دوران المحاور في بعدين

في الرياضيات ، دوران المحاور في بعدين هو تحويل من${\displaystyle xy}$- نظام الإحداثيات الديكارتية إلى${\displaystyle x'y'}$نظام الإحداثيات الديكارتية الذي يتم فيه تثبيت نقطة الأصل و${\displaystyle x'}$و${\displaystyle y'}$يتم الحصول على المحاور عن طريق تدوير${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$محاور تدور عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle \theta }$نقطة${\displaystyle P}$لها إحداثيات${\displaystyle (x,y)}$بالنسبة للنظام والإحداثيات الأصلية${\displaystyle (x',y')}$فيما يتعلق بالنظام الجديد. ^{[ 1 ]} في نظام الإحداثيات الجديد، النقطة${\displaystyle P}$سيبدو وكأنه قد تم تدويره في الاتجاه المعاكس، أي في اتجاه عقارب الساعة عبر الزاوية${\displaystyle \theta }$يُعرَّف دوران المحاور في أكثر من بُعدين تعريفًا مشابهًا. ^{[ 2 ] [ 3 ]} دوران المحاور هو تحويل خطي ^{[ 4 ] [ 5 ]} وتحويل صلب .

تُعدّ أنظمة الإحداثيات أساسية لدراسة معادلات المنحنيات باستخدام أساليب الهندسة التحليلية . ولاستخدام طريقة الهندسة الإحداثية، تُوضع المحاور في موضع مناسب بالنسبة للمنحنى قيد الدراسة. فعلى سبيل المثال، لدراسة معادلات القطع الناقص والقطع الزائد ، تقع البؤرتان عادةً على أحد المحاور، وتكونان متناظرتين حول نقطة الأصل. إذا لم يكن المنحنى (القطع الزائد، القطع المكافئ ، القطع الناقص، إلخ) في موضع مناسب بالنسبة للمحاور، فيجب تغيير نظام الإحداثيات لوضع المنحنى في موقع واتجاه مناسبين ومألوفين. تُسمى عملية إجراء هذا التغيير بتحويل الإحداثيات . ^{[ 6 ]}

يمكن تبسيط حلول العديد من المشاكل عن طريق تدوير محاور الإحداثيات للحصول على محاور جديدة تمر عبر نفس نقطة الأصل.

المعادلات التي تحدد التحويل في بعدين، والذي يدور${\displaystyle xy}$محاور تدور عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle \theta }$إلى${\displaystyle x'y'}$يتم اشتقاق المحاور على النحو التالي.

في${\displaystyle xy}$النظام، دع النقطة${\displaystyle P}$لها إحداثيات قطبية${\displaystyle (r,\alpha )}$ثم، في${\displaystyle x'y'}$نظام،${\displaystyle P}$سيكون لها إحداثيات قطبية${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$.

باستخدام الدوال المثلثية ، لدينا

$${\displaystyle x=r\cos \alpha }$$

1

$${\displaystyle y=r\sin \alpha }$$

2

وباستخدام الصيغ المثلثية القياسية للفروق ، نحصل على

$${\displaystyle x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta }$$

3

$${\displaystyle y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .}$$

4

وباستبدال المعادلتين ( 1 ) و ( 2 ) في المعادلتين ( 3 ) و ( 4 )، نحصل على ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$$

5

$${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .}$$

6

يمكن تمثيل المعادلتين ( 5 ) و( 6 ) في شكل مصفوفة كما يلي$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

وهي معادلة المصفوفة القياسية لدوران المحاور في بعدين. ^{[ 8 ]}

التحويل العكسي هو ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle x=x'\cos \theta -y'\sin \theta }$$

7

$${\displaystyle y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,}$$

8

أو $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

تأخذ المعادلة الأكثر عمومية من الدرجة الثانية الشكل التالي:

$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$    (${\displaystyle A,B,C}$(ليس كلها أصفار). [ 10 ]

9

من خلال تغيير الإحداثيات (تدوير المحاور ونقلها ) ، يمكن وضع المعادلة ( 9 ) في صيغة قياسية ، وهي عادةً أسهل في التعامل معها. من الممكن دائمًا تدوير الإحداثيات بزاوية محددة للتخلص من${\displaystyle x'y'}$وباستبدال المعادلتين ( 7 ) و( 8 ) في المعادلة ( 9 )، نحصل على

$${\displaystyle A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,}$$

10

أين

لو${\displaystyle \theta }$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$سنحصل${\displaystyle B'=0}$و${\displaystyle x'y'}$سيختفي الحد الموجود في المعادلة ( 10 ). ^{[ 11 ]}

عندما تنشأ مشكلة مع${\displaystyle B}$،${\displaystyle D}$و${\displaystyle E}$جميعها مختلفة عن الصفر، ويمكن التخلص منها عن طريق إجراء عملية دوران متتالية (إزالة${\displaystyle B}$) وترجمة (تزيل${\displaystyle D}$و${\displaystyle E}$الشروط). ^{[ 12 ]}

لنفترض مستطيلاً${\displaystyle xyz}$يتم تدوير نظام الإحداثيات حول محوره${\displaystyle z}$المحور عكس اتجاه عقارب الساعة (بالنظر إلى الأسفل، الاتجاه الموجب)${\displaystyle z}$المحور) من خلال زاوية${\displaystyle \theta }$أي الإيجابي${\displaystyle x}$يتم تدوير المحور فورًا إلى الاتجاه الموجب${\displaystyle y}$المحور.${\displaystyle z}$إحداثيات كل نقطة لم تتغير و${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$يتم تحويل الإحداثيات كما هو موضح أعلاه. الإحداثيات القديمة${\displaystyle (x,y,z)}$نقطة${\displaystyle Q}$ترتبط بإحداثياتها الجديدة${\displaystyle (x',y',z')}$بواسطة ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

بتعميم ذلك على أي عدد محدود من الأبعاد، مصفوفة الدوران${\displaystyle A}$هي مصفوفة متعامدة تختلف عن مصفوفة الوحدة في أربعة عناصر على الأكثر. هذه العناصر الأربعة هي من الشكل التالي:

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$    و    ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle \theta }$وبعض${\displaystyle i\neq j}$[ ^{15 ]​}

• تناوب
• الدوران (الرياضيات)

• أنطون، هوارد (1987)، الجبر الخطي الابتدائي (  الطبعة الخامسة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-84819-0
• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1993)، التحليل العددي (  الطبعة الخامسة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت ، ISBN 0-534-93219-3
• بروتر، موراي هـ.؛ موري، تشارلز ب. الابن (1970)، حساب التفاضل والتكامل الجامعي مع الهندسة التحليلية (الطبعة الثانية  )، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، LCCN 76087042