإن النتيجة ثابتة تحت الدوران ، كما يشير التفسير الفيزيائي. وذلك لأن أثر مصفوفة جاكوبي لحقل متجهي F ذي N بُعد في فضاء ذي N بُعد ثابت تحت أي تحويل خطي قابل للعكس .

يُعدّ الترميز الشائع للتباعد ( ∇ · F ) وسيلةً سهلةً للتذكّر، حيث تشير النقطة إلى عمليةٍ تُشبه الضرب النقطي : خذ مُركّبات عامل ∇ (انظر del )، وطبّقها على المُركّبات المُناظرة لـ F ، واجمع النتائج. ولأنّ تطبيق عاملٍ ما يختلف عن ضرب مُركّباته، يُعتبر هذا استخدامًا غير صحيح للترميز .

الإحداثيات الأسطوانية

بالنسبة لمتجه معبر عنه بإحداثيات أسطوانية محلية ، كما يلي: F=هـرFر+هـθFθ+هـzFz،{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta}+\mathbf {e} _{z}F_{z},} حيث e a هو متجه الوحدة في الاتجاه a ، والتباعد هو [ 1 ]div⁡F=∇⋅F=1ر∂∂ر(رFر)+1ر∂Fθ∂θ+∂Fz∂z.{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}

يُعد استخدام الإحداثيات المحلية أمرًا بالغ الأهمية لصحة التعبير. إذا اعتبرنا x متجه الموضع والدوال r ( x ) و θ ( x ) و z ( x ) التي تُسند الإحداثيات الأسطوانية العالمية المقابلة إلى متجه، بشكل عامر(F(x))≠Fر(x){\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}،θ(F(x))≠Fθ(x){\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}، وz(F(x))≠Fz(x){\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}. على وجه الخصوص، إذا نظرنا إلى دالة التطابق F ( x ) = x ، فسنجد أن:

θ(F(x))=θ≠Fθ(x)=0.{\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0.}

الإحداثيات الكروية

في الإحداثيات الكروية ، حيث θ هي الزاوية مع المحور z و φ هي الدوران حول المحور z ، و F مكتوبة مرة أخرى في إحداثيات الوحدة المحلية، يكون التباعد هو [ 2 ]div⁡F=∇⋅F=1ر2∂∂ر(ر2Fر)+1رالخطيئة⁡θ∂∂θ(الخطيئة⁡θFθ)+1رالخطيئة⁡θ∂Fφ∂φ.{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,F_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}

حقل الموتر

ليكن A حقل موتر من الرتبة الثانية قابل للتفاضل بشكل مستمر، معرف على النحو التالي:

أ=[أ11أ12أ13أ21أ22أ23أ31أ32أ33]{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}

التباعد في نظام الإحداثيات الديكارتية هو حقل موتر من الدرجة الأولى [ 3 ] ويمكن تعريفه بطريقتين: [ 4 ]

div⁡(أ)=∂أأناك∂xك هـأنا=أأناك،ك هـأنا=[∂أ11∂x1+∂أ12∂x2+∂أ13∂x3∂أ21∂x1+∂أ22∂x2+∂أ23∂x3∂أ31∂x1+∂أ32∂x2+∂أ33∂x3]{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\frac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}

و [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

∇⋅أ=∂أكأنا∂xك هـأنا=أكأنا،ك هـأنا=[∂أ11∂x1+∂أ21∂x2+∂أ31∂x3∂أ12∂x1+∂أ22∂x2+∂أ32∂x3∂أ13∂x1+∂أ23∂x2+∂أ33∂x3]{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}

لدينا

div⁡(أتي)=∇⋅أ{\displaystyle \operatorname {div} {\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)}=\nabla \cdot \mathbf {A} }

إذا كان الموتر متناظرًا A ij = A ji فإنdiv⁡(أ)=∇⋅أ{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }ولهذا السبب ، غالبًا ما يُستخدم التعريفان (والرمزان div و div) في الأدبيات∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot }تُستخدم هذه المصطلحات بشكل متبادل (خاصة في المعادلات الميكانيكية حيث يُفترض تناظر الموتر).

تعبيرات عن∇⋅أ{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }يتم تقديمها في الإحداثيات الأسطوانية والكروية في المقالة del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية .

الإحداثيات العامة

باستخدام ترميز أينشتاين، يمكننا دراسة التباعد في الإحداثيات العامة ، والتي نكتبها على النحو التالي: x₁ , …, xᵢ , …, xₙ ، حيث n هو عدد أبعاد المجال. يشير الفهرس العلوي هنا إلى رقم الإحداثي أو المركبة، لذا فإن x₂ يشير إلى المركبة الثانية، وليس إلى مربع الكمية x . يُستخدم متغير الفهرس i للإشارة إلى أي مركبة، مثل xᵢ . صيغة فوس - ويل [ 8 ] ، التي تسمح بتحديد التباعد باستخدام مشتقات الإحداثيات الجزئية ببساطة، هي كما يلي:

div⁡(F)=1ρ∂(ρFأنا)∂xأنا،{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\left(\rho \,F^{i}\right)}}{\partial x^{i}}},}

أينρ{\displaystyle \rho }يمثل المعامل المحلي لعنصر الحجم، و F i هي مكوناتF=Fأناهـأنا{\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}}فيما يتعلق بالأساس المتغير المحلي غير المعياري (يكتب أحيانًا على النحو التالي)هـأنا=∂x/∂xأنا{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}). يشير ترميز أينشتاين إلى الجمع على i ، لأنه يظهر كدليل علوي وسفلي.

معامل الحجم ρ هو دالة للموقع تعتمد على نظام الإحداثيات. في الإحداثيات الديكارتية والأسطوانية والكروية، وباستخدام نفس الاصطلاحات السابقة، لدينا ρ = 1 و ρ = r و ρ = r² sin θ على التوالي. ويمكن التعبير عن الحجم أيضًا على النحو التالي :ρ=|المحققزأب|{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}حيث يمثل g ab موتر القياس . يظهر المحدد لأنه يوفر التعريف الثابت المناسب للحجم، بمعلومية مجموعة من المتجهات. وبما أن المحدد كمية قياسية لا تعتمد على المؤشرات، فيمكن حذفها، وكتابةρ=|المحققز|{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}تُستخدم القيمة المطلقة لمعالجة الحالة العامة التي قد يكون فيها المحدد سالبًا، كما هو الحال في الفضاءات شبه الريمانية. أما سبب استخدام الجذر التربيعي فهو دقيق نوعًا ما: إذ يمنع فعليًا الحساب المزدوج عند الانتقال من الإحداثيات المنحنية إلى الإحداثيات الديكارتية، والعكس. ويمكن أيضًا فهم الحجم (المحدد) على أنه جاكوبيان التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات المنحنية، والذي يعطي عند n = 3ρ=|∂(x،y،z)∂(x1،x2،x3)|{\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}.

تتطلب بعض الاتفاقيات أن تكون جميع عناصر الأساس المحلي مُعَيَّرة إلى طول الوحدة، كما تم في الأقسام السابقة. إذا كتبناهـ^أنا{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}بالنسبة للأساس المعياري، وF^أنا{\displaystyle {\hat {F}}^{i}}بالنسبة لمكونات F بالنسبة لها، لدينا ما يلي: F=Fأناهـأنا=Fأنا‖هـأنا‖هـأنا‖هـأنا‖=Fأنازأناأناهـ^أنا=F^أناهـ^أنا،{\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},} باستخدام إحدى خصائص موتر القياس. عن طريق ضرب طرفي المساواة الأخيرة بالعنصر المتغير عكسيًا.هـ^أنا{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}نستنتج من ذلك أنFأنا=F^أنا/زأناأنا{\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}بعد التعويض، تصبح الصيغة كالتالي:

div⁡(F)=1ρ∂(ρزأناأناF^أنا)∂xأنا=1المحققز∂(المحققززأناأناF^أنا)∂xأنا.{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}

انظر القسم §  في الإحداثيات المنحنية لمزيد من المناقشة.

ملكيات

يمكن استنتاج جميع الخصائص التالية من قواعد التفاضل العادية في حساب التفاضل والتكامل . والأهم من ذلك، أن التباعد هو مؤثر خطي ، أي

div⁡(أF+بجي)=أdiv⁡F+بdiv⁡جي{\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }

لجميع الحقول المتجهة F و G وجميع الأعداد الحقيقية a و b .

توجد قاعدة ضرب من النوع التالي: إذا كانت φ دالة عددية و F حقل متجهي، فإن

div⁡(φF)=خريج⁡φ⋅F+φdiv⁡F،{\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}

أو بصيغة أكثر إيحاءً

∇⋅(φF)=(∇φ)⋅F+φ(∇⋅F).{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}

هناك قاعدة أخرى لحساب الضرب الاتجاهي لحقلين متجهين F و G في ثلاثة أبعاد، وتتضمن هذه القاعدة الدوران ، وتنص على ما يلي:

div⁡(F×جي)=حليقة⁡F⋅جي-F⋅حليقة⁡جي،{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}

أو

∇⋅(F×جي)=(∇×F)⋅جي-F⋅(∇×جي).{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}

إن لابلاس الحقل القياسي هو تباعد تدرج الحقل :

div⁡(خريج⁡φ)=Δφ.{\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}

تباعد التفاف أي حقل متجه (في ثلاثة أبعاد) يساوي صفرًا:

∇⋅(∇×F)=0.{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}

إذا عُرِّف حقل متجهي F ذو تباعد صفري على كرة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ( R³ ) ، فإنه يوجد حقل متجهي G على الكرة بحيث يكون F = curl G. بالنسبة للمناطق في R³ الأكثر تعقيدًا من الناحية الطوبولوجية، قد تكون العبارة الأخيرة خاطئة (انظر مبرهنة بوانكاريه ). تُقاس درجة عدم صحة العبارة بتماثل مُركَّب السلسلة .

{الحقول العددية على يو} →خريج {حقول المتجهات على يو} →حليقة {حقول المتجهات على يو} →div {الحقول العددية على يو}{\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}}

يُعد هذا بمثابة قياس كمي جيد لمدى تعقيد المنطقة الأساسية U. هذه هي بدايات ودوافع علم التماثل دي رام الرئيسية .

نظرية التفكيك

يمكن إثبات أن أي تدفق ثابت v ( r ) قابل للتفاضل مرتين بشكل مستمر في R³ ويتلاشى بسرعة كافية عندما | r | → ∞، يمكن تحليله بشكل فريد إلى جزء غير دوراني E ( r ) وجزء خالٍ من المصادر B ( r ) . علاوة على ذلك، يتم تحديد هذين الجزأين بشكل صريح من خلال كثافات المصادر (انظر أعلاه) وكثافات الدوران (انظر مقالة Curl ).

أما بالنسبة للجزء غير الدوراني، فلدينا

هـ=-∇Φ(ر)،{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),}

مع

Φ(ر)=∫R3د3ر′div⁡v(ر′)4π|ر-ر′|.{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}

يمكن كتابة الجزء الخالي من المصدر، B ، بشكل مماثل: ما عليك سوى استبدال الجهد القياسي Φ( r ) بجهد متجه A ( r ) والحدود −∇Φ بـ +∇ × A ، وكثافة المصدر div v بكثافة الدوران ∇ × v .

تُعدّ "نظرية التفكيك" هذه نتاجًا ثانويًا للحالة الثابتة للديناميكا الكهربائية . وهي حالة خاصة من تفكيك هيلمهولتز الأكثر عمومية ، والذي يعمل في أبعاد أكبر من ثلاثة أيضًا.

في أبعاد محدودة عشوائية

يمكن تعريف تباعد حقل متجه في أي عدد محدودن{\displaystyle n}من الأبعاد. إذا

F=(F1،F2،...Fن)،{\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),}

في نظام إحداثيات إقليدي ذي إحداثيات x1 ، x2 ، ... ، xn ، عرّف

div⁡F=∇⋅F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+⋯+∂Fن∂xن.{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}

في حالة البعد الواحد، تتحول F إلى دالة منتظمة، ويتحول التباعد إلى المشتقة.

بالنسبة لأي قيمة لـ n ، يكون التباعد عاملاً خطياً، ويحقق "قاعدة الضرب".

∇⋅(φF)=(∇φ)⋅F+φ(∇⋅F){\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )}

لأي دالة ذات قيمة عددية φ .

العلاقة بالمشتق الخارجي

يمكن التعبير عن التباعد كحالة خاصة للمشتقة الخارجية ، التي تأخذ شكلاً ثنائياً إلى شكل ثلاثي في ​​R³ . عرّف الشكل الثنائي الحالي على النحو التالي:

ج=F1دy∧دz+F2دz∧دx+F3دx∧دy.{\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.}

يقيس هذا المقياس كمية "المادة" المتدفقة عبر سطح ما في وحدة الزمن في "مائع مادة" كثافته ρ = 1 /dx ∧ dy ∧ dz يتحرك بسرعة محلية F. ويُعطى مشتقّه الخارجي dj بالعلاقة التالية:

دج=(∂F1∂x+∂F2∂y+∂F3∂z)دx∧دy∧دz=(∇⋅F)ρ{\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho }

أين∧{\displaystyle \wedge }هو حاصل ضرب الإسفين .

وبالتالي، يمكن التعبير عن تباعد حقل المتجهات F على النحو التالي:

∇⋅F=⋆د⋆(F♭).{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.}

هنا، يمثل الرمز العلوي ♭ أحد التشاكلين الموسيقيين ، و⋆ هو مؤثر نجمة هودج . عندما يُكتب التباعد بهذه الطريقة، يكون المؤثر⋆د⋆{\displaystyle {\star }d{\star }}يُشار إليه باسم التفاضل المشترك . عادةً ما يكون العمل مع الشكل الثنائي الحالي والمشتق الخارجي أسهل من العمل مع حقل المتجهات والتباعد، لأنه على عكس التباعد، فإن المشتق الخارجي يتبادل مع تغيير نظام الإحداثيات (المنحنية).

في الإحداثيات المنحنية

يكون التعبير المناسب أكثر تعقيدًا في الإحداثيات المنحنية . يمتد تباعد حقل متجهي بشكل طبيعي إلى أي مشعب قابل للتفاضل ذي بُعد n وله شكل حجمي (أو كثافة ) μ ، مثل مشعب ريماني أو لورنتزي . بتعميم بناء شكل ثنائي لحقل متجهي على R³ ، يُعرّف حقل متجهي X على هذا المشعب شكلًا من الرتبة ( n -1) يُرمز له بـ j = iXμ ، والذي يُحصل عليه بانكماش X مع μ . يكون التباعد حينها هو الدالة المعرفة بـ

دج=(div⁡X)μ.{\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .}

يمكن تعريف التباعد بدلالة مشتقة لي على النحو التالي:

لXμ=(div⁡X)μ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .}

وهذا يعني أن التباعد يقيس معدل تمدد وحدة الحجم ( عنصر الحجم ) أثناء تدفقها مع حقل المتجهات.

على مشعب شبه ريماني ، يمكن التعبير عن التباعد بالنسبة للحجم بدلالة اتصال ليفي-سيفيتا ∇ :

div⁡X=∇⋅X=Xأ؛أ،{\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},}

حيث أن التعبير الثاني هو انكماش حقل المتجهات ذي القيمة 1-form ∇ X مع نفسه والتعبير الأخير هو تعبير الإحداثيات التقليدي من حساب ريتشي .

التعبير المكافئ بدون استخدام اتصال هو

div⁡(X)=1|المحققز|∂أ(|المحققز|Xأ)،{\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),}

حيث g هي المقياس و∂أ{\displaystyle \partial _{a}}يرمز إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للإحداثي x a . يظهر الجذر التربيعي للمقياس (القيمة المطلقة لمحدد ) لأن التباعد يجب كتابته بالمفهوم الصحيح للحجم . في الإحداثيات المنحنية، لم تعد متجهات الأساس متعامدة؛ ويُجسد المحدد الفكرة الصحيحة للحجم في هذه الحالة. يظهر مرتين، هنا، مرة واحدة، بحيثXأ{\displaystyle X^{a}}يمكن تحويلها إلى "فضاء مسطح" (حيث تكون الإحداثيات متعامدة فعليًا)، ومرة ​​أخرى بحيث∂أ{\displaystyle \partial _{a}}يُحوَّل أيضًا إلى "فضاء مسطح"، بحيث يمكن أخيرًا كتابة التباعد "العادي" باستخدام المفهوم "العادي" للحجم في الفضاء المسطح ( أي حجم الوحدة، أي واحد، أي غير مكتوب). يظهر الجذر التربيعي في المقام، لأن المشتقة تتحول في الاتجاه المعاكس ( بشكل متغاير ) للمتجه (وهو متغاير ). تُسمى فكرة الوصول إلى "نظام إحداثيات مسطح" حيث يمكن إجراء الحسابات المحلية بطريقة تقليدية بـ " فييلبين ". طريقة أخرى لرؤية هذا هي ملاحظة أن التباعد هو التفاضل المشترك متنكرًا. أي أن التباعد يتوافق مع التعبير⋆د⋆{\displaystyle \star d\star }معد{\displaystyle d}التفاضلي و​⋆{\displaystyle \star }نجمة هودج . تتسبب نجمة هودج، من خلال تصميمها، في ظهور شكل الحجم في جميع الأماكن الصحيحة.

تباعد الموترات

يمكن تعميم مفهوم التباعد ليشمل الموترات . في تدوين أينشتاين ، يُعطى تباعد المتجه المتغاير F μ بالعلاقة التالية:

∇⋅F=∇μFμ،{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },}

حيث يرمز ∇ μ إلى المشتقة المتغيرة . في هذا السياق العام، تكمن الصياغة الصحيحة للتباعد في إدراك أنه تفاضل مشترك ؛ ومن ثم تتبع الخصائص المناسبة.

بصورة مكافئة، يُعرّف بعض المؤلفين تباعد الموتر المختلط باستخدام التشاكل الموسيقي ♯ : إذا كان T موترًا من النوع ( p , q ) ( حيث p هو المتجه المتغير عكسيًا و q هو المتجه المتغير معيًا)، فإننا نُعرّف تباعد T بأنه موتر من النوع ( p , q − 1) .

(div⁡تي)(Y1،...،Yq-1)=يتعقب(X↦♯(∇تي)(X،⋅،Y1،...،Yq-1))؛{\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};}

أي أننا نأخذ أثر أول مؤشرين متغايرين للمشتقة المتغايرة. [ أ ] الـ♯{\displaystyle \sharp }يشير الرمز إلى التماثل الموسيقي .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُعد اختيار المؤشر التغايري "الأول" للموتر أمرًا جوهريًا ويعتمد على ترتيب حدود حاصل الضرب الديكارتي للفضاءات المتجهة التي يُعطى عليها الموتر كدالة متعددة الخطية V × V × ... × V → R. ولكن يمكن اختيار مؤشرات أخرى لتحديد التباعد بنفس الدقة. وبالتالي، من الطبيعي أكثر تحديد تباعد T بالنسبة لمؤشر معين. مع ذلك، توجد حالتان خاصتان مهمتان يكون فيهما هذا الاختيار غير ذي صلة: مع موتر متغاير متناظر تمامًا، حيث تكون جميع الخيارات متكافئة، ومع موتر متغاير مضاد تمامًا (يُعرف أيضًا باسم متجه k )، حيث يؤثر الاختيار على الإشارة فقط.

الاقتباسات

  1. ↑ الإحداثيات الأسطوانية في Wolfram Mathworld
  2. ↑ الإحداثيات الكروية في Wolfram Mathworld
  3. ↑ جورتين 1981 ، ص 30.
  4. ↑ "1.14 حساب الموترات 1: حقول الموترات" (ملف PDF) . أسس ميكانيكا الأوساط المتصلة . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2013-01-08.
  5. ↑ ويليام م. دين (2016). مقدمة في ميكانيكا الموائع في الهندسة الكيميائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 133. ISBN  978-1-107-12377-9.
  6. ^ تاسوس سي. باباناستاسيو؛ جورجيوس سي جورجيو؛ أندرياس ن. ألكسندرو (2000). تدفق السوائل اللزج (PDF) . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 66,68. رقم ISBN  0-8493-1606-5تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2020-02-20.
  7. ↑ آدم باول (12 أبريل 2010). "معادلات نافيير-ستوكس" (ملف PDF) .
  8. ↑ غرينفيلد، بافيل (16 أبريل 2014). "معادلة فوس-ويل (رابط يوتيوب)" . يوتيوب . مؤرشف من الأصل بتاريخ 11 ديسمبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يناير 2018 .

مراجع

  • بروير، جيس هـ. (1999). "تباعد حقل متجهي" . musr.phas.ubc.ca. مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-11-2007 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 09-08-2016 .
  • رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . ماكجرو هيل. ISBN 0-07-054235-X.
  • إدواردز، سي إتش (1994). حساب التفاضل والتكامل المتقدم لعدة متغيرات . مينولا، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-68336-2.
  • جورتين، مورتون (1981). مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-309750-9.
  • كورن، تيريزا م .؛ كورن، غرانينو آرثر (يناير 2000). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها . نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 157-160 . ISBN  0-486-41147-8.