الانعكاس (الرياضيات)

في الرياضيات ، الانعكاس (أو الانعكاس ) ^{[ 1 ]} هو تحويل من الفضاء الإقليدي إلى نفسه، وهو تحويل متساوي القياس مع مستوى فائق يمثل مجموعة النقاط الثابتة ؛ تُسمى هذه المجموعة محور الانعكاس (في البعد الثنائي) أو مستوى الانعكاس (في البعد الثلاثي). صورة الشكل الناتج عن الانعكاس هي صورته المرآوية حول محور الانعكاس أو مستوى الانعكاس.

على سبيل المثال، صورة الحرف اللاتيني الصغير p عند انعكاسه حول محور رأسي ( انعكاس رأسي ) تبدو كـ q . أما صورته عند انعكاسه حول محور أفقي ( انعكاس أفقي ) فتبدو كـ b . الانعكاس هو عملية انعكاسية : عند تطبيقه مرتين متتاليتين، تعود كل نقطة إلى موقعها الأصلي، ويعود كل شكل هندسي إلى حالته الأصلية.

يُستخدم مصطلح الانعكاس أحيانًا للإشارة إلى فئة أوسع من التطبيقات من الفضاء الإقليدي إلى نفسه، وتحديدًا التحويلات المتساوية غير المطابقة التي تُعدّ عمليات انعكاسية. مجموعة النقاط الثابتة (المرآة) لمثل هذا التحويل المتساوي هي فضاء فرعي أفيني ، ولكنها قد تكون أصغر من المستوى الفائق.

على سبيل المثال، الانعكاس حول نقطة ما هو تحويل هندسي متماثل مع نقطة ثابتة واحدة فقط؛ صورة الحرف p تحته ستبدو كحرف d . تُعرف هذه العملية أيضًا باسم الانعكاس المركزي ( كوكسيتر 1969 ، §7.2) ، وتُظهر الفضاء الإقليدي كفضاء متناظر .

في الفضاء الإقليدي المتجهي ، يكون الانعكاس حول نقطة الأصل هو نفسه نفي المتجه. ومن الأمثلة الأخرى الانعكاس حول خط في الفضاء ثلاثي الأبعاد. مع ذلك، يُستخدم مصطلح "انعكاس" عادةً للدلالة على الانعكاس في مستوى فائق . ويستخدم بعض الرياضيين مصطلح " قلب " كمرادف لـ"انعكاس". ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

في الهندسة المستوية (أو ثلاثية الأبعاد)، لإيجاد انعكاس نقطة، يُسقط عمود من تلك النقطة على الخط (المستوى) المستخدم في الانعكاس، ويُمدد بنفس المسافة على الجانب الآخر. ولإيجاد انعكاس شكل، تُعكس كل نقطة فيه.

لعكس النقطة P عبر الخط AB باستخدام الفرجار والمسطرة ، اتبع الخطوات التالية (انظر الشكل):

• الخطوة 1 (باللون الأحمر): قم بإنشاء دائرة مركزها عند النقطة P ونصف قطر ثابت r لإنشاء النقطتين A′ و B′ على الخط AB ، والتي ستكون على مسافة متساوية من P.
• الخطوة 2 (باللون الأخضر): ارسم دوائر مركزها A′ و B′ ونصف قطرها r . ستكون P و Q نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين.

إذن ، النقطة Q هي انعكاس النقطة P عبر الخط AB .

مصفوفة الانعكاس متعامدة ، ومحددها -1، وقيمها الذاتية -1، 1، 1، ...، 1. حاصل ضرب مصفوفتين من هذا النوع هو مصفوفة متعامدة خاصة تمثل دورانًا. كل دوران ينتج عن انعكاسات في عدد زوجي من الانعكاسات في مستويات فائقة تمر بنقطة الأصل، وكل دوران غير صحيح ينتج عن انعكاسات في عدد فردي من الانعكاسات. بالتالي، تولد الانعكاسات المجموعة المتعامدة ، وتُعرف هذه النتيجة بنظرية كارتان-ديودونيه .

وبالمثل، تتولد المجموعة الإقليدية ، التي تتألف من جميع التماثلات في الفضاء الإقليدي، من الانعكاسات في المستويات الفائقة الأفينية. وبشكل عام، تُعرف المجموعة المتولدة من الانعكاسات في المستويات الفائقة الأفينية باسم مجموعة الانعكاس . وتُعد المجموعات المنتهية المتولدة بهذه الطريقة أمثلة على مجموعات كوكسيتر .

يمكن وصف الانعكاس حول خط عشوائي يمر بنقطة الأصل في بعدين بالصيغة التالية

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}lv,}$

أين${\displaystyle v}$يشير إلى المتجه الذي يتم انعكاسه،${\displaystyle l}$يشير إلى أي متجه في الخط الذي يتم الانعكاس عليه، و${\displaystyle v\cdot l}$يرمز إلى حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle v}$مع${\displaystyle l}$لاحظ أن الصيغة أعلاه يمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

قول ذلك يعكس${\displaystyle v}$عير${\displaystyle l}$يساوي ضعف إسقاط${\displaystyle v}$على${\displaystyle l}$، ناقص المتجه${\displaystyle v}$. الانعكاسات في خط لها القيم الذاتية 1 و -1.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle S}$هو فضاء جزئي خطي و${\displaystyle P_{S}}$هو الإسقاط المتعامد على${\displaystyle S}$ثم انعكاس عبر${\displaystyle S}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle R_{S}=2P_{S}-I.}$

هذا يُصلح كل متجه في${\displaystyle S}$وينفي كل متجه في${\displaystyle S^{\perp }}$. منذ

${\displaystyle P_{S}+P_{S^{\perp }}=I,}$

ويمكن كتابة نفس الانعكاس بشكل مكافئ على النحو التالي

${\displaystyle R_{S}=I-2P_{S^{\perp }}.}$

وبالتالي، يمكن وصف الانعكاس إما بالفضاء الجزئي الذي يبقى ثابتًا أو بمكمله المتعامد، الذي تنعكس متجهاته. في القسم ثنائي الأبعاد السابق،${\displaystyle l}$يمتد على الفضاء الجزئي الذي يبقى ثابتًا؛ في الصيغة أدناه،${\displaystyle a}$يمتد على مكمله المتعامد، الذي تكون متجهاته معكوسة.

بالنظر إلى متجه${\displaystyle v}$في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، صيغة الانعكاس في المستوى الفائق المار بنقطة الأصل، والمتعامد مع${\displaystyle a}$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

أين${\displaystyle v\cdot a}$يرمز إلى حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle v}$مع${\displaystyle a}$لاحظ أن الحد الثاني في المعادلة أعلاه يساوي ضعف الإسقاط المتجهي لـ${\displaystyle v}$على${\displaystyle a}$يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك بسهولة

• Ref _a ( v ) = − v , if${\displaystyle v}$موازٍ لـ${\displaystyle a}$، و
• Ref _a ( v ) = v , if${\displaystyle v}$عمودي على أ .

باستخدام الضرب الهندسي ، تكون الصيغة هي

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

بما أن هذه الانعكاسات هي تماثلات في الفضاء الإقليدي مع تثبيت نقطة الأصل، فيمكن تمثيلها بمصفوفات متعامدة . المصفوفة المتعامدة المقابلة للانعكاس المذكور أعلاه هي المصفوفة

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

أين${\displaystyle I}$يشير إلى${\displaystyle n\times n}$مصفوفة الهوية و${\displaystyle a^{T}}$هي منقولة المصفوفة أ. عناصرها هي

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

حيث δ _ij هي دلتا كرونكر .

صيغة الانعكاس في المستوى الفائق الأفيني${\displaystyle v\cdot a=c}$ليس من خلال الأصل

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot ac}{a\cdot a}}a.}$

• المعكوس الجمعي
• دوران الإحداثيات والانعكاسات
• تحويل رب الأسرة
• الهندسة العكسية
• مستوى الدوران
• رسم خرائط الانعكاس
• مجموعة التفكير
• تناظر الانعكاس

• كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1969)، مقدمة في الهندسة (  الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-50458-0، MR 0123930 
• بوبوف، ف. ل. (2001) [1994]، "الانعكاس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• وايسشتاين، إريك دبليو. "انعكاس" . عالم الرياضيات .

• انعكاس في خط عند قطع العقدة
• فهم الانعكاس ثنائي الأبعاد وفهم الانعكاس ثلاثي الأبعاد بقلم روجر جيرموندسون، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .