الدوران والانعكاس في بعدين

في الهندسة الإقليدية ، تعتبر الدورانات ثنائية الأبعاد والانعكاسات نوعين من أنواع التماثلات المستوية الإقليدية المرتبطة ببعضها البعض.

يمكن تكوين دوران في المستوى عن طريق تركيب زوج من الانعكاسات. أولاً، اعكس نقطة${\displaystyle P}$إلى صورتها${\displaystyle P'}$على الجانب الآخر من الخط${\displaystyle L_{1}}$ثم تأمل${\displaystyle P'}$إلى صورتها${\displaystyle P''}$على الجانب الآخر من الخط${\displaystyle L_{2}}$. إذا كانت الخطوط${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$اصنع زاوية${\displaystyle \theta }$فيما بينهم، ثم نقاط${\displaystyle P}$و${\displaystyle P''}$سيصنع زاوية${\displaystyle 2\theta }$حول النقطة${\displaystyle O}$، تقاطع${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$أي الزاوية${\displaystyle \angle POP''}$سوف يتم القياس${\displaystyle 2\theta }$.

زوج من الدورات حول نفس النقطة${\displaystyle O}$سيكون ذلك مكافئًا لدوران آخر حول النقطة${\displaystyle O}$من ناحية أخرى، فإن تركيب الانعكاس والدوران، أو الدوران والانعكاس (التركيب ليس تبادليًا )، سيكون مكافئًا للانعكاس.

يمكن التعبير عن العبارات أعلاه بشكل أكثر رياضية. لنفترض دورانًا حول نقطة الأصل${\displaystyle O}$بزاوية${\displaystyle \theta }$يُشار إليه بـ${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )}$دع تأملاً حول خط${\displaystyle L}$من خلال نقطة الأصل التي تشكل زاوية${\displaystyle \theta }$مع${\displaystyle x}$يُشار إلى المحور - بـ${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$لنفترض أن هذه الدورانات والانعكاسات تعمل على جميع النقاط في المستوى، ولنفترض أن هذه النقاط ممثلة بمتجهات الموضع . عندئذٍ يمكن تمثيل الدوران كمصفوفة . $${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

وكذلك الأمر بالنسبة للتأمل، $${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$$

بناءً على هذه التعريفات لدوران الإحداثيات وانعكاسها، فإن المتطابقات الأربع التالية صحيحة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}}$$

يمكن إثبات هذه المعادلات من خلال ضرب المصفوفات المباشر وتطبيق المتطابقات المثلثية ، وتحديداً متطابقات الجمع والطرح.

تشكل مجموعة جميع الانعكاسات في الخطوط المارة بنقطة الأصل والدورانات حول نقطة الأصل، بالإضافة إلى عملية تركيب الانعكاسات والدورانات، زمرة . وللزمرة عنصر محايد.${\displaystyle \operatorname {Rot} (0)}$كل دورة${\displaystyle \operatorname {Rot} (\phi )}$له عكس${\displaystyle \operatorname {Rot} (-\phi )}$كل انعكاس${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$هي معكوسها. التركيب له خاصية الإغلاق وهو تجميعي، لأن ضرب المصفوفات تجميعي.

لاحظ أن كليهما${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$و${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )}$تم تمثيلها بمصفوفات متعامدة . جميع هذه المصفوفات لها محدد قيمته المطلقة تساوي واحدًا. مصفوفات الدوران لها محدد يساوي${\displaystyle +1}$، ومصفوفات الانعكاس لها محدد من${\displaystyle -1}$.

تشكل مجموعة جميع المصفوفات ثنائية الأبعاد المتعامدة مع عملية ضرب المصفوفات المجموعة المتعامدة :${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$.

يوضح الجدول التالي أمثلة على مصفوفة الدوران والانعكاس  :

يكتب	الزاوية θ	مصفوفة
تناوب	0°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
تناوب	${\displaystyle \pm }$45 درجة	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
تناوب	90 درجة	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$
تناوب	180 درجة	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
انعكاس	0°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
انعكاس	45 درجة	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$
انعكاس	90 درجة	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
انعكاس	-45 درجة	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

• نظرية كارتان-ديودونيه
• مجموعة ثنائية السطوح
• التناظر المستوي الإقليدي
• التناظرات الإقليدية
• إزاحة البرغي

• أنطون، هوارد (1987)، الجبر الخطي الابتدائي (  الطبعة الخامسة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-84819-0
• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1993)، التحليل العددي (  الطبعة الخامسة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت ، ISBN 0-534-93219-3
• بروتر، موراي هـ.؛ موري، تشارلز ب. الابن (1970)، حساب التفاضل والتكامل الجامعي مع الهندسة التحليلية (الطبعة الثانية  )، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، LCCN 76087042