نظرية تشالس (علم الحركة)

في علم الحركة ، تنص نظرية تشالس ، أو نظرية موزي-تشالس ، على أن الإزاحة الأكثر عمومية للجسم الصلب يمكن إنتاجها بواسطة إزاحة لولبية أو حركة لولبية . يتضمن التناظر الإقليدي المباشر في ثلاثة أبعاد إزاحة ودوران . يُحلل تمثيل الإزاحة اللولبية للتناظر الإقليدي الإزاحة إلى مركبتين، إحداهما موازية لمحور الدوران المرتبط بالتناظر الإقليدي، والأخرى عمودية على هذا المحور. تنص نظرية تشالس على أنه يمكن اختيار محور الدوران لتوفير المركبة الثانية للإزاحة الأصلية كنتيجة للدوران. تُعمم هذه النظرية في ثلاثة أبعاد تمثيلًا مشابهًا للتناظرات المستوية كدوران. بمجرد اختيار محور اللولب ، تدور الإزاحة اللولبية حوله، وتُضاف إزاحة موازية للمحور إلى الإزاحة اللولبية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تُعبّر الهندسة الإقليدية في المستوى المركب عن طريق النقاط${\displaystyle p=x+yi}$حيث مربع i يساوي -1 . تنتج عمليات الدوران عن الضرب في${\displaystyle \omega =\cos t+i\sin t}$لاحظ أن الدوران حول النقطة المركبة p يتم الحصول عليه عن طريق الحساب المركب مع

$${\displaystyle z\mapsto \omega (zp)+p=\omega z+p(1-\omega )}$$

حيث يُظهر التعبير الأخير التحويل المكافئ للدوران عند 0 والانتقال. لذلك، بالنظر إلى التماثل المباشر${\displaystyle z\mapsto \omega z+a,}$يمكن للمرء أن يحل${\displaystyle p(1-\omega )=a}$للحصول على${\displaystyle p=a/(1-\أوميغا )}$باعتبارها مركزًا لدوران مكافئ، شريطة أن${\displaystyle \omega \neq 1}$أي بشرط ألا يكون التناظر المباشر إزاحة خالصة. وكما ذكر سيدربيرغ، "التناظر المباشر إما دوران أو إزاحة". ^{[ 3 ]}

يُنسب برهان إمكانية تحليل الإزاحة المكانية إلى دوران وانزلاق حول خط وعلى طوله إلى عالم الفلك والرياضيات جوليو جوزيبي موزي (1763)، وفي الواقع، يُطلق على محور الدوران اسم " محور موزي" في إيطاليا. مع ذلك، تشير معظم الكتب الدراسية إلى عمل لاحق مماثل لميشيل شاسل يعود تاريخه إلى عام 1830. ^{[ 4 ]} وقد توصل العديد من معاصري شاسل إلى نتائج مماثلة أو مشابهة في ذلك الوقت تقريبًا، بمن فيهم غايتانو جيورجيني ، وأوغستين لويس كوشي ، ولويس بوينسو ، وسيميون دينيس بواسون، وأوليندي رودريغيز . يمكن الاطلاع على سرد لبرهان جوليو موزي عام 1763 وبعض تاريخه هنا. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يدرس موزي جسمًا صلبًا يخضع أولًا لدوران حول محور يمر بمركز كتلته ، ثم لانتقال إزاحة مقدارها D في أي اتجاه. يمكن تحقيق أي حركة صلبة بهذه الطريقة بفضل نظرية أويلر حول وجود محور دوران . يمكن تحليل إزاحة مركز الكتلة D إلى مركبتين: موازية وعمودية على المحور. تؤثر المركبة العمودية (والموازية) على جميع نقاط الجسم الصلب، لكن موزي يوضح أن الدوران السابق قد أثر على بعض النقاط بإزاحة معاكسة تمامًا، لذا تنتقل هذه النقاط موازية لمحور الدوران. تقع هذه النقاط على محور موزي الذي يمكن من خلاله تحقيق الحركة الصلبة عبر حركة لولبية.

قدّم إي. تي. ويتاكر برهانًا أوليًا آخر لنظرية موزي-تشالس عام 1904. ^{[ 7 ]} لنفترض أن الشكل A سيتحول إلى الشكل B. يقترح ويتاكر اختيار الخط AK موازيًا لمحور الدوران المطلوب، بحيث تكون النقطة K هي نقطة بداية عمود من B. يكون الإزاحة اللولبية المناسبة حول محور موازٍ لـ AK بحيث تنتقل K إلى B. بعبارة أخرى، "الدوران حول أي محور يكافئ الدوران بنفس الزاوية حول أي محور موازٍ له، بالإضافة إلى إزاحة بسيطة في اتجاه عمودي على المحور."

يمكن إجراء حساب الانتقال والدوران المتبادلين من حركة لولبية باستخدام 3DPGA (${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$الجبر الهندسي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 8 ]} وله ثلاثة متجهات أساسية إقليدية${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$مُرضٍ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}=1}$تمثيل المستويات المتعامدة التي تمر عبر نقطة الأصل، ومتجه أساس غراسماني واحد${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$مُرضٍ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=0}$لتمثيل المستوى عند اللانهاية. أي مستوى على مسافة${\displaystyle \delta }$يمكن بعد ذلك تشكيلها من نقطة الأصل كتركيبة خطية$${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}}$$والتي يتم تطبيعها بحيث${\displaystyle a^{2}=1}$بما أن الانعكاسات يمكن تمثيلها بالمستوى الذي يحدث فيه الانعكاس، فإن حاصل ضرب مستويين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هو الانعكاس المزدوج${\displaystyle ab}$والنتيجة هي دوران حول خط تقاطعهما${\displaystyle a\wedge b}$، والذي يمكن أن يقع أيضًا على المستوى عند اللانهاية عندما يكون الانعكاسان متوازيين، وفي هذه الحالة يكون الانعكاس المزدوج${\displaystyle ab}$هذه ترجمة.

حركة لولبية${\displaystyle S}$هو نتاج أربعة انعكاسات غير متوازية، وبالتالي${\displaystyle S=abcd}$لكن وفقًا لنظرية موزي-تشالس، يمكن تحليل الحركة اللولبية إلى حركة انتقالية تبادلية.$${\displaystyle T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}}$$أين${\displaystyle B_{1}}$هل محور الانتقال يحقق${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$والدوران$${\displaystyle R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )}$$أين${\displaystyle B_{2}}$هل محور الدوران يحقق${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$خطي ثنائي الاتجاه${\displaystyle B_{1}}$و${\displaystyle B_{2}}$متعامدان ومتبادلان. لإيجاد${\displaystyle T}$و${\displaystyle R}$من${\displaystyle S}$نكتب ببساطة${\displaystyle S}$وانظر إلى النتيجة درجةً درجة:$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{scalar}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{bivector}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{quadrivector}}\end{aligned}}}$$لأن جزء المتجه الرباعي${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$و${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$،${\displaystyle T}$تم العثور مباشرة على ^{[ 9 ]}$${\displaystyle T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}}$$وبالتالي$${\displaystyle R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}}$$وبالتالي، بالنسبة لحركة لولبية معينة${\displaystyle S}$يمكن إيجاد الانتقال والدوران المتبادلين باستخدام الصيغتين أعلاه، وبعد ذلك الخطوط${\displaystyle B_{1}}$و${\displaystyle B_{2}}$وُجد أنها تتناسب مع${\displaystyle \langle T\rangle _{2}}$و${\displaystyle \langle R\rangle _{2}}$على التوالى.

تُعد نظرية تشالس حالة خاصة من التفكيك الثابت .

• الدوران والانعكاس في بعدين

• بنيامين بيرس (1872) نظام الميكانيكا التحليلية ، الجزء الثالث: الحركات المركبة للدوران والانتقال، وخاصة الفقرتين 32 و39، ديفيد فان نوستراند وشركاه، رابط من أرشيف الإنترنت
• Richard M. Friedberg (2022) " Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme Solide..."، ترجمة وتعليق "، شرح لمقال 1840 بقلم Rodrigues، انظر §4 حول نظرية Chasles