Relational model

Some years after publication of his 1970 model, Codd proposed a three-valued logic (True, False, Missing/NULL) version of it to deal with missing information, and in his The Relational Model for Database Management Version 2 (1990) he went a step further with a four-valued logic (True, False, Missing but Applicable, Missing but Inapplicable) version.^[5]

تتكون العلاقة من عنوان وجسم . يُعرّف العنوان مجموعة من السمات ، لكل منها اسم ونوع بيانات (يُسمى أحيانًا نطاقًا ). عدد السمات في هذه المجموعة هو درجة العلاقة أو عدد عناصرها . أما الجسم فهو مجموعة من الصفوف . الصف هو مجموعة من n قيمة ، حيث n هي درجة العلاقة، وكل قيمة في الصف تُقابل سمة فريدة. ^{[ 6 ]} عدد الصفوف في هذه المجموعة هو عدد عناصر العلاقة . ^{[ 7 ] : 17-22}

تُمثَّل العلاقات بمتغيرات علائقية ( relvars) ، والتي يمكن إعادة تعيينها. ^{[ 7 ] : 22-24.} قاعدة البيانات هي مجموعة من المتغيرات العلائقية. ^{[ 7 ] : 112-113.}

في هذا النموذج، تتبع قواعد البيانات مبدأ المعلومات : في أي وقت، تُمثَّل جميع المعلومات في قاعدة البيانات فقط بقيم ضمن صفوف، تُقابل سمات، في علاقات مُحدَّدة بواسطة متغيرات العلاقات. ^{[ 7 ] : 111}

يمكن لقاعدة البيانات تعريف تعابير منطقية عشوائية كقيود . إذا كانت جميع القيود صحيحة ، فإن قاعدة البيانات متسقة ؛ وإلا فهي غير متسقة . إذا كان تغيير متغيرات العلاقات في قاعدة البيانات سيؤدي إلى حالة عدم اتساق، فإن هذا التغيير غير قانوني ويجب عدم تنفيذه. ^{[ 7 ] : 91}

بشكل عام، يتم التعبير عن القيود باستخدام عوامل المقارنة العلائقية، والتي يكفي منها نظرياً عامل واحد فقط، وهو "مجموعة جزئية من" (⊆). ^{[ 8 ]}

يتم التعبير عن حالتين خاصتين من القيود على شكل مفاتيح ومفاتيح خارجية :

يطلب المستخدمون (أو البرامج) البيانات من قاعدة بيانات علائقية عن طريق إرسال استعلام إليها . واستجابةً لهذا الاستعلام، تُعيد قاعدة البيانات مجموعة من النتائج. ^{[ 2 ]}

في كثير من الأحيان، يتم دمج البيانات من جداول متعددة في جدول واحد، عن طريق إجراء عملية الربط . من الناحية النظرية، يتم ذلك عن طريق أخذ جميع التوليفات الممكنة للصفوف ( الضرب الديكارتي )، ثم تصفية كل شيء باستثناء النتيجة. ^{[ 2 ]}

بالإضافة إلى عملية الربط، توجد عدة عمليات علائقية. تشمل هذه العمليات: الإسقاط (عملية حذف بعض الأعمدة)، والتقييد (عملية حذف بعض الصفوف)، والاتحاد (طريقة لدمج جدولين متشابهين في البنية)، والفرق (الذي يسرد الصفوف الموجودة في أحد الجدولين وغير الموجودة في الآخر)، والتقاطع (الذي يسرد الصفوف الموجودة في كلا الجدولين)، والضرب (المذكور أعلاه، والذي يدمج كل صف من أحد الجدولين مع كل صف من الجدول الآخر). وبحسب المصادر الأخرى، توجد عدة عوامل تشغيل أخرى  ، يمكن تعريف العديد منها باستخدام العوامل المذكورة أعلاه. تشمل هذه العوامل: الربط الجزئي، وعوامل التشغيل الخارجية مثل الربط الخارجي والاتحاد الخارجي، وأنواع مختلفة من القسمة. كما توجد عوامل تشغيل لإعادة تسمية الأعمدة، وعوامل التلخيص أو التجميع، وإذا سمحت بقيم العلاقات كسمات (سمة ذات قيمة علائقية)، فستتوفر عوامل تشغيل مثل التجميع وفك التجميع. ^{[ 2 ]}

تتيح مرونة قواعد البيانات العلائقية للمبرمجين كتابة استعلامات لم يتوقعها مصممو قواعد البيانات. ونتيجةً لذلك، يمكن استخدام قواعد البيانات العلائقية من قِبل تطبيقات متعددة بطرق لم يتوقعها المصممون الأصليون، وهو أمر بالغ الأهمية خاصةً لقواعد البيانات التي قد تُستخدم لفترة طويلة (ربما لعقود عديدة). ^{[ 2 ]} وقد جعل هذا فكرة قواعد البيانات العلائقية وتطبيقها شائعًا جدًا في أوساط الشركات. ^{[ 9 ]}

تُصنَّف العلاقات بناءً على أنواع الشذوذات التي تكون عرضةً لها. فقاعدة البيانات التي تتبع النموذج الطبيعي الأول تكون عرضةً لجميع أنواع الشذوذات، بينما قاعدة البيانات التي تتبع نموذج المجال/المفتاح الطبيعي لا تعاني من أي شذوذات في التعديل. وتتسم النماذج الطبيعية بطبيعتها الهرمية، أي أن أدنى مستوى هو النموذج الطبيعي الأول، ولا يمكن لقاعدة البيانات أن تستوفي متطلبات النماذج الطبيعية ذات المستويات الأعلى إلا بعد استيفاء جميع متطلبات النماذج الطبيعية الأدنى. ^{[ 10 ]}

إذا كانت علاقة الموظفين تحتوي على السمات ⁠${\displaystyle \{Name,ID\}}$ثم المجموعة المرتبة${\displaystyle \{Alice,1\}}$يمثل هذا الافتراض: "يوجد موظف اسمه أليس ورقم هويته 1 ". قد يكون هذا الافتراض صحيحًا أو خاطئًا. إذا كان هذا السجل موجودًا في متن الجدول، فإن الافتراض صحيح (يوجد موظف بهذا الاسم). إذا لم يكن هذا السجل موجودًا في متن الجدول، فإن الافتراض خاطئ (لا يوجد موظف بهذا الاسم). ^{[ 7 ] : 96-97}

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \{ID\}}$إذا كان ⁠ مفتاحًا، فإن العلاقة تحتوي على الصفوف ⁠${\displaystyle \{Alice,1\}}$و​​${\displaystyle \{Bob,1\}}$سيمثل ذلك التناقض التالي :

1. يوجد موظف اسمه أليس ورقم هويته 1 .
2. يوجد موظف اسمه بوب ورقم هويته 1 .
3. لا يوجد أكثر من موظف يحمل نفس رقم الهوية.

بموجب مبدأ الانفجار ، يسمح هذا التناقض للنظام بإثبات صحة أي قضية عشوائية. يجب على قاعدة البيانات تطبيق قيد المفتاح لمنع ذلك. ^{[ 7 ] : 104}

مثال مثالي وبسيط للغاية لوصف بعض متغيرات العلاقات ( relvars ) وخصائصها:

• العميل ( رقم تعريف العميل ، الاسم)
• رقم الطلب ( رقم الطلب ، رقم العميل ، رقم الفاتورة ، التاريخ)
• الفاتورة ( معرف الفاتورة ، معرف العميل ، معرف الطلب ، الحالة)

في هذا التصميم ، لدينا ثلاثة متغيرات نسبية: العميل، والطلب، والفاتورة. السمات المكتوبة بخط غامق وتحتها خط هي مفاتيح مرشحة . أما السمات غير المكتوبة بخط غامق وتحتها خط فهي مفاتيح خارجية .

عادة ما يتم اختيار مفتاح مرشح واحد ليسمى المفتاح الأساسي ويتم استخدامه بشكل مفضل على المفاتيح المرشحة الأخرى، والتي تسمى بعد ذلك بالمفاتيح البديلة .

المفتاح المرشح هو مُعرّف فريد يضمن عدم تكرار أي صف ؛ وإلا سيتحول الربط إلى ما يشبه " حقيبة" ، وذلك لمخالفة التعريف الأساسي للمجموعة . يمكن أن تكون المفاتيح الخارجية والمفاتيح الفائقة (بما فيها المفاتيح المرشحة) مركبة، أي يمكن أن تتكون من عدة سمات. يوضح الجدول أدناه تمثيلًا لعلاقة متغير العميل (Relvar) في مثالنا؛ ويمكن اعتبار العلاقة قيمةً تُنسب إلى متغير (Relvar).

إذا حاولنا إضافة عميل جديد بالرقم التعريفي 123 ، فسيؤدي ذلك إلى مخالفة تصميم متغير العلاقة، لأن رقم العميل هو مفتاح أساسي ، ولدينا بالفعل عميل بهذا الرقم . يجب على نظام إدارة قواعد البيانات رفض عملية كهذه لأنها ستؤدي إلى عدم اتساق قاعدة البيانات بسبب انتهاك أحد قيود التكامل . مع ذلك، من الممكن إضافة عميل آخر باسم أليس ، بشرط أن يكون لهذا العميل الجديد رقم تعريفي فريد، لأن حقل الاسم ليس جزءًا من المفتاح الأساسي.

المفاتيح الخارجية هي قيود سلامة تضمن أن قيمة مجموعة السمات مستمدة من مفتاح مرشح في علاقة أخرى . على سبيل المثال، في علاقة الطلبات، تُعد السمة " معرّف العميل" مفتاحًا خارجيًا. أما الربط فهو عملية تستخدم معلومات من عدة علاقات في آن واحد. من خلال ربط متغيرات العلاقات في المثال أعلاه، يمكننا الاستعلام من قاعدة البيانات عن جميع العملاء والطلبات والفواتير. إذا أردنا فقط سجلات عميل محدد، فسنحدد ذلك باستخدام شرط تقييد . على سبيل المثال، إذا أردنا استرداد جميع طلبات العميل رقم 123 ، فيمكننا الاستعلام من قاعدة البيانات لإرجاع كل صف في جدول الطلبات يحمل معرّف العميل 123 .

يوجد خلل في تصميم قاعدة البيانات المذكور أعلاه. يحتوي متغير العلاقة "Invoice" على سمة "Order ID". بالتالي، سيحتوي كل صف في متغير العلاقة "Invoice" على سمة "Order ID"، مما يعني وجود طلب واحد فقط لكل فاتورة. ولكن في الواقع، يمكن إنشاء فاتورة لعدة طلبات، أو حتى بدون طلب محدد. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي متغير العلاقة "Order" على سمة "Invoice ID"، مما يعني أن لكل طلب فاتورة مقابلة. ولكن هذا ليس صحيحًا دائمًا في الواقع. أحيانًا يُدفع الطلب عبر عدة فواتير، وأحيانًا يُدفع بدون فاتورة. بعبارة أخرى، قد يكون هناك عدة فواتير لكل طلب، وعدة طلبات لكل فاتورة. هذه علاقة متعددة الأطراف بين الطلب والفاتورة (وتُسمى أيضًا علاقة غير محددة ). لتمثيل هذه العلاقة في قاعدة البيانات، يجب إضافة متغير علاقة جديد، دوره تحديد التطابق بين الطلبات والفواتير.

فاتورة الطلب ( معرف الطلب ، معرف الفاتورة )

الآن، يرتبط جدول Order بجدول OrderInvoice بعلاقة واحد إلى متعدد ، وكذلك جدول Invoice. إذا أردنا استرجاع جميع الفواتير لطلب معين، يمكننا الاستعلام عن جميع الطلبات التي يكون فيها معرّف الطلب في جدول Order مساويًا لمعرّف الطلب في جدول OrderInvoice، والتي يكون فيها معرّف الفاتورة في جدول OrderInvoice مساويًا لمعرّف الفاتورة في جدول Invoice.

لغة SQL، التي رُوِّج لها في البداية كلغة قياسية لقواعد البيانات العلائقية ، تختلف عن النموذج العلائقي في عدة جوانب. ولا يذكر معيار ISO SQL الحالي النموذج العلائقي، ولا يستخدم مصطلحاته أو مفاهيمه.

وفقًا للنموذج العلائقي، تُعتبر سمات العلاقة وصفوفها مجموعات رياضية ، أي أنها غير مرتبة وفريدة. أما في جدول SQL، فلا تُعتبر الصفوف ولا الأعمدة مجموعات بالمعنى الدقيق. قد يحتوي الجدول على صفوف وأعمدة مكررة، وتكون أعمدة الجدول مرتبة ترتيبًا واضحًا. يستخدم SQL القيمة الفارغة (Null) للإشارة إلى البيانات المفقودة، وهو ما لا يوجد له نظير في النموذج العلائقي. ولأن الصف قد يُمثل معلومات غير معروفة، فإن SQL لا يلتزم بمبدأ المعلومات في النموذج العلائقي . ^{[ 7 ] : 153-155، 162}

One of the simplest and most important types of relation constraints is the key constraint. It tells us that in every instance of a certain relational schema the tuples can be identified by their values for certain attributes.

Superkey

A superkey is a set of column headers for which the values of those columns concatenated are unique across all rows. Formally:

A superkey is written as a finite set of attribute names.

A superkey ${\displaystyle K}$ holds in a relation ${\displaystyle (H,B)}$ if:

• ${\displaystyle K\subseteq H}$ and
• there exist no two distinct tuples ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in B}$ such that ${\displaystyle t_{1}[K]=t_{2}[K]}$.

A superkey holds in a relation universe ${\displaystyle U}$ if it holds in all relations in ${\displaystyle U}$.

Theorem: A superkey ${\displaystyle K}$ holds in a relation universe ${\displaystyle U}$ over ${\displaystyle H}$ if and only if ${\displaystyle K\subseteq H}$ and ${\displaystyle K\rightarrow H}$ holds in ${\displaystyle U}$.

Candidate key

A candidate key is a superkey that cannot be further subdivided to form another superkey.

A superkey ${\displaystyle K}$ holds as a candidate key for a relation universe ${\displaystyle U}$ if it holds as a superkey for ${\displaystyle U}$ and there is no proper subset of ${\displaystyle K}$ that also holds as a superkey for ${\displaystyle U}$.

Functional dependency

Functional dependency is the property that a value in a tuple may be derived from another value in that tuple.

A functional dependency (FD for short) is written as ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ for ${\displaystyle X,Y}$ finite sets of attribute names.

A functional dependency ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ holds in a relation ${\displaystyle (H,B)}$ if:

• ${\displaystyle X,Y\subseteq H}$ and
• ${\displaystyle \forall }$ tuples ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in B}$, ${\displaystyle t_{1}[X]=t_{2}[X]~\Rightarrow ~t_{1}[Y]=t_{2}[Y]}$

A functional dependency ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ holds in a relation universe ${\displaystyle U}$ if it holds in all relations in ${\displaystyle U}$.

Trivial functional dependency

A functional dependency is trivial under a header ${\displaystyle H}$ if it holds in all relation universes over ${\displaystyle H}$.

Theorem: An FD ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ is trivial under a header ${\displaystyle H}$ if and only if ${\displaystyle Y\subseteq X\subseteq H}$.

Closure

Armstrong's axioms: The closure of a set of FDs ${\displaystyle S}$ under a header ${\displaystyle H}$, written as ${\displaystyle S^{+}}$, is the smallest superset of ${\displaystyle S}$ such that:

• ${\displaystyle Y\subseteq X\subseteq H~\Rightarrow ~X\rightarrow Y\in S^{+}}$ (reflexivity)
• ${\displaystyle X\rightarrow Y\in S^{+}\land Y\rightarrow Z\in S^{+}~\Rightarrow ~X\rightarrow Z\in S^{+}}$ (transitivity) and
• ${\displaystyle X\rightarrow Y\in S^{+}\land Z\subseteq H~\Rightarrow ~(X\cup Z)\rightarrow (Y\cup Z)\in S^{+}}$ (augmentation)

Theorem: Armstrong's axioms are sound and complete; given a header ${\displaystyle H}$ and a set ${\displaystyle S}$ of FDs that only contain subsets of ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle X\rightarrow Y\in S^{+}}$ if and only if ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ holds in all relation universes over ${\displaystyle H}$ in which all FDs in ${\displaystyle S}$ hold.^[11]

Completion

The completion of a finite set of attributes ${\displaystyle X}$ under a finite set of FDs ${\displaystyle S}$, written as ${\displaystyle X^{+}}$, is the smallest superset of ${\displaystyle X}$ such that:

• ${\displaystyle Y\rightarrow Z\in S\land Y\subseteq X^{+}~\Rightarrow ~Z\subseteq X^{+}}$

The completion of an attribute set can be used to compute if a certain dependency is in the closure of a set of FDs.

Theorem: Given a set ${\displaystyle S}$ of FDs, ${\displaystyle X\rightarrow Y\in S^{+}}$ if and only if ${\displaystyle Y\subseteq X^{+}}$.

Irreducible cover

An irreducible cover of a set ${\displaystyle S}$ of FDs is a set ${\displaystyle T}$ of FDs such that:

• ${\displaystyle S^{+}=T^{+}}$
• there exists no ${\displaystyle U\subset T}$ such that ${\displaystyle S^{+}=U^{+}}$
• ${\displaystyle X\rightarrow Y\in T~\Rightarrow Y}$ is a singleton set and
• ${\displaystyle X\rightarrow Y\in T\land Z\subset X~\Rightarrow ~Z\rightarrow Y\notin S^{+}}$.

algorithm derive candidate keys from functional dependencies isinput: a set S of FDs that contain only subsets of a header Houtput: the set C of superkeys that hold as candidate keys in all relation universes over H in which all FDs in S hold C := ∅ // found candidate keys Q := { H } // superkeys that contain candidate keys whileQ <> ∅ do let K be some element from QQ := Q – { K } minimal := truefor eachX->YinSdoK' := (K – Y) ∪ X // derive new superkey ifK' ⊂ Kthenminimal := falseQ := Q ∪ { K' } end ifend forifminimaland there is not a subset of K in Cthen remove all supersets of K from CC := C ∪ { K } end ifend while