التحول الجامد

This article may be confusing or unclear to readers. In particular, the lead refers correctly to transformations of Euclidean spaces, while the sections describe only the case of Euclidean vector spaces or of spaces of coordinate vectors. The "formal definition" section does not specify which kind of objects are represented by the variables, call them vaguely as "vectors", suggests implicitly that a basis and a dot product are defined for every kind of vectors. Please help clarify the article. There might be a discussion about this on the talk page. (August 2021) (Learn how and when to remove this message)

في الرياضيات ، التحويل الجامد (يُسمى أيضًا التحويل الإقليدي أو القياس الإقليدي ) هو تحويل هندسي لمساحة إقليدية يحافظ على المسافة الإقليدية بين كل زوج من النقاط. ^{[1] [ مصدر منشور ذاتيًا ] [2] [3]}

تتضمن التحويلات الجامدة الدورانات ، والترجمات ، والانعكاسات ، أو أي تسلسل من هذه. يتم استبعاد الانعكاسات أحيانًا من تعريف التحويل الجامد من خلال اشتراط أن يحافظ التحويل أيضًا على اليد اليمنى للأشياء في الفضاء الإقليدي. (لن يحافظ الانعكاس على اليد اليمنى؛ على سبيل المثال، سيحول اليد اليسرى إلى اليد اليمنى.) لتجنب الغموض، يُعرف التحويل الذي يحافظ على اليد اليمنى بالحركة الجامدة ، أو الحركة الإقليدية ، أو التحويل الجامد المناسب .

في البعد الثاني، تكون الحركة الصلبة إما انتقالًا أو دورانًا . في البعد الثالث، يمكن تحليل كل حركة صلبة إلى تركيبة من الدوران والانتقال، وبالتالي تسمى أحيانًا بالترجمة الدورانية . في البعد الثالث، تكون جميع الحركات الصلبة أيضًا حركات لولبية (هذه هي نظرية تشاسل )

في البعد الثالث على الأكثر، يمكن تحليل أي تحويل جامد غير سليم إلى دوران غير سليم يتبعه انتقال، أو إلى سلسلة من الانعكاسات .

سوف يحتفظ أي جسم بنفس الشكل والحجم بعد إجراء تحويل صلب مناسب.

جميع التحويلات الجامدة هي أمثلة على التحويلات التآلفية . مجموعة جميع التحويلات الجامدة (الصحيحة وغير السليمة) هي مجموعة رياضية تسمى المجموعة الإقليدية ، ويرمز لها E( n ) للمساحات الإقليدية ذات الأبعاد n . مجموعة الحركات الجامدة تسمى المجموعة الإقليدية الخاصة، ويرمز لها SE( n ) .

في علم الحركة ، تُستخدم الحركات الصلبة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد لتمثيل إزاحات الأجسام الصلبة . ووفقًا لنظرية تشاسليس ، يمكن التعبير عن كل تحويل صلب كحركة لولبية .

يتم تعريف التحويل الجامد رسميًا على أنه تحويل ينتج، عند العمل على أي متجه v ، متجهًا محولًا T ( v ) من الشكل

حيث R ^T = R ⁻¹ (أي أن R عبارة عن تحويل متعامد )، و t عبارة عن متجه يعطي ترجمة الأصل.

إن التحويل الجامد المناسب له، بالإضافة إلى ذلك،

وهذا يعني أن R لا تنتج انعكاسًا، وبالتالي فهي تمثل دورانًا (تحويل متعامد يحافظ على الاتجاه). في الواقع، عندما تنتج مصفوفة التحويل المتعامد انعكاسًا، يكون محددها −1.

يلزم وجود قياس للمسافة بين النقاط، أو المقياس المتري ، للتأكد من أن التحويل جامد. صيغة المسافة الإقليدية لـ R ⁿ هي تعميم لنظرية فيثاغورس . تعطي الصيغة مربع المسافة بين نقطتين X و Y كمجموع مربعات المسافات على طول محاور الإحداثيات، أي حيث X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) و Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n ) ، وتشير النقطة إلى حاصل الضرب القياسي . $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$

باستخدام صيغة المسافة هذه، فإن التحويل الجامد g  : R ⁿ → R ⁿ له الخاصية، $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

إن ترجمة فضاء المتجه تضيف متجهًا d إلى كل متجه في الفضاء، مما يعني أن هذا هو التحويل

من السهل إظهار أن هذا تحويل صارم من خلال إظهار أن المسافة بين المتجهات المترجمة تساوي المسافة بين المتجهات الأصلية: $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

إن التحويل الخطي لمساحة متجهة، L  : R ⁿ → R ⁿ ، يحافظ على التركيبات الخطية ، ويمكن تمثيل التحويل الخطي L بمصفوفة، مما يعني $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$

حيث [ L ] عبارة عن مصفوفة n × n .

التحويل الخطي هو تحويل جامد إذا استوفى الشرط، أي استخدم الآن حقيقة أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين v . w يمكن كتابته على هيئة عملية المصفوفة v ^T w ، حيث يشير T إلى نقل المصفوفة، لدينا وبالتالي، يكون التحويل الخطي L جامدًا إذا استوفت مصفوفته الشرط حيث [ I ] هي مصفوفة الوحدة. تسمى المصفوفات التي تلبي هذا الشرط مصفوفات متعامدة. يتطلب هذا الشرط في الواقع أن تكون أعمدة هذه المصفوفات متجهات وحدة متعامدة. $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$$$${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$

تشكل المصفوفات التي تلبي هذا الشرط مجموعة رياضية تحت عملية ضرب المصفوفات تسمى المجموعة المتعامدة من n × n مصفوفة ويرمز لها بـ O ( n ) .

احسب محدد الشرط لمصفوفة متعامدة للحصول على ما يوضح أن المصفوفة [ L ] يمكن أن يكون لها محدد إما +1 أو -1. المصفوفات المتعامدة ذات المحدد -1 هي انعكاسات، وتلك ذات المحدد +1 هي دورانات. لاحظ أنه يمكن اعتبار مجموعة المصفوفات المتعامدة مكونة من متشعبين في R ^{n × n} مفصولين بمجموعة المصفوفات المفردة. $${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$

تُسمى مجموعة مصفوفات الدوران المجموعة المتعامدة الخاصة، ويُرمز لها SO( n ) . وهي مثال على مجموعة لاي لأنها ذات بنية متعدد الشعب.

• التشوه (الميكانيكا)
• الحركة (الهندسة)

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate