معادلة التأرجح

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

يتكون نظام الطاقة من عدد من الآلات المتزامنة التي تعمل بشكل متزامن في جميع ظروف التشغيل. في ظروف التشغيل العادية، يكون الموضع النسبي لمحور الدوار ومحور المجال المغناطيسي الناتج ثابتًا. تُعرف الزاوية بينهما بزاوية القدرة أو زاوية العزم أو زاوية الدوار . أثناء أي اضطراب، يتباطأ الدوار أو يتسارع بالنسبة للقوة الدافعة المغناطيسية في الفجوة الهوائية الدوارة بشكل متزامن ، مما يُحدث حركة نسبية. تُعرف المعادلة التي تصف الحركة النسبية بمعادلة التأرجح، وهي معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الثانية تصف تأرجح دوار الآلة المتزامنة. يُطلق على تبادل الطاقة بين الدوار الميكانيكي والشبكة الكهربائية نتيجة لتأرجح الدوار (التسارع والتباطؤ) اسم الاستجابة بالقصور الذاتي .

الاشتقاق

يتم تشغيل مولد متزامن بواسطة محرك رئيسي. المعادلة التي تحكم حركة الدوار هي: [ 1 ]جد2θمدت2=تيأ=تيم-تيهـ،{\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}},} أين:

  • ج{\displaystyle J}يمثل عزم القصور الذاتي الكلي لكتلة الدوار بوحدة كجم- م²
  • θم{\displaystyle \theta _{\text{m}}}يمثل الوضع الزاوي للدوار بالنسبة لمحور ثابت بالراديان (rad).
  • ت{\displaystyle t}الوقت بالثواني (ث)
  • تيأ{\displaystyle T_{a}}يمثل عزم التسارع الصافي ، بوحدة نيوتن متر
  • تيم{\displaystyle T_{\text{m}}}عزم الدوران الميكانيكي الذي يوفره المحرك الرئيسي بوحدة نيوتن متر
  • تيهـ{\displaystyle T_{\text{e}}}يمثل عزم الدوران الكهربائي الناتج عن المولد بوحدة نيوتن متر

وبإهمال الخسائر، فإن الفرق بين عزم الدوران الميكانيكي والكهربائي يعطي عزم الدوران التسارعي الصافيتيأ{\displaystyle T_{a}}في حالة الاستقرار، يكون عزم الدوران الكهربائي مساويًا لعزم الدوران الميكانيكي، وبالتالي تكون قدرة التسارع صفرًا. خلال هذه الفترة، يتحرك الدوار بسرعة متزامنة.ωs{\displaystyle \omega _{s}}بوحدة راديان/ثانية. عزم الدوران الكهربائيتيهـ{\displaystyle T_{\text{e}}}يتوافق ذلك مع صافي طاقة الفجوة الهوائية في الآلة، وبالتالي فهو يمثل إجمالي طاقة الخرج للمولد بالإضافة إلى|أنا|2R{\displaystyle |I|^{2}R}الخسائر في ملفات المحرك . [ 2 ]

الوضع الزاويθ{\displaystyle \theta }يتم قياسها باستخدام إطار مرجعي ثابت. وتمثيلها بالنسبة للإطار الدوار المتزامن يعطي ما يلي: θم=ωسمت+دلتام،{\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{sm}}t+\delta _{\text{m}},} حيث زاوية القدرة الميكانيكيةدلتام{\displaystyle \delta _{m}}يمثل الموضع الزاوي بالنسبة للإطار المرجعي الدوار المتزامن. مشتقة المعادلة أعلاه بالنسبة للزمن هي: دθمدت=ωسم+ددلتامدت.{\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{sm}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}.} تُظهر المعادلات أعلاه أن السرعة الزاوية للدوار تساوي السرعة التزامنية فقط عندماددلتام/دت{\displaystyle d\delta _{m}/dt}يساوي صفرًا. لذلك، فإن الحدددلتام/دت{\displaystyle d\delta _{m}/dt}يمثل انحراف سرعة الدوار عن التزامن بوحدة راديان/ثانية.

وبأخذ المشتقة الثانية للمعادلة أعلاه، تصبح: د2θمدت2=د2دلتامدت2.{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}.} وباستبدال المعادلة أعلاه في معادلة حركة الدوار نحصل على: جد2دلتامدت2=تيأ=تيم-تيهـ.{\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}.} بضرب كلا الطرفين في السرعة الزاوية للدوار، المعطاة بواسطة ωم=دθمدت،{\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}},} النتائج في جωمد2دلتامدت2=Pأ=Pم-Pهـ،{\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}},} أينPأ{\displaystyle P_{a}}،Pم{\displaystyle P_{\text{m}}}وPهـ{\displaystyle P_{\text{e}}}تمثل هذه القيم على التوالي القدرة المتسارعة والميكانيكية والكهربائية ( الفعالة ) بوحدة الواط (W). ويمكن اشتقاق المعادلة بشكل بديهي عن طريق حساب المشتقة الزمنية للطاقة الدورانية .

المعامل​جωم{\displaystyle J\omega _{\text{m}}}يمثل الزخم الزاوي للدوار عند السرعة التزامنيةωسم{\displaystyle \omega _{\text{sm}}}في بيانات الآلات المُقدمة لدراسات الاستقرار، يُشار إلى هذا المعامل غالبًا بالرمز التالي:م{\displaystyle M}ويُطلق عليه ثابت القصور الذاتي للآلة. عملياً،ωم{\displaystyle \omega _{\text{m}}}لا يختلف بشكل كبير عن السرعة التزامنية عندما تكون الآلة في حالة مستقرةωسم{\displaystyle \omega _{\text{sm}}}مع الأخذ في الاعتبار ثابت القصور الذاتي الآخر: [ 3 ]ح=12جωسم2Sتم التقييم=12مωسمSتم التقييم=الطاقة الحركية المخزنة بالميغا جول عند السرعة المتزامنةتصنيف الآلة بالميغا فولت أمبير،{\displaystyle H={\frac {{\frac {1}{2}}J\omega _{\text{sm}}^{2}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}M\omega _{\text{sm}}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {\text{الطاقة الحركية المخزنة بالميغا جول عند السرعة التزامنية}}{\text{قدرة الآلة بالميغا فولت أمبير}}},} أينSتم التقييم{\displaystyle S_{\text{rated}}}تمثل قيمة القدرة ثلاثية الأطوار للآلة بوحدة ميغا فولت أمبير . بالتعويض في المعادلة أعلاه 2حSتم التقييمωسم2ωمد2دلتامدت2=Pم-Pهـ=Pأ.{\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{sm}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}.} منذPم{\displaystyle P_{\text{m}}}،Pهـ{\displaystyle P_{\text{e}}}وPأ{\displaystyle P_{a}}تُعطى بيانات الآلة بوحدة ميغاواط، وبقسمتها على تصنيف المولد ميغا فولت أمبير، نحصل على هذه الكميات بوحدة النسبة المئوية. بقسمة طرفي المعادلة أعلاه علىSتم التقييم{\displaystyle S_{\text{rated}}}أعطِ

2حωsد2دلتادت2=Pم-Pهـ=Pأ{\displaystyle {\frac {2H}{\omega _{\text{s}}}}{\frac {d^{2}{\delta }}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{e}=P_{a}}لكل وحدة

مع زاوية القدرة الكهربائية والسرعة الزاوية الكهربائية المعطاة بواسطة دلتا=ص2دلتام،ω=ص2ωم،ωs=ص2ωsم،{\displaystyle \delta ={\frac {p}{2}}\delta _{m},\qquad \omega ={\frac {p}{2}}\omega _{m},\qquad \omega _{s}={\frac {p}{2}}\omega _{sm},} أينص{\displaystyle p}يمثل عدد أقطاب الآلة المتزامنة.

تصف المعادلة أعلاه سلوك ديناميكيات الدوار، ومن ثم تُعرف باسم معادلة التأرجح . الزاويةدلتا{\displaystyle \delta }وهو ما يتعلق بالمجال الكهرومغناطيسي الداخلي(هـ){\displaystyle (E)}تُحدد زاوية القدرة للمولد التزامني مقدار الطاقة التي يمكن نقلها. ولذلك تُسمى هذه الزاوية بزاوية القدرة . وبإهمال الفقد المقاومي للآلة، تكون معادلة زاوية القدرة المقابلة كما يلي: [ 4 ]Pهـ=Pمأxالخطيئة⁡(دلتا)=3|V||هـ|Xالخطيئة⁡(دلتا)،{\displaystyle P_{e}=P_{max}\sin(\delta )=3{\frac {|V||E|}{X}}\sin(\delta ),} أينX{\displaystyle X}هي مفاعلة الآلة وV{\displaystyle V}جهد النظام (أي الشبكة). [ 5 ] الزاويةدلتا{\displaystyle \delta }ويُشار إليه أيضًا باسم زاوية عزم الدوران أو عزم الدوران الكهربائيتيهـ{\displaystyle T_{e}}يمكن اشتقاقها من هذه المعادلة على النحو التالي [ 6 ]تيهـ=Pهـωم=3|V||هـ|ωمXالخطيئة⁡(دلتا).{\displaystyle T_{e}={\frac {P_{e}}{\omega _{m}}}=3{\frac {|V||E|}{\omega _{m}X}}\sin(\delta ).} وبالتالي، بالنسبة للآلات المتزامنة، فإن معادلة التأرجح هي دالة غير خطية لـدلتا{\displaystyle \delta }ويمكن حلها عددياً باستخدام، على سبيل المثال، خوارزمية رونج-كوتا من الرتبة الرابعة . عندمادلتا{\displaystyle \delta }إذا كانت صغيرة، يمكن تبسيط المعادلة إلى خطية كما يلي:Pهـ≈Pمأxدلتا{\displaystyle P_{e}\approx P_{max}\delta }[ 7 ]​

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ Grainger & Stevenson 1994 ، ص 698–702.
  2. ↑ أومانس 2013 ، ص 263-264.
  3. ^ سعدات 1999 ، ص 462-463.
  4. ↑ Grainger & Stevenson 1994 ، ص 709–712.
  5. ^ شافيميكر وفان دير سلويس 2008 ، ص 71-74.
  6. ↑ تشابمان 2011 ، الفصل 4.6 القدرة وعزم الدوران في المولدات المتزامنة.
  7. ^ جورو وهيزيرولو 2001 ، ص 648-651.

مراجع

  • تشابمان، ستيفن ج. (2011). أساسيات الآلات الكهربائية . ماكجرو هيل للتعليم. ISBN 978-0-07-352954-7.
  • غراينجر، جون جيه؛ ستيفنسون، ويليام دي. (1994). تحليل أنظمة الطاقة . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-061293-8.
  • جورو، بهاج س.؛ هيزيروغلو، حسين ر. (2001). الآلات الكهربائية والمحولات . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-513890-0. OCLC 43286555 . 
  • سعادات، هادي (1999). تحليل أنظمة الطاقة . بوسطن: شركة ماكجرو هيل. ISBN 0-07-012235-0.
  • شافيميكر، P.؛ فان دير سلويس، L. (2008). أساسيات نظام الطاقة الكهربائية . تشيتشيستر، إنجلترا؛ هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. رقم ISBN 978-0-470-51027-8. OCLC 193911699 . 
  • أومانس، ستيفن د. (2013). الآلات الكهربائية لفيتزجيرالد وكينغسلي . نيويورك: ماكجرو هيل للتعليم. ISBN 978-0-07-338046-9.