الجبر

كتاب مختصر الحساب بالترميم والموازنة ( عربي : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة ، الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة ؛ ^{[ أ ]} أو باللاتينية : Liber Algebræ et Almucabola )، ويختصر عادة الجبر أو الجبر ( عربي : الجبر )، هو كتاب رياضي باللغة العربية رسالة في الجبر كتبها الخوارزمي في بغداد حوالي عام 820. لقد كان عملاً بارزًا في تاريخ الرياضيات ، وعنوانه هو الأصل النهائي لكلمة "الجبر" نفسها، والتي تم استعارتها لاحقًا إلى اللغة اللاتينية في العصور الوسطى باسم algebrāica .

قدّم كتاب الجبر شرحًا وافيًا لحلّ الجذور الموجبة لمعادلات كثيرات الحدود حتى الدرجة الثانية. ^{[ 1 ] [ ب ]} كان أول نصّ يُدرّس الجبر الابتدائي ، وأول نصّ يُدرّس الجبر لذاته. ^{[ ج ]} كما قدّم المفهوم الأساسي لـ "الاختزال" و"الموازنة" (والذي كان مصطلح الجبر يشير إليه في الأصل)، أي نقل الحدود المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أو حذف الحدود المتشابهة من طرفي المعادلة. ^{[ د ]} يعتبر مؤرخ الرياضيات فيكتور ج. كاتز كتاب الجبر أول نصّ حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا. ^{[ هـ ]} تُرجم إلى اللاتينية على يد روبرت تشيستر عام 1145، واستُخدم حتى القرن السادس عشر ككتاب الرياضيات الرئيسي في الجامعات الأوروبية. ^{[ 4 ] [ و ] [ 6 ] [ 7 ]}

وقد نشر العديد من المؤلفين نصوصاً تحت هذا الاسم، بما في ذلك أبو حنيفة الدينوري ، وأبو كامل ، وأبو محمد العدلي، وأبو يوسف المصيسي، وعبد الحميد بن ترك ، وسند بن علي، وسهل بن بشر، وشرف الدين الطوسي .

كان الكتاب عبارة عن تجميع وتوسيع للقواعد المعروفة لحل المعادلات التربيعية وبعض المسائل الأخرى، ويُعتبر أساسًا لعلم الجبر، مما رسّخه كعلم مستقل. كلمة "الجبر" مشتقة من اسم إحدى العمليات الأساسية على المعادلات الموصوفة في هذا الكتاب، وذلك بعد ترجمته اللاتينية بواسطة روبرت من تشيستر . ^{[ 8 ]}

يصنف الكتاب المعادلات التربيعية إلى ستة أنواع أساسية، ويقدم طرقًا جبرية وهندسية لحل هذه الأنواع. ويشير المؤرخ كارل بوير إلى ما يلي بخصوص افتقار الكتاب إلى الرموز المجردة الحديثة:

... إن جبر الخوارزمي بلاغيٌّ تمامًا، يخلو من أيٍّ من الإيقاع المتقطع (انظر تاريخ الجبر ) الموجود في كتاب الحساب اليوناني أو في كتاب براهمغوبتا . حتى الأرقام كُتبت بالأحرف لا بالرموز!

وهكذا تُوصف المعادلات لفظيًا باستخدام "المربعات" (ما يُعرف اليوم بـ " س² ")، ^و "الجذور" (ما يُعرف اليوم بـ " س ")، و"الأعداد" (الثوابت: أعداد عادية مكتوبة بالأحرف، مثل "اثنان وأربعون"). الأنواع الستة، مع الرموز الحديثة، هي:

1. مربعان متساويان في الجذر ( ax ² = bx )
2. مربعات متساوية العدد ( ax ² = c )
3. عدد الجذور متساوٍ ( ب س = ج )
4. عدد المربعات والجذور متساوٍ ( ax² + bx = ^c )
5. المربعات وعدد الجذور المتساوية ( ax² ⁺ c = bx )
6. الجذور وعدد المربعات المتساوية ( bx + c = ax ² )

لم يتعامل علماء الرياضيات المسلمون، على عكس الهندوس، مع الأعداد السالبة إطلاقًا؛ لذا فإن معادلة مثل bx + c = 0 لا تظهر في التصنيف، لأنه ليس لها حلول موجبة إذا كانت جميع المعاملات موجبة. وبالمثل، تم تمييز أنواع المعادلات 4 و5 و6، التي تبدو متكافئة للعين الحديثة، لأن معاملاتها يجب أن تكون جميعها موجبة. ^{[ 9 ]}

عملية الجبر (أو "إعادة القيمة") هي نقل كمية ناقصة من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر. في مثال الخوارزمي (بالتدوين الحديث)، تتحول المعادلة ^"س² = 40 س - 4 س² " بالجبر إلى "5 س² = 40 س ". ^ويؤدي تطبيق هذه القاعدة بشكل متكرر إلى إزالة الكميات السالبة من العمليات الحسابية ^.  

المقابلة تعني طرح نفس الكمية الموجبة من كلا الطرفين: فمثلاً، تتحول المعادلة " س² + ٥ = ٤٠س + ٤س²" إلى "٥ = ٤٠ س + ٣ س² " ^. يؤدي تطبيق ^هذه القاعدة ^{بشكل متكرر إلى ظهور الكميات من كل نوع ("مربع} " / "جذر" / "عدد") في المعادلة مرة واحدة على الأكثر، مما يُظهر أن هناك ستة أنواع أساسية فقط من الحلول الممكنة لهذه المسألة، عند حصرها في المعاملات والحلول الموجبة.

الأجزاء اللاحقة من الكتاب لا تعتمد على حل المعادلات التربيعية.

يُفصّل الفصل الثاني من الكتاب طرق إيجاد المساحة والحجم . وتشمل هذه الطرق تقريبات لقيمة باي (π)، معطاة بثلاث طرق، كما يلي :${\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {10}}}$، و​${\displaystyle 62832/20000}$. وقد ظهر هذا التقريب الأخير، الذي يساوي 3.1416، سابقاً في كتاب آريابهاتيا الهندي (499 م). ^{[ 10 ]}

يشرح الخوارزمي التقويم اليهودي ودورة الـ 19 عامًا التي تصفها تقارب الأشهر القمرية والسنوات الشمسية. ^{[ 10 ]}

يتناول نصف الكتاب تقريباً قواعد الميراث الإسلامية ، وهي قواعد معقدة وتتطلب مهارة في المعادلات الجبرية من الدرجة الأولى. ^{[ 11 ]}

أدخل الجبر الموازنة والاختزال إلى التعبيرات الرياضية، وأسس الجبر كفرع رياضي مستقل، يتم تدريسه في جميع أنحاء العالم، وعادة ما يكون جزءًا من مناهج المدارس الابتدائية والثانوية. ^{[ 12 ]}

كتب ر. راشد وأنجيلا أرمسترونغ:

يمكن ملاحظة أن نص الخوارزمي يختلف ليس فقط عن الألواح البابلية ، بل أيضاً عن كتاب " الحساب" لديوفانتوس . فهو لم يعد يتناول سلسلة من المسائل المطلوب حلها، بل عرضاً يبدأ بمصطلحات أولية، حيث يجب أن تُعطي تركيباتها جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات، التي تُشكل فيما بعد موضوع الدراسة الحقيقي. من ناحية أخرى، تظهر فكرة المعادلة لذاتها منذ البداية، ويمكن القول إنها تظهر بشكل عام، إذ لا تنشأ ببساطة أثناء حل مسألة ما، بل تُستدعى تحديداً لتعريف فئة لا نهائية من المسائل. ^{[ 13 ]}

كتب كل من جيه جيه أوكونور وإي إف روبرتسون في أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات :

لعلّ من أبرز التطورات التي شهدتها الرياضيات العربية في ذلك الوقت أعمال الخوارزمي، وتحديدًا بدايات علم الجبر. من المهم إدراك مدى أهمية هذه الفكرة الجديدة، فقد مثّلت نقلة نوعية عن المفهوم اليوناني للرياضيات الذي كان في جوهره هندسة. كان الجبر نظرية موحدة سمحت بمعاملة الأعداد النسبية وغير النسبية والمقادير الهندسية، وغيرها، كـ"كائنات جبرية". وقد منح الرياضيات مسارًا جديدًا للتطور أوسع بكثير من سابقه، ووفر وسيلة لتطوير هذا العلم مستقبلًا. ومن الجوانب المهمة الأخرى لإدخال الأفكار الجبرية أنها أتاحت تطبيق الرياضيات على نفسها بطريقة لم تكن موجودة من قبل. ^{[ 14 ]}

• هيوز، برنابا بي. إد.، ترجمة روبرت أوف تشيستر اللاتينية لكتاب الجبر للخوارزمي: طبعة نقدية جديدة ، ( باللاتينية ) فيسبادن: ف. شتاينر فيرلاغ، 1989. ISBN 3-515-04589-9
• راشد، ر. تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر ، لندن، 1994.

• ترجمة إنجليزية من القرن التاسع عشر في أرشيف الإنترنت
• الخوارزمي
• مقتطف مشروح من ترجمة كتاب المختصر . جامعة دويسبورغ-إيسن .
• الكتاب المختصر في الحساب عن طريق الإكمال والموازنة – باللغة العربية الأصلية مع ترجمة إنجليزية (PDF)
• غني، محبوب (5 يناير 2007). "علم الترميم والتوازن - علم الجبر" . التراث الإسلامي .