الاختزال (الرياضيات)

في الرياضيات ، يشير مصطلح " الاختزال" إلى إعادة كتابة التعبير إلى صيغة أبسط. على سبيل المثال، تُسمى عملية إعادة كتابة الكسر إلى كسر بمقام أصغر عدد صحيح ممكن (مع الحفاظ على البسط عددًا صحيحًا) " اختزال الكسر ". وتُسمى إعادة كتابة التعبير الجذري (أو "الجذر") بأصغر عدد صحيح ممكن تحت رمز الجذر "اختزال الجذر". أما تقليل عدد الجذور الظاهرة تحت جذور أخرى في التعبير فيُسمى " فك تداخل الجذور " .

في الجبر الخطي ، يشير الاختزال إلى تطبيق قواعد بسيطة على سلسلة من المعادلات أو المصفوفات لتحويلها إلى شكل أبسط. في حالة المصفوفات، تتضمن العملية معالجة صفوف المصفوفة أو أعمدتها، ولذا يُشار إليها عادةً باختزال الصفوف أو اختزال الأعمدة ، على التوالي. غالبًا ما يكون الهدف من الاختزال هو تحويل المصفوفة إلى " شكلها المختزل صفّيًا " أو "شكلها الصفّي المختزل"؛ وهذا هو هدف طريقة الحذف الغاوسي .

في حساب التفاضل والتكامل ، يشير الاختزال إلى استخدام تقنية التكامل بالتجزئة لتقييم التكاملات عن طريق اختزالها إلى أشكال أبسط.

في التحليل الديناميكي، يشير الاختزال الساكن إلى تقليل عدد درجات الحرية. ويمكن استخدام الاختزال الساكن أيضًا في تحليل العناصر المحدودة للإشارة إلى تبسيط مسألة جبرية خطية. ونظرًا لأن الاختزال الساكن يتطلب عدة خطوات عكسية، فهو عملية حسابية مكلفة للمصفوفات وعرضة لبعض الأخطاء في الحل. لننظر إلى نظام المعادلات الخطية التالي في مسألة تحليل العناصر المحدودة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

حيث K و F معلومتان، و K و x و F مقسمة إلى مصفوفات فرعية كما هو موضح أعلاه. إذا كانت F ₂ تحتوي على أصفار فقط، وكان المطلوب هو x _{1 فقط، فيمكن اختزال} K للحصول على نظام المعادلات التالي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{reduced}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}}$يتم الحصول عليها بكتابة مجموعة المعادلات على النحو التالي:

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}}$

1

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

2

يمكن حل المعادلة ( 2 ) لإيجاد${\displaystyle x_{2}}$(بافتراض قابلية عكس${\displaystyle K_{22}}$):

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

وبالتعويض في ( 1 ) نحصل على

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

هكذا

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

وبالمثل، يمكن حذف أي صف أو عمود i من المصفوفة F بقيمة صفرية إذا لم تكن القيمة المقابلة لـ xᵢ مرغوبة. ويمكن اختزال المصفوفة K مرة أخرى. _تجدر الإشارة إلى أنه بما أن كل عملية اختزال تتطلب عملية قلب، وكل عملية قلب هي عملية ذات تكلفة حسابية من رتبة ^O ( n³ ) ، فإن معظم المصفوفات الكبيرة تُعالج مسبقًا لتقليل وقت الحساب.

في القرن التاسع الميلادي، قدّم عالم الرياضيات الفارسي الخوارزمي في كتابه "الجبر" المفهومين الأساسيين "الاختزال" و"الموازنة"، مشيرًا إلى نقل الحدود المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة وحذف الحدود المتشابهة من الطرفين المتقابلين. هذه هي العملية التي وصفها الخوارزمي في الأصل باسم "الجبر" . ^{[ 1 ]} ويُشتق اسم " الجبر " من كلمة " الجبر " في عنوان كتابه.