التركيز (الهندسة)

النقطة $F$ هي نقطة تركيز للقطع الناقص الأحمر، والقطع المكافئ الأخضر، والقطع الزائد الأزرق.

في الهندسة ، تُعرف البؤر ( أو الفؤوس ) بأنها نقاط خاصة تُبنى عليها أنواع مختلفة من المنحنيات . على سبيل المثال ، يمكن استخدام بؤرة واحدة أو اثنتين في تعريف القطوع المخروطية، والتي تشمل أربعة أنواع: الدائرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد . بالإضافة إلى ذلك ، تُستخدم بؤرتان لتعريف القطع الناقص لكاسيني والقطع الناقص الديكارتي ، بينما يُستخدم أكثر من بؤرتين لتعريف القطع الناقص ذي البعد n .

القطوع المخروطية

تعريف القطوع المخروطية من حيث بؤرتين

يمكن تعريف القطع الناقص بأنه المحل الهندسي للنقاط التي يكون مجموع المسافات إلى بؤرتين معينتين ثابتًا.

الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث تتطابق بؤرتاها. لذا، يمكن تعريف الدائرة ببساطة على أنها المحل الهندسي للنقاط التي تبعد كل منها مسافة ثابتة عن إحدى البؤرتين. كما يمكن تعريف الدائرة، أو دائرة أبولونيوس ، بدلالة بؤرتين مختلفتين، على أنها المحل الهندسي للنقاط التي لها نسبة ثابتة من المسافات إلى البؤرتين.

القطع المكافئ هو حالة حدية للقطع الناقص حيث تكون إحدى البؤرتين نقطة عند اللانهاية .

يمكن تعريف القطع الزائد بأنه موضع النقاط التي تكون فيها القيمة المطلقة للفرق بين المسافات إلى بؤرتين معينتين ثابتة.

تعريف القطوع المخروطية من حيث البؤرة والدليل

من الممكن أيضًا وصف جميع القطوع المخروطية بدلالة بؤرة واحدة ودليل واحد ، وهو خط مستقيم لا يحتوي على البؤرة. يُعرَّف القطع المخروطي بأنه المحل الهندسي للنقاط التي تكون فيها نسبة المسافة إلى البؤرة إلى المسافة إلى الدليل ثابتة موجبة، تُسمى الاختلاف المركزي $e$ . إذا كان $0 < e < 1،$ يكون القطع المخروطي قطعًا ناقصًا، وإذا كان $e = 1،$ يكون القطع المخروطي قطعًا مكافئًا، وإذا كان $e > 1،$ يكون القطع المخروطي قطعًا زائدًا. إذا كانت المسافة إلى البؤرة ثابتة وكان الدليل خطًا مستقيمًا في اللانهاية ، وبالتالي يكون الاختلاف المركزي صفرًا، فإن القطع المخروطي يكون دائرة.

تعريف القطوع المخروطية من حيث البؤرة ودائرة الدليل

من الممكن أيضًا وصف جميع القطوع المخروطية بأنها مواقع لنقاط متساوية البعد عن بؤرة واحدة ودليل دائري واحد. بالنسبة للقطع الناقص، فإن لكل من البؤرة ومركز دائرة الدليل إحداثيات محددة، ونصف قطر دائرة الدليل أكبر من المسافة بين مركز هذه الدائرة والبؤرة؛ وبالتالي، تقع البؤرة داخل دائرة الدليل. ويكون للقطع الناقص الناتج بؤرة ثانية في مركز دائرة الدليل، ويقع القطع الناقص بالكامل داخل هذه الدائرة.

بالنسبة للقطع المكافئ، ينتقل مركز الدليل إلى نقطة اللانهاية (انظر الهندسة الإسقاطية ). يصبح "دائرة" الدليل منحنىً ذا انحناء صفري، لا يمكن تمييزه عن خط مستقيم. يصبح ذراعا القطع المكافئ متوازيين بشكل متزايد كلما امتدا، ويصبحان متوازيين عند نقطة اللانهاية؛ وباستخدام مبادئ الهندسة الإسقاطية، يتقاطع الخطان المتوازيان عند نقطة اللانهاية، ويصبح القطع المكافئ منحنى مغلقًا (إسقاط إهليلجي).

لرسم قطع زائد، يُختار نصف قطر دائرة الدليل بحيث يكون أقل من المسافة بين مركز هذه الدائرة وبؤرة القطع الزائد؛ وبالتالي، تقع البؤرة خارج دائرة الدليل. تقترب أذرع القطع الزائد من خطوط تقارب ، ويلتقي الذراع الأيمن لأحد فرعي القطع الزائد بالذراع الأيسر للفرع الآخر عند نقطة اللانهاية؛ ويستند هذا إلى مبدأ أنه في الهندسة الإسقاطية، يلتقي الخط الواحد بنفسه عند نقطة اللانهاية. وبذلك، يُمثل فرعا القطع الزائد نصفي منحنى مغلق على اللانهاية (ملتويين).

في الهندسة الإسقاطية، جميع القطوع المخروطية متكافئة بمعنى أن كل نظرية يمكن صياغتها لأحدها يمكن صياغتها للآخرين.

الأهمية الفلكية

في مسألة الجاذبية بين جسمين ، يتم وصف مدارات الجسمين حول بعضهما البعض بواسطة مقطعين مخروطيين متداخلين حيث تتطابق إحدى بؤرتي أحدهما مع إحدى بؤرتي الآخر عند مركز كتلة الجسمين ( مركز الثقل ).

فعلى سبيل المثال، يدور قمر شارون ، أكبر أقمار الكوكب القزم بلوتو ، في مدار إهليلجي، وتتركز إحدى بؤرتيه عند مركز ثقل نظام بلوتو-شارون، وهي نقطة تقع في الفضاء بين الجسمين. ويتحرك بلوتو أيضاً في مدار إهليلجي، وتتركز إحدى بؤرتيه عند مركز الثقل نفسه بين الجسمين. ويقع مدار بلوتو الإهليلجي بالكامل داخل مدار شارون الإهليلجي، كما هو موضح في هذا الرسم المتحرك للنظام.

بالمقارنة، يتحرك قمر الأرض في مدار إهليلجي، وتقع إحدى بؤرتيه في مركز ثقل القمر والأرض ، وهذا المركز يقع داخل الأرض نفسها، بينما تتحرك الأرض (أو بالأحرى مركزها) في مدار إهليلجي، وتقع إحدى بؤرتيه في نفس مركز الثقل داخل الأرض. ويقع مركز الثقل على مسافة تقارب ثلاثة أرباع المسافة من مركز الأرض إلى سطحها.

علاوة على ذلك، يتحرك نظام بلوتو-شارون في مدار إهليلجي حول مركز ثقله مع الشمس ، كما هو الحال في نظام الأرض-القمر (وكل نظام كوكب-قمر آخر أو كوكب بلا قمر في المجموعة الشمسية ). في كلتا الحالتين، يقع مركز الثقل داخل جسم الشمس.

يتحرك نجمان ثنائيان أيضًا في مدارات إهليلجية تتشارك في بؤرة مركز ثقلهما؛ لمشاهدة الرسوم المتحركة، انظر هنا .

أشكال بيضاوية ديكارتية وكاسيني

الشكل البيضاوي الديكارتي هو مجموعة النقاط التي يكون فيها المجموع المرجح للمسافات إلى بؤرتين محددتين ثابتًا. إذا كانت الأوزان متساوية، ينتج عن ذلك حالة خاصة من القطع الناقص.

إن شكل كاسيني البيضاوي هو مجموعة النقاط التي يكون فيها حاصل ضرب المسافات إلى بؤرتين معينتين ثابتًا.

التعميمات

القطع الناقص n هو مجموعة النقاط التي لها نفس مجموع المسافات إلى $n$ بؤرة ( الحالة $n = 2$ هي القطع الناقص التقليدي).

يمكن تعميم مفهوم البؤرة ليشمل أي منحنى جبري . ليكن $C$ منحنى من الفئة $m،$ ولتكن $I$ و $J$ النقطتين الدائريتين عند اللانهاية . ارسم $m$ مماسات للمنحنى $C$ تمر بكل من $I$ و $J.$ يوجد مجموعتان من $m$ خطوط تتقاطع مع $m² نقطة$ ، مع استثناءات في بعض الحالات بسبب التفردات، وما إلى ذلك. تُعرف نقاط التقاطع هذه بأنها بؤر المنحنى C. $بعبارة$ أخرى، النقطة $P$ هي بؤرة إذا كانت كل من $PI$ و $PJ$ مماسة للمنحنى $C.$ عندما يكون $C منحنى حقيقيًا،$ $فإن$ تقاطعات الأزواج المترافقة فقط هي الحقيقية، لذا يوجد $m$ بؤرة حقيقية و $m² - m$ بؤرة تخيلية. عندما يكون $C$ قطعًا مخروطيًا، فإن البؤر الحقيقية المعرفة بهذه الطريقة هي تحديدًا البؤر التي يمكن استخدامها في البناء الهندسي للمنحنى $C.$

منحنيات المجهر متحد البؤر

لنفترض أن $P1$ $، P2 ، ...، Pm هي$ بؤر منحنى $C$ من الفئة $m$ . ولتكن $P$ حاصل ضرب معادلات المماس لهذه النقاط، و $Q$ حاصل ضرب معادلات المماس للنقاط الدائرية عند اللانهاية. عندئذٍ، تكون جميع الخطوط التي تمس كلاً من $P$ $= 0$ و $Q = 0$ مماسة للمنحنى $C.$ لذا، وفقًا لنظرية AF+BG ، تأخذ معادلة المماس للمنحنى $C$ الشكل $HP + KQ = 0.$ بما أن $C$ من الفئة $m$ ، فإن $H$ ثابت، و $K$ دالة من الدرجة $m - 2.$ يمكن استبعاد الحالة $H = 0$ باعتبارها حالة منعدمة، وبالتالي يمكن كتابة معادلة المماس للمنحنى $C على الصورة$ $P + fQ = 0،$ $حيث$ f $دالة$ كثيرة الحدود من الدرجة $2m$ . ^{[ 1 ]}