المصفوفة المتعامدة

في الجبر الخطي ، المصفوفة المتعامدة أو المصفوفة المتعامدة المعيارية $Q$ هي مصفوفة مربعة ذات قيم حقيقية أعمدتها وصفوفها عبارة عن متجهات متعامدة معيارية .

إحدى طرق التعبير عن ذلك هي $Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,$ حيث $Q T$ هي منقولة Q $و$ I هي $مصفوفة$ الوحدة .

وهذا يؤدي إلى التوصيف المكافئ : المصفوفة $Q$ تكون متعامدة إذا كان منقولها يساوي معكوسها : $Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},$ حيث $Q -1$ هو معكوس $Q.$

المصفوفة المتعامدة $Q$ قابلة للعكس بالضرورة (مع معكوسها $Q⁻¹$ $= Qᵀ)$ ، وهي $مصفوفة$ وحدوية ( $Q⁻¹ = Q$ $*$ $)$ ، حيث $Q *$ هي المصفوفة المرافقة الهرميتية ( المرافقة المنقولة ) لـ $Q$ ، وبالتالي فهي مصفوفة طبيعية ( $Q * Q = QQ *$ ) على مجموعة الأعداد الحقيقية . محدد أي مصفوفة متعامدة إما +1 أو -1. وباعتبارها تحويلاً خطياً ، تحافظ المصفوفة المتعامدة على الجداء الداخلي للمتجهات ، وبالتالي تعمل كتحويل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي ، مثل الدوران أو الانعكاس أو الدوران الانعكاسي . بعبارة أخرى، هي تحويل وحدوي .

تُشكّل مجموعة المصفوفات المتعامدة من الرتبة $n \times n$ ، عند ضربها ، المجموعة $O(n)$ ، والمعروفة باسم المجموعة المتعامدة . تُسمى المجموعة الجزئية $SO(n)، التي تتكون من مصفوفات متعامدة ذات محدد +1،$ بالمجموعة المتعامدة الخاصة ، وكل عنصر من عناصرها عبارة عن مصفوفة متعامدة خاصة. وباعتبارها تحويلاً خطياً، تعمل كل مصفوفة متعامدة خاصة كدوران.

ملخص

المصفوفة المتعامدة هي حالة خاصة حقيقية للمصفوفة الوحدوية ، وبالتالي فهي دائمًا مصفوفة طبيعية . على الرغم من أننا نقتصر هنا على المصفوفات الحقيقية، إلا أن التعريف ينطبق على المصفوفات التي تنتمي عناصرها إلى أي حقل . مع ذلك، تنشأ المصفوفات المتعامدة بشكل طبيعي من الضرب القياسي ، وبالنسبة لمصفوفات الأعداد المركبة، يؤدي ذلك إلى شرط الوحدة. تحافظ المصفوفات المتعامدة على الضرب القياسي، ^{[ 1 ]} لذا، بالنسبة للمتجهين $u$ و $v$ في فضاء إقليدي حقيقي ذي n $بُعد$ ، فإنهما ${\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)$ حيث $Q$ مصفوفة متعامدة. لفهم علاقة الضرب الداخلي ، لنفترض متجهًا $v$ في فضاء إقليدي حقيقي $ذي$ $n$ بُعد. عند كتابته بالنسبة إلى أساس متعامد ، يكون مربع طول v هو $v$ $T$ $v$ . إذا حافظ تحويل خطي ، في صورة مصفوفة $Q$ $v$ ، على أطوال المتجهات، فإن ${\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }س{\mathbf {v} }.$

وبالتالي، فإنّ التحويلات الخطية المتساوية الأبعاد المحدودة - الدوران والانعكاس وتراكيبهما - تُنتج مصفوفات متعامدة. والعكس صحيح أيضاً: فالمصفوفات المتعامدة تستلزم تحويلات متعامدة . مع ذلك، يشمل الجبر الخطي تحويلات متعامدة بين فضاءات قد لا تكون محدودة الأبعاد أو من نفس البعد، وهذه التحويلات ليس لها مكافئ مصفوفي متعامد.

تُعدّ المصفوفات المتعامدة مهمة لعدة أسباب، نظرية وعملية. تُشكّل المصفوفات المتعامدة من الرتبة $n \times n$ زمرةً تحت عملية ضرب المصفوفات ، وهي الزمرة المتعامدة التي يُرمز لها بـ $O(n)$ ، والتي تُستخدم - مع زمرها الفرعية - على نطاق واسع في الرياضيات والعلوم الفيزيائية . على سبيل المثال، تُعدّ الزمرة النقطية لجزيء ما زمرةً فرعيةً من O(3). ولأنّ نسخ الفاصلة العائمة من المصفوفات المتعامدة تتمتّع بخصائص مفيدة، فهي أساسية للعديد من الخوارزميات في الجبر الخطي العددي ، مثل تحليل $QR$ . كمثال آخر، مع التطبيع المناسب، يُمكن تمثيل تحويل جيب التمام المنفصل (المستخدم في ضغط MP3 ) بواسطة مصفوفة متعامدة.

أمثلة

فيما يلي بعض الأمثلة على المصفوفات المتعامدة الصغيرة والتفسيرات المحتملة.

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$ ( تحويل الهوية )
${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$ ( دوران حول نقطة الأصل )
${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ ( انعكاس حول المحور السيني )
${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ( تبديل محاور الإحداثيات )

الإنشاءات الأساسية

الأبعاد السفلية

أبسط المصفوفات المتعامدة هي المصفوفات 1 × 1 [1] و [−1]، والتي يمكننا تفسيرها على أنها مصفوفة الوحدة وانعكاس الخط الحقيقي عبر نقطة الأصل .

تأخذ المصفوفات من الرتبة 2 × 2 الشكل التالي: ${\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},$ والتي تتطلب التعامد أن تحقق المعادلات الثلاث ${\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}$

بالنظر إلى المعادلة الأولى، وبدون فقدان للعمومية ، لنفترض أن $p = cos θ$ و $q = sin θ$ ؛ عندئذٍ إما $t = - q$ و $u = p$ أو $t = q$ و $u = - p$ . يمكننا تفسير الحالة الأولى على أنها دوران بزاوية $θ$ (حيث $θ = 0$ هي نقطة التطابق)، والثانية على أنها انعكاس حول خط $بزاوية$ $θ / 2 .$

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (التناوب)، }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (انعكاس)}}$

تُنتج الحالة الخاصة لمصفوفة الانعكاس مع $θ = 90°$ انعكاسًا حول الخط عند 45° المعطى بواسطة $y = x$ ، وبالتالي يتم تبديل $x$ و $y$ ؛ إنها مصفوفة تبديل ، مع وجود 1 واحد في كل عمود وصف (و 0 فيما عدا ذلك): ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.$

مصفوفة الوحدة هي أيضاً مصفوفة تبديل.

الانعكاس هو معكوسه ، مما يعني أن مصفوفة الانعكاس متناظرة (تساوي منقولتها ) ومتعامدة. حاصل ضرب مصفوفتي دوران هو مصفوفة دوران ، وحاصل ضرب مصفوفتي انعكاس هو أيضًا مصفوفة دوران.

أبعاد أعلى

بغض النظر عن الأبعاد، من الممكن دائمًا تصنيف المصفوفات المتعامدة إلى مصفوفات دورانية بحتة أو غير دورانية، ولكن بالنسبة للمصفوفات من 3 × 3 وما فوق، قد تكون المصفوفات غير الدورانية أكثر تعقيدًا من الانعكاسات. على سبيل المثال، ${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$

يمثلان انعكاسًا عبر نقطة الأصل وانعكاسًا دورانيًا ، على التوالي، حول المحور $z$ .

تصبح الدورانات أكثر تعقيدًا في الأبعاد الأعلى؛ إذ لا يمكن وصفها بالكامل بزاوية واحدة ، وقد تؤثر على أكثر من فضاء فرعي مستوٍ . من الشائع وصف مصفوفة دوران 3 × 3 بدلالة محور وزاوية ، لكن هذا لا يصلح إلا في ثلاثة أبعاد . أما في الأبعاد الأعلى من ثلاثة، فيلزم وجود زاويتين أو أكثر، ترتبط كل منهما بمستوى دوران .

ومع ذلك، لدينا لبنات بناء أساسية للتباديل والانعكاسات والدورانات التي تنطبق بشكل عام.

البدائيون

أبسط أنواع التبديل هو عملية النقل ، والتي تُستخرج من مصفوفة الوحدة عن طريق تبديل صفين. ويمكن إنشاء أي مصفوفة تبديل من الرتبة $n \times n$ كحاصل ضرب ما لا يزيد عن $n - 1$ عملية نقل.

يتم إنشاء انعكاس هاوسهولدر من متجه غير صفري $v$ على النحو التالي $Q=I-2{\frac {{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}}.$

هنا، البسط عبارة عن مصفوفة متناظرة، بينما المقام عدد، وهو مربع مقدار المتجه $v$ . هذا انعكاس في المستوى الفائق العمودي على $v$ (مع عكس أي مركبة متجهة موازية لـ $v$ ). إذا كان $v$ متجه وحدة ، فإن $Q = I - 2 vv T$ تكفي. يُستخدم انعكاس هاوسهولدر عادةً لتصفير الجزء السفلي من عمود في آنٍ واحد. يمكن إنشاء أي مصفوفة متعامدة بحجم n × n كحاصل ضرب $n$ انعكاسًا على الأكثر من هذا النوع.

تُطبَّق عملية دوران جيفنز على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد (مستوٍ) يمتد على محوري إحداثيات، وتدور بزاوية مُختارة. تُستخدم عادةً لتصفير عنصر واحد من عناصر القطر الفرعي . يمكن إنشاء أي مصفوفة دوران بحجم $n \times n$ كحاصل $ضرب$ $n$ $($ $n$ $-1)$ $/$ $2$ $على الأكثر من هذه$ الدورانات. في حالة المصفوفات 3 × 3 ، تكفي ثلاث دورانات من هذا النوع؛ وبتحديد التسلسل، يمكننا بالتالي وصف جميع مصفوفات الدوران 3 × 3 (وإن لم يكن ذلك بشكل فريد ) بدلالة الزوايا الثلاث المستخدمة، والتي تُسمى غالبًا زوايا أويلر .

دوران جاكوبي له نفس شكل دوران جيفنز، ولكنه يستخدم لتصفير كلا المدخلين غير القطريين لمصفوفة فرعية متناظرة 2 × 2 .

ملكيات

خصائص المصفوفة

تكون المصفوفة المربعة الحقيقية متعامدة إذا وفقط إذا كانت أعمدتها تُشكّل أساسًا متعامدًا معياريًا للفضاء الإقليدي $Rⁿ$ مع الضرب النقطي الإقليدي $العادي$ ، وهو ما يتحقق إذا وفقط إذا كانت صفوفها تُشكّل أساسًا متعامدًا معياريًا للفضاء $Rⁿ .$ قد يتبادر إلى الذهن أن المصفوفة ذات الأعمدة المتعامدة (غير المتعامدة المعيارية) تُسمى مصفوفة متعامدة، لكن هذه المصفوفات لا تحمل أي أهمية خاصة ولا اسمًا مميزًا؛ فهي ببساطة تُحقق العلاقة $M = T₁M₂ = D ،$ حيث $D$ مصفوفة قطرية .

محدد أي مصفوفة متعامدة هو إما +1 أو -1. وهذا يتبع من الحقائق الأساسية المتعلقة بالمحددات، كما يلي : $1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.$

والعكس ليس صحيحاً ؛ فوجود محدد بقيمة ±1 لا يضمن التعامد، حتى مع الأعمدة المتعامدة، كما يتضح من المثال المضاد التالي. ${\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

في مصفوفات التبديل، يتطابق المحدد مع التوقيع ، حيث يكون +1 أو -1 لأن زوجية التبديل زوجية أو فردية، لأن المحدد هو دالة متناوبة للصفوف.

إن ما هو أقوى من قيد المحدد هو حقيقة أنه يمكن دائمًا تحويل المصفوفة المتعامدة إلى مصفوفة قطرية على الأعداد المركبة لإظهار مجموعة كاملة من القيم الذاتية ، والتي يجب أن يكون لها جميعًا معامل ( مركب ) 1.

خصائص المجموعة

معكوس كل مصفوفة متعامدة هو مصفوفة متعامدة أيضًا، وكذلك حاصل ضرب مصفوفتين متعامدتين. في الواقع، مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة من الرتبة $n$ $\times$ $n$ تحقق جميع بديهيات الزمرة . وهي زمرة لي متراصة ذات بُعد $n$ $($ $n -$ $1$ $)$ $/$ $2$ $،$ تُسمى الزمرة المتعامدة ويُرمز لها بـ $O($ $n$ $)$ .

تشكل المصفوفات المتعامدة التي يكون محددها +1 زمرةً جزئيةً طبيعيةً متصلةً مساريًا من $O($ $n$ $)$ ذات دليل 2، وهي الزمرة المتعامدة الخاصة $SO($ $n$ $)$ للدوران . زمرة القسمة $O($ $n$ $)/SO($ $n$ $)$ متماثلة مع $O(1)$ ، حيث يختار تطبيق الإسقاط [+1] أو [−1] وفقًا للمحدد. لا تتضمن المصفوفات المتعامدة ذات المحدد −1 عنصر الوحدة ، وبالتالي لا تشكل زمرةً جزئيةً بل مجموعةً مشاركةً فقط ؛ وهي أيضًا متصلة (بشكل منفصل). وهكذا، تنقسم كل زمرة متعامدة إلى جزأين؛ ولأن تطبيق الإسقاط يقسمها ، فإن $O($ $n$ $)$ هي حاصل ضرب شبه مباشر لـ $SO($ $n$ $)$ في $O(1)$ . عمليًا، يمكن القول إن أي مصفوفة متعامدة يمكن إنتاجها بأخذ مصفوفة دوران وربما عكس أحد أعمدتها، كما رأينا مع المصفوفات 2 × 2 . إذا كان $n$ فرديًا، فإن الضرب شبه المباشر هو في الواقع ضرب مباشر ، ويمكن إنتاج أي مصفوفة متعامدة بأخذ مصفوفة دوران، وربما عكس إشارة جميع أعمدتها. وينتج هذا من خاصية المحددات، حيث أن عكس إشارة عمود ما يبطل إشارة المحدد، وبالتالي فإن عكس إشارة عدد فردي (وليس زوجي) من الأعمدة يبطل إشارة المحدد.

لنفترض الآن مصفوفات متعامدة من الرتبة $(n + 1) \times (n + 1)$ حيث يساوي العنصر السفلي الأيمن 1. يجب أن تكون بقية عناصر العمود الأخير (والصف الأخير) أصفارًا، ويكون حاصل ضرب أي مصفوفتين من هذا النوع متماثلًا. أما بقية المصفوفة فهي مصفوفة متعامدة من الرتبة $n \times n$ ؛ وبالتالي فإن $O(n)$ هي زمرة جزئية من $O(n + 1)$ (ومن جميع الزمر الأعلى).

${\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}$

بما أن الانعكاس الأولي على شكل مصفوفة هاوسهولدر يُمكنه اختزال أي مصفوفة متعامدة إلى هذا الشكل المُقيد، فإن سلسلة من هذه الانعكاسات تُمكن أي مصفوفة متعامدة من أن تُصبح مصفوفة الوحدة؛ وبالتالي، فإن المجموعة المتعامدة هي مجموعة انعكاس . يُمكن تثبيت العمود الأخير على أي متجه وحدة ، وكل اختيار يُعطي نسخة مختلفة من $O(n)$ في $O(n +1)$ ؛ وبهذه الطريقة، $فإن$ $O(n +1)$ عبارة عن حزمة فوق كرة الوحدة $Sn$ ذات ألياف $O(n)$ .

وبالمثل، فإن $SO(n)$ هي زمرة جزئية من $SO(n +1)$ ؛ ويمكن توليد أي مصفوفة متعامدة خاصة عن طريق دورانات مستوى جيفنز باستخدام إجراء مماثل. ويبقى هيكل الحزمة قائماً. $\mathrm {SO} (n)\hookrightarrow \mathrm {SO} (n+1)\to S^{n}$ يمكن لدوران واحد أن يُنتج صفرًا في الصف الأول من العمود الأخير، وسلسلة من $n - 1$ دورانًا ستُصفر جميع الصفوف باستثناء الصف الأخير من العمود الأخير لمصفوفة دوران $n \times n$ . بما أن المستويات ثابتة، فإن لكل دوران درجة حرية واحدة فقط ، وهي زاويته . بالاستقراء، فإن $SO(n)$ تمتلك $(n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}$ درجات الحرية، وكذلك $O(n)$ .

مصفوفات التبديل أبسط من ذلك؛ فهي لا تُشكّل زمرة لي ، بل زمرة منتهية فقط، وهي $الزمرة$ المتناظرة من الرتبة $n!،$ $Sn$ $.$ وبنفس المنطق، فإن $Sn$ $هي$ زمرة جزئية من $Sn$ + $1$ . تُنتج التبديلات الزوجية الزمرة الجزئية لمصفوفات التبديل ذات المحدد +1، $وهي$ الزمرة المتناوبة من الرتبة $n$ $!$ $/$ $2$ $.$

الشكل القانوني

بشكل أوسع، ينقسم تأثير أي مصفوفة متعامدة إلى تأثيرات مستقلة على فضاءات فرعية ثنائية الأبعاد متعامدة . أي، إذا كانت $Q$ مصفوفة متعامدة خاصة، فإنه يمكن دائمًا إيجاد مصفوفة متعامدة $P$ ، وهي تغيير (دوراني) للأساس ، يحول $Q$ إلى شكل قطري كتلي .

$P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).$

حيث تكون المصفوفات $R1 ، ...، Rk$ مصفوفات دوران من الرتبة $2$ ×2 ، وتكون عناصرها المتبقية أصفارًا. استثناءً، قد يكون جزء الدوران قطريًا ، $\pm$ $I$ . وبالتالي، بإسقاط عمود واحد إذا لزم الأمر، مع ملاحظة أن الانعكاس من الرتبة 2×2 يُقطَّر إلى +1 و-1، يمكن تحويل أي مصفوفة متعامدة إلى الشكل ^[²^]^[³^]. $P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},$

تعطي المصفوفات $R 1 ، ... ، R k$ أزواجًا مترافقة من القيم الذاتية التي تقع على دائرة الوحدة في المستوى المركب ؛ لذا يؤكد هذا التحليل أن جميع القيم الذاتية لها قيمة مطلقة تساوي 1. إذا كان $n$ فرديًا، فهناك على الأقل قيمة ذاتية حقيقية واحدة ، +1 أو -1؛ بالنسبة لدوران 3 × 3 ، فإن المتجه الذاتي المرتبط بـ +1 هو محور الدوران.

جبر لي

لنفترض أن عناصر المصفوفة $Q$ دوال قابلة للتفاضل بالنسبة لـ $t$ ، وأن $t = 0$ يعطي $Q = I.$ بتفاضل شرط التعامد $Q^{\mathrm {T} }Q=I$ العائد ${\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0$

التقييم عند $t = 0$ ( $Q = I$ ) يستلزم ${\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.$

في مصطلحات زمرة لي ، يعني هذا أن جبر لي لزمرة المصفوفات المتعامدة يتكون من مصفوفات متناظرة معكوسة . وبالعكس، فإن الأس المصفوفي لأي مصفوفة متناظرة معكوسة هو مصفوفة متعامدة (في الواقع، مصفوفة متعامدة خاصة).

فعلى سبيل المثال، الجسم ثلاثي الأبعاد الذي يُطلق عليه في الفيزياء اسم السرعة الزاوية هو دوران تفاضلي ، وبالتالي فهو متجه في جبر لي. ${\mathfrak {so}}(3)$ مماس لـ $SO(3)$ . بفرض أن $ω = (xθ, yθ, zθ)$ ، حيث $v = (x, y, z)$ متجه وحدة ، فإن الشكل المصفوفي الصحيح المتناظر عكسيًا لـ $ω$ هو $\Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.$

الدالة الأسية لهذا هي المصفوفة المتعامدة $للدوران$ حول المحور v $بزاوية$ θ $؛$ $بوضع$ c $= cos θ / 2 ،$ $s$ = $sin$ $θ$ $/$ $2$ $،$ $\exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.$

الجبر الخطي العددي

فوائد

يستفيد التحليل العددي من العديد من خصائص المصفوفات المتعامدة في الجبر الخطي العددي ، وهي خصائص تنشأ بشكل طبيعي. على سبيل المثال، من المرغوب فيه غالبًا حساب أساس متعامد معياري لفضاء ما، أو تغيير متعامد للأسس ؛ وكلاهما يأخذ شكل مصفوفات متعامدة. إن وجود محدد يساوي ±1 وجميع القيم الذاتية من الرتبة 1 يُعدّ مفيدًا للغاية للاستقرار العددي . ومن تبعات ذلك أن رقم الحالة يساوي 1 (وهو الحد الأدنى)، لذا لا تتضخم الأخطاء عند الضرب بمصفوفة متعامدة. ولهذا السبب، تستخدم العديد من الخوارزميات المصفوفات المتعامدة مثل انعكاسات هاوسهولدر ودورانات جيفنز . ومن المفيد أيضًا أن المصفوفة المتعامدة ليست قابلة للعكس فحسب ، بل إن معكوسها متاح بسهولة تقريبًا، عن طريق تبديل المؤشرات.

تُعدّ التباديل أساسية لنجاح العديد من الخوارزميات ، بما في ذلك خوارزمية الحذف الغاوسي مع التمحور الجزئي (حيث تقوم التباديل بعملية التمحور). ومع ذلك، نادرًا ما تظهر التباديل بشكل صريح على هيئة مصفوفات؛ إذ يسمح شكلها الخاص بتمثيل أكثر كفاءة ، مثل قائمة من $n$ مؤشرًا.

وبالمثل، تستخدم الخوارزميات التي تعتمد على مصفوفات هاوسهولدر وجيفنز عادةً أساليب متخصصة للضرب والتخزين. فعلى سبيل المثال، يؤثر دوران جيفنز على صفين فقط من المصفوفة التي يُضرب بها، مُحوّلاً عملية ضرب كاملة من الرتبة $n³ إلى رتبة n$ أكثر كفاءة $.$ وعندما تُدخل هذه الانعكاسات والدورانات أصفارًا في المصفوفة، تكون المساحة المُخلاة كافية لتخزين بيانات كافية لإعادة إنتاج التحويل، وبكفاءة عالية . (تبعًا لـ GW Stewart من جامعة ماريلاند ^{[ 4 ]} ، لا نخزن زاوية الدوران ، لأنها مكلفة وغير موثوقة).

التحلل

تتضمن العديد من عمليات تحليل المصفوفات المهمة المصفوفات المتعامدة، بما في ذلك على وجه الخصوص:

تحليل $QR$: $M = QR$ ، $Q$ متعامد، $R$ مثلث علوي^{[ 5 ]}
تحليل القيم المفردة: $M = U Σ V T$ ، $U$ و $V$ متعامدتان، $Σ$ مصفوفة قطرية ^{[ 6 ]}
تحليل القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة (التحليل وفقًا لنظرية الطيف ): $S = Q Λ Q T$ ، $S$ متناظرة ، $Q$ متعامدة، $Λ$ قطرية
التحلل القطبي: $M = QS$ ، $Q$ متعامد، $S$ متماثل شبه موجب محدد ^[⁷^]

أمثلة

لنفترض نظامًا من المعادلات الخطية ذات عدد زائد من الحدود ، كما قد يحدث عند تكرار قياس ظاهرة فيزيائية للتعويض عن الأخطاء التجريبية . نكتب $A x = b$ ، حيث $A$ هي مصفوفة من الرتبة $m \times n$ ، $و m > n$ . يُختزل تحليل $QR المصفوفة$ $A$ إلى مصفوفة مثلثية علوية $R.$ على سبيل المثال، إذا كانت $A تساوي$ 5 × 3، فإن $R$ تأخذ الشكل التالي: $R={\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

تتمثل مسألة المربعات الصغرى الخطية في إيجاد قيمة $x$ التي تُقلل من $‖Ax$ $- b‖ ، وهو$ ما يُكافئ إسقاط $b$ على الفضاء الجزئي المُولّد بواسطة أعمدة المصفوفة $A. بافتراض$ $أن$ أعمدة $A$ (وبالتالي $R$ ) مستقلة ، يُمكن إيجاد حل الإسقاط من $ATAx = ATAb$ . الآن، $ATA$ $مربعة$ ( n × $n$ $)$ وقابلة للعكس ، وهي أيضًا تساوي $RTR .$ $لكن$ الصفوف السفلية من الأصفار في $R$ $زائدة$ $في$ عملية الضرب، والتي هي بالتالي في شكل مُحلل مثلثي سفلي ومثلثي علوي $،$ كما $هو$ $الحال$ $في$ $طريقة$ الحذف الغاوسي ( تحليل تشوليسكي $) . هنا$ $، تُعد$ $خاصية$ التعامد مهمة ليس فقط لاختزال ATA $=$ $($ $RTQT$ $)$ $QR$ $إلى$ RTR $، ولكن$ $أيضًا$ للسماح بالحل $دون$ تضخيم $المسائل$ $العددية$ .

في حالة النظام الخطي غير المحدد ، أو المصفوفة غير القابلة للعكس ، يكون تحليل القيم المفردة (SVD) مفيدًا بنفس القدر. عند تحليل المصفوفة $A$ إلى $U Σ V T$ ، فإن الحل المُرضي يعتمد على المعكوس الزائف لمور-بنروز ، $V Σ + U T$ ، حيث يستبدل $Σ +$ كل عنصر قطري غير صفري بمقلوبه . لنفترض أن $x$ = $V Σ + U T b$ .

تُعدّ حالة المصفوفة المربعة القابلة للعكس مثيرة للاهتمام أيضًا. لنفترض، على سبيل المثال، أن $A$ هي مصفوفة دوران 3 × 3 تم حسابها كتركيب لعدد كبير من الالتواءات والانعطافات. لا يتوافق نظام الأعداد العشرية مع النموذج الرياضي للأعداد الحقيقية ، لذا فقدت $A$ تدريجيًا تعامدها الحقيقي. يمكن لعملية غرام-شميدت أن تجعل الأعمدة متعامدة ، لكنها ليست الطريقة الأكثر موثوقية، ولا الأكثر كفاءة، ولا الأكثر ثباتًا. يُحلل التحليل القطبي المصفوفة إلى زوج، أحدهما هو أقرب مصفوفة متعامدة فريدة للمصفوفة المعطاة، أو أحد أقرب المصفوفات إذا كانت المصفوفة المعطاة منفردة. (يمكن قياس التقارب بأي معيار مصفوفة ثابت تحت تغيير الأساس المتعامد، مثل المعيار الطيفي أو معيار فروبينيوس ). بالنسبة للمصفوفة شبه المتعامدة، يمكن تحقيق تقارب سريع نحو العامل المتعامد باستخدام طريقة نيوتن التي طورها نيكولاس هيغام من مانشستر ^[⁸^]^[⁹^] ، وذلك عن طريق حساب متوسط المصفوفة مع منقولها العكسي بشكل متكرر . وقد نشر أوغسطين أ. دوبرول من مختبر أوك ريدج الوطني طريقة مُسرّعة مع اختبار تقارب مناسب . ^[¹⁰^]

على سبيل المثال، لنفترض مصفوفة غير متعامدة تتطلب خوارزمية حساب المتوسط البسيطة لها سبع خطوات ${\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}$ والتي يتم تقليص التسارع إلى خطوتين (مع $γ$ = 0.353553، 0.565685).

${\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}$

ينتج عن غرام-شميدت حل أدنى، كما يتضح من مسافة فروبينيوس البالغة 8.28659 بدلاً من الحد الأدنى 8.12404.

${\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{bmatrix}}$

التوزيع العشوائي

تتطلب بعض التطبيقات العددية، مثل طرق مونت كارلو واستكشاف فضاءات البيانات عالية الأبعاد ، توليد مصفوفات متعامدة عشوائية موزعة توزيعًا منتظمًا . في هذا السياق، يُعرَّف مصطلح "منتظم" بدلالة مقياس هار ، الذي يشترط أساسًا ألا يتغير التوزيع عند ضربه بأي مصفوفة متعامدة مختارة بحرية. لا ينتج عن تعامد المصفوفات ذات المدخلات العشوائية المستقلة الموزعة توزيعًا منتظمًا مصفوفات متعامدة موزعة توزيعًا منتظمًا ، ولكن تحليل $QR$ للمدخلات العشوائية المستقلة الموزعة توزيعًا طبيعيًا ينتج عنها مصفوفات متعامدة موزعة توزيعًا منتظمًا، طالما أن قطر المصفوفة $R$ يحتوي على مدخلات موجبة فقط. ^[¹¹^] استبدل جي دبليو ستيوارت من جامعة ماريلاند ^[¹²^] هذا بفكرة أكثر كفاءة عممها لاحقًا بيرسي دياكونيس من جامعة ستانفورد ومهرداد شاهشاهاني من مختبر الدفع النفاث تحت مسمى " خوارزمية المجموعة الفرعية " (والتي تعمل بنفس الكفاءة مع التباديل والدورانات ). لإنشاء مصفوفة متعامدة من الرتبة $($ $ن$ $+ ١) \times ($ $ن$ $+ ١)$ ، خذ مصفوفة من الرتبة $ن$ $\times$ $ن$ ومتجه وحدة موزع توزيعًا منتظمًا من الرتبة ن + ١. أنشئ انعكاس هاوسهولدر من المتجه، ثم طبّقه على المصفوفة الأصغر (المضمنة في المصفوفة الأكبر مع وجود ١ في الزاوية السفلية اليمنى). ^[^١٣^]

أقرب مصفوفة متعامدة

تُعرف مسألة إيجاد المصفوفة المتعامدة $Q$ الأقرب إلى مصفوفة معطاة $M$ بمسألة بروكروستس المتعامدة . توجد عدة طرق مختلفة للحصول على الحل الوحيد ، وأبسطها هو أخذ تحليل القيم المفردة للمصفوفة M $واستبدال$ القيم المفردة بالواحدات. هناك طريقة أخرى تُعبّر عن $R$ بشكل صريح ، ولكنها تتطلب استخدام الجذر التربيعي للمصفوفة : ^{[ 14 ]} $Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

يمكن دمج هذا مع الطريقة البابلية لاستخراج الجذر التربيعي للمصفوفة لإعطاء علاقة تكرارية تتقارب إلى مصفوفة متعامدة تربيعيًا : $Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}$ حيث $Q 0 = M$ .

تكون هذه التكرارات مستقرة بشرط أن يكون رقم الحالة لـ $M$ أقل من ثلاثة. ^{[ 15 ]}

باستخدام تقريب من الدرجة الأولى للمعكوس ونفس التهيئة ينتج عنه التكرار المعدل:

$N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}$ $P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}$ $Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}$

قم بتدويره وتثبيته

تُعاني بعض استخدامات المصفوفات المتعامدة من مشكلة تقنية دقيقة. فليس فقط أن مكونات المجموعة ذات المحدد +1 و-1 غير متصلة ببعضها، بل إن المكون +1، $SO(n)$ ، ليس متصلاً اتصالاً بسيطاً (باستثناء SO(1)، وهو أمر بديهي). لذا، يكون من المفيد أحياناً، بل من الضروري، العمل مع مجموعة تغطية لـ SO( n )، وهي مجموعة الدوران ، $Spin(n)$ . وبالمثل، فإن $O(n)$ لها مجموعات تغطية، وهي مجموعات الدبابيس ، Pin( n ). بالنسبة لـ $n > 2$ ، تكون $Spin(n)$ متصلة اتصالاً بسيطاً، وبالتالي فهي مجموعة التغطية الشاملة لـ $SO(n)$ . ولعل أشهر مثال على مجموعة الدوران هو $Spin(3)$ ، وهي ببساطة $SU(2)$ ، أو مجموعة الكواترنيونات الوحدوية .

توجد مجموعات Pin و Spin داخل جبر Clifford ، والتي يمكن بناؤها بدورها من المصفوفات المتعامدة.

المصفوفات المستطيلة

إذا لم تكن $Q$ مصفوفة مربعة ، فإن الشرطين $Q T Q = I$ و $QQ$ $T$ $=$ $I$ غير متكافئين. ينص الشرط $Q T Q = I$ على أن أعمدة $Q$ متعامدة . وهذا لا يتحقق إلا إذا كانت $Q مصفوفة من الرتبة$ $m$ $\times$ $n$ حيث $n$ $\leq$ $m$ (بسبب الارتباط الخطي ). وبالمثل، ينص $الشرط QQ$ $T$ $=$ $I$ على أن صفوف $Q$ متعامدة، وهو ما يتطلب $n$ $\geq$ $m$ .

لا يوجد مصطلح قياسي لهذه المصفوفات. فهي تُسمى بشكل مختلف " المصفوفات شبه المتعامدة "، و"المصفوفات المتعامدة المعيارية"، و"المصفوفات المتعامدة"، وأحيانًا ببساطة "المصفوفات ذات الصفوف/الأعمدة المتعامدة المعيارية".

في حالة $n \leq m$ ، يمكن الإشارة إلى المصفوفات ذات الأعمدة المتعامدة باسم إطارات k المتعامدة وهي عناصر من مشعب ستيفل .

مصفوفة $A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ يمثل الشكل ذو الصفوف المتعامدة خريطة خطية $f\colon \,\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},$ وهو ما يصف الإسقاط المتعامد . ويمكن إيجاد مثالين محددين في مقالة "القياس المحوري" (المثالان 3 و4 في قسم "حساب الإحداثيات ").

انظر أيضاً

النظام المتعامد ثنائياً

مراجع

↑ دوكينز (2005) ، ص 298 ، النظرية 3 ، (أ) و (ج)
^ جانتماخر (1959) ، ص. 285 ، مكافئ. 113 / جانتماهر (الثاني) ، ص. 258 ، مكافئ. 123 خطأ في harvp: لا يوجد هدف: CITEREFГантмаhern.d. ( يساعد )
↑ لانغ (1987) ، § 6 "المشغلون الوحدويون"، ص 230
↑ ستيوارت، جي دبليو (يونيو 1976) [تاريخ الاستلام: 3 فبراير 1975]. "التخزين الاقتصادي للدوران المستوي" . الرياضيات العددية . 25 (2): 137-138 . doi : 10.1007/BF01462266 . eISSN 0945-3245 . ISSN 0029-599X . S2CID 120372682 .
^ جولوب وفان لون (1996) ، الصفحات من 206 إلى 208، ومن 223 إلى 236، ...
^ جولوب وفان لون (1996) ، الصفحات من 69 إلى 75
^ جولوب وفان لون (1996) ، ص. 149
↑ هايام، نيكولاس ج. (أكتوبر 1986) [تاريخ الاستلام: 13 مارس 1985]. "حساب التحلل القطبي - مع تطبيقات" (ملف PDF) . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 7 (4): 1160-1174 . doi : 10.1137/0907079 . ISSN 0196-5204 . MIMS EPrint 2007.9 . ProQuest 920895097. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 18 أبريل 2007.
↑ هايام، نيكولاس جيه؛ شرايبر، روبرت إس. (يوليو 1990). "التحليل القطبي السريع لمصفوفة عشوائية" (ملف PDF) . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 11 (4): 648-655 . CiteSeerX 10.1.1.230.4322 . doi : 10.1137/0911038 . ISSN 0196-5204 . S2CID 14268409. ProQuest 921763908. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 21 مايو 2023 .
↑ دوبرول، أ.أ. (1999). "التكرار الأمثل لتحليل المصفوفة القطبية" . المعاملات الإلكترونية في التحليل العددي . 8 : 21-25 . ISSN 1068-9613 . Zbl 0939.65068 . EMIS 7655. EuDML 120380 .
↑ ميزادري، فرانشيسكو (مايو 2007) [نسخة أولية منشورة على arXiv، تاريخ التقديم 18 سبتمبر 2006، تاريخ آخر مراجعة 27 فبراير 2007]. "كيفية توليد مصفوفات عشوائية من المجموعات المدمجة الكلاسيكية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية (AMS) . 54 (5): 592-604 . arXiv : math-ph/0609050 . Bibcode : 2006math.ph...9050M .
↑ ستيوارت، جي دبليو (يونيو 1980). "التوليد الفعال للمصفوفات المتعامدة العشوائية مع تطبيق على مُقدِّرات الحالة". مجلة SIAM للتحليل العددي . 17 (3): 403-409 ، ملحق من 16 ميكروفيش. رمز Bibcode : 1980SJNA...17..403S . doi : 10.1137/0717034 . eISSN 1095-7170 . ISSN 0036-1429 .
^ دياكونيس وشاهشاهاني (1987) ، الصفحات 19، 22-23، 32
↑ هورن، بيرتولد كيه بي (21 نوفمبر 2008). "إيجاد أقرب مصفوفة متعامدة" (ملف PDF) . مختبر علوم الحاسوب والذكاء الاصطناعي (CSAIL)، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا .
↑ هايام، نيكولاس ج. (أبريل 1986) [تاريخ الاستلام: 22 أكتوبر 1984؛ تاريخ المراجعة: 30 يوليو 1985]. "طريقة نيوتن للجذر التربيعي للمصفوفة" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 46 (174): 537-549 . doi : 10.1090/S0025-5718-1986-0829624-5 . eISSN 1088-6842 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2007992. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 سبتمبر 2011.

المراجع

دوكينز، بول (2005). "المصفوفات المتعامدة" . الجبر الخطي (ملف PDF) . ملاحظات بول الرياضية على الإنترنت. جامعة لامار . الصفحات 295-300 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18 ديسمبر 2012.
دياكونيس، بيرسي ؛ شاهشاهاني، مهرداد (يناير 1987). "خوارزمية المجموعة الفرعية لتوليد متغيرات عشوائية منتظمة" . الاحتمالات في العلوم الهندسية والمعلوماتية . 1 (1): 15-32 (انظر الصفحات 21-28، 31-32). doi : 10.1017/S0269964800000255 . ISSN 0269-9648 . S2CID 122752374 .
غانتماخر، ف. ر. (1959). "الجزء التاسع: المؤثرات الخطية في فضاء وحدوي : القسم 7: القواعد المتعامدة، القسم 13: المؤثرات الخطية في فضاء إقليدي، القسم 14: التحليل القطبي للمؤثر وصيغ كايلي في فضاء إقليدي، القسم 15: المؤثرات العادية التبادلية؛ الجزء العاشر: الأشكال التربيعية والهرميتية : القسم 5: اختزال الشكل التربيعي إلى المحاور الرئيسية". نظرية المصفوفات . المجلد 1. دار نشر تشيلسي . الصفحات 262-309 . ISBN 978-1-4704-8159-9. أرشيف الإنترنت gantmacher-the-theory-of-matrices-vol-1-1959 .{{cite book}}: رقم ISBN / عدم توافق التاريخ ( مساعدة ) (مترجم من: Гантмаher، Ф.Р. "IX. Линейные operatorы в unitarnom пространстве : § 7. أساس التنظيم، § 13. مشغلو الخطوط في الفضاء الخارجي، الفقرة 14. مشغلو التوزيع القطبي وصيغهم في الفضاء الخارجي البساطة، الفقرة 15. مشغلي أجهزة الكمبيوتر العادية؛ X. أشكال المطابقة والطبقية : § 5. أشكال المطابقة والمواصفات للمجموعات الرئيسية". نظرية ماتريش (PDF) . المجلد الأول: الأساسيات نظريات ص 237 – 280. )
جولوب، جين هـ .؛ فان لون، تشارلز ف. (1996) [الطبعة الأولى 1983]. حسابات المصفوفات . سلسلة جونز هوبكنز في العلوم الرياضية ( الطبعة الثالثة). بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز. الصفحات 69-80 ، 206-212 ، ...، 601-611 . ISBN 978-0-8018-5414-9. كتب جوجل mlOa7wPX6OYC .
لانغ، سيرج (1987). "الفصل الثامن: المتجهات الذاتية والقيم الذاتية" . الجبر الخطي ( الطبعة الثالثة). سبرينغر نيويورك. ص 194-230 . doi : 10.1007/978-1-4757-1949-9_8 . ISBN 978-1-4419-3081-1.

للمزيد من القراءة

"المصفوفة المتعامدة" . موسوعة الرياضيات . 7 يونيو 2020. مؤرشف من الأصل في 11 ديسمبر 2024.هذا المقال مقتبس من مقال أصلي بقلم د. أ. سوبرونينكو (المؤلف الأصلي)، والذي نُشر في موسوعة الرياضيات - ISBN 1402006098انظر المقال الأصلي "

روابط خارجية

برنامج تعليمي وتفاعلي حول المصفوفات المتعامدة من إعداد كاردي تكنومو

[1] دوكينز (2005) ، ص 298 ، النظرية 3 ، (أ) و (ج)

[2] جانتماخر (1959) ، ص. 285 ، مكافئ. 113 / جانتماهر (الثاني) ، ص. 258 ، مكافئ. 123 خطأ في harvp: لا يوجد هدف: CITEREFГантмаhern.d. ( يساعد )

[3] لانغ (1987) ، § 6 "المشغلون الوحدويون"، ص 230

[4] ستيوارت، جي دبليو (يونيو 1976) [تاريخ الاستلام: 3 فبراير 1975]. "التخزين الاقتصادي للدوران المستوي" . الرياضيات العددية . 25 (2): 137-138 . doi : 10.1007/BF01462266 . eISSN 0945-3245 . ISSN 0029-599X . S2CID 120372682 .

[5] جولوب وفان لون (1996) ، الصفحات من 206 إلى 208، ومن 223 إلى 236، ...

[6] جولوب وفان لون (1996) ، الصفحات من 69 إلى 75

[7] جولوب وفان لون (1996) ، ص. 149

[8] هايام، نيكولاس ج. (أكتوبر 1986) [تاريخ الاستلام: 13 مارس 1985]. "حساب التحلل القطبي - مع تطبيقات" (ملف PDF) . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 7 (4): 1160-1174 . doi : 10.1137/0907079 . ISSN 0196-5204 . MIMS EPrint 2007.9 . ProQuest 920895097. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 18 أبريل 2007.

[9] هايام، نيكولاس جيه؛ شرايبر، روبرت إس. (يوليو 1990). "التحليل القطبي السريع لمصفوفة عشوائية" (ملف PDF) . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 11 (4): 648-655 . CiteSeerX 10.1.1.230.4322 . doi : 10.1137/0911038 . ISSN 0196-5204 . S2CID 14268409. ProQuest 921763908. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 21 مايو 2023 .

[10] دوبرول، أ.أ. (1999). "التكرار الأمثل لتحليل المصفوفة القطبية" . المعاملات الإلكترونية في التحليل العددي . 8 : 21-25 . ISSN 1068-9613 . Zbl 0939.65068 . EMIS 7655. EuDML 120380 .

[11] ميزادري، فرانشيسكو (مايو 2007) [نسخة أولية منشورة على arXiv، تاريخ التقديم 18 سبتمبر 2006، تاريخ آخر مراجعة 27 فبراير 2007]. "كيفية توليد مصفوفات عشوائية من المجموعات المدمجة الكلاسيكية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية (AMS) . 54 (5): 592-604 . arXiv : math-ph/0609050 . Bibcode : 2006math.ph...9050M .

[12] ستيوارت، جي دبليو (يونيو 1980). "التوليد الفعال للمصفوفات المتعامدة العشوائية مع تطبيق على مُقدِّرات الحالة". مجلة SIAM للتحليل العددي . 17 (3): 403-409 ، ملحق من 16 ميكروفيش. رمز Bibcode : 1980SJNA...17..403S . doi : 10.1137/0717034 . eISSN 1095-7170 . ISSN 0036-1429 .

[13] دياكونيس وشاهشاهاني (1987) ، الصفحات 19، 22-23، 32

[14] هورن، بيرتولد كيه بي (21 نوفمبر 2008). "إيجاد أقرب مصفوفة متعامدة" (ملف PDF) . مختبر علوم الحاسوب والذكاء الاصطناعي (CSAIL)، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا .

[15] هايام، نيكولاس ج. (أبريل 1986) [تاريخ الاستلام: 22 أكتوبر 1984؛ تاريخ المراجعة: 30 يوليو 1985]. "طريقة نيوتن للجذر التربيعي للمصفوفة" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 46 (174): 537-549 . doi : 10.1090/S0025-5718-1986-0829624-5 . eISSN 1088-6842 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2007992. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 سبتمبر 2011.

[ 1 ]

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[

[

[

[

[

[ 14 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗