عزم الدوران

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 63 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء والميكانيكا ، يُعدّ العزم المكافئ الدوراني للقوة الخطية . [ 1 ] ويُشار إليه أيضًا بعزم القوة ، أو ببساطة العزم . وكما أن القوة الخطية هي دفع أو سحب مُطبّق على جسم، يُمكن اعتبار العزم دورانًا مُطبّقًا على جسم ما بالنسبة لمحور مُختار. على سبيل المثال، عند ربط برغي ، يُطبّق مفك البراغي عزمًا عليه، مما يجعله يميل إلى الدوران حول محوره .

يُستخدم مصطلح "العزم" عادةً بمصطلحات مختلفة تبعًا للموقع الجغرافي ومجال الدراسة، حيث يرتبط مصطلح "العزم" عمومًا بالفيزياء، بينما يرتبط مصطلح "القوة" بالهندسة. تتبع هذه المقالة التعريف المُستخدم في الفيزياء الأمريكية عند استخدام مصطلح "العزم" . [ 2 ]

يُعبَّر عن عزم الدوران عادةً رياضياً باستخدام الحرف اليوناني الصغير تاو (τ). وعند الإشارة إليه بعزم القوة ، يُرمز إليه عادةً بالرمز M.

المصطلحات التاريخية

يُقال إن مصطلح "عزم الدوران " (من الكلمة اللاتينية torquēre ، بمعنى "اللف") قد اقترحه جيمس طومسون ، وظهر في المطبوعات في أبريل 1884. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] وقد وثّق سيلفانوس ب. طومسون استخدامه في العام نفسه في الطبعة الأولى من كتابه "الآلات الكهربائية الديناميكية" . [ 5 ] ويصف طومسون استخدامه للمصطلح على النحو التالي: [ 4 ]

كما أن تعريف نيوتن للقوة هو ما يُنتج أو يميل إلى إنتاج حركة (على طول خط)، كذلك يُمكن تعريف العزم بأنه ما يُنتج أو يميل إلى إنتاج التواء (حول محور). من الأفضل استخدام مصطلح يُعامل هذا الفعل ككيان واحد مُحدد بدلاً من استخدام مصطلحات مثل " الازدواج " و" العزم "، التي تُوحي بأفكار أكثر تعقيداً. إن المفهوم البسيط للالتواء المُطبق لتدوير عمود أفضل من المفهوم الأكثر تعقيداً لتطبيق قوة خطية (أو زوج من القوى) مع رافعة مُعينة.

في الهندسة الميكانيكية في المملكة المتحدة والولايات المتحدة، يُشار إلى عزم الدوران عمومًا باسم عزم القوة ، ويُختصر عادةً إلى عزم . [ 6 ] يمكن تتبع هذا المصطلح إلى عام 1811 على الأقل في كتاب سيميون دينيس بواسون " Traité de mécanique" . [ 7 ] ظهرت ترجمة إنجليزية لعمل بواسون في عام 1842.

التعريف والعلاقة بالكميات الفيزيائية الأخرى

العزم هو حاصل الضرب الاتجاهي بين القوة الخطية ونصف القطر حول محور الدوران

يقع جسيم عند الموضع r بالنسبة لمحور دورانه. عند تطبيق قوة F على الجسيم، ينتج عن المركبة العمودية فقط F⊥ عزم دوران . هذا العزم τ = r × F له مقدار τ = | r | | F⊥ | = | r | | F | sin θ ويتجه للخارج من الصفحة .

يمكن حساب عزم الدوران حول محور ما عن طريق ضرب القوة الخطية المطبقة عموديًا على الرافعة في المسافة بينها وبين نقطة ارتكاز الرافعة (طول ذراع الرافعة ).

لذلك، يتم تعريف عزم الدوران على أنه ناتج مقدار المكون العمودي للقوة ومسافة خط عمل القوة من النقطة التي يتم تحديدها حولها.

في ثلاثة أبعاد، يُعتبر عزم الدوران متجهًا زائفًا ؛ بالنسبة للجسيمات النقطية ، يُعطى بالضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة ومتجه القوة . يمكن تحديد اتجاه عزم الدوران باستخدام قاعدة اليد اليمنى : إذا كانت أصابع اليد اليمنى ملتفة من اتجاه ذراع العزم إلى اتجاه القوة، فإن الإبهام يشير إلى اتجاه عزم الدوران. [ 8 ] يترتب على ذلك أن متجه عزم الدوران عمودي على كل من متجهي الموضع والقوة ، ويحدد المستوى الذي يقع فيه المتجهان. يُحدد اتجاه متجه عزم الدوران الناتج بقاعدة اليد اليمنى . لذلك، فإن أي قوة موجهة بالتوازي مع متجه موضع الجسيم لا تُنتج عزم دوران. [ 9 ] [ 10 ] يعتمد مقدار عزم الدوران المطبق على جسم صلب على ثلاث كميات: القوة المطبقة، ومتجه ذراع العزم [ 11 ] الذي يربط النقطة التي يُقاس عندها عزم الدوران بنقطة تطبيق القوة، والزاوية بين متجهي القوة وذراع العزم. بالرموز:

τ=ر×F⟹τ=رF⊥=رFالخطيئة⁡θ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta }

أين

  • τ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}هو متجه العزم وτ{\displaystyle \tau }هي مقدار عزم الدوران؛
  • ر{\displaystyle \mathbf {r} }هو متجه الموضع (متجه من النقطة التي يتم قياس عزم الدوران حولها إلى النقطة التي يتم تطبيق القوة عليها)، و r هو مقدار متجه الموضع؛
  • F{\displaystyle \mathbf {F} }يمثل متجه القوة ، و F هو مقدار متجه القوة، و F ⊥ هو مقدار القوة الموجهة عموديًا على موضع الجسيم؛
  • ×{\displaystyle \times }يشير إلى الضرب الاتجاهي ، والذي ينتج عنه متجه عمودي على كل من r و F وفقًا لقاعدة اليد اليمنى ؛
  • θ{\displaystyle \theta }هي الزاوية بين متجه القوة ومتجه ذراع العزم.

وحدة قياس عزم الدوران في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن متر (N⋅m). لمزيد من المعلومات حول وحدات قياس عزم الدوران، انظر قسم  الوحدات .

العلاقة مع الزخم الزاوي

يحدد عزم الدوران الكلي المؤثر على الجسم معدل تغير الزخم الزاوي للجسم .

τ=دلدت{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}

أينل{\textstyle \mathbf {L} }هو متجه الزخم الزاوي وت{\textstyle t}هو الزمن. بالنسبة لحركة جسيم نقطي،

ل=أناω،{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}

أينأنا=مر2I=mr^2هو عزم القصور الذاتي وω{\textstyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}يمثل متجه السرعة الزاوية المدارية الزائف . ويترتب على ذلك أن

τنهـت=أنا1ω˙1هـ^1+أنا2ω˙2هـ^2+أنا3ω˙3هـ^3+أنا1ω1دهـ^1دت+أنا2ω2دهـ^2دت+أنا3ω3دهـ^3دت=أناω˙+ω×(أناω)// {\ أوميغا }} _ {3} {\ قبعة {\boldsymbol {e}}} _ {3}+I_ {1} \ أوميغا _ {1} {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\boldsymbol {e}}} _ {1}} {\ mathrm {d} t}}+I_ {2} \ أوميغا _ {2} {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\boldsymbol {e}}}_ {2}}{\mathrm {d} t}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\dot {\omega }}}+ {\boldsymbol {\omega }}\times (أنا{\boldsymbol {\أوميغا }})}

استخدام مشتقة المتجه هو دهـ^أنادت=ω×هـ^أنا{\displaystyle {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}} \over \mathrm {d} t}={\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}}} هذه المعادلة هي النظير الدوراني لقانون نيوتن الثاني للجسيمات النقطية، وهي صالحة لأي نوع من المسارات. في بعض الحالات البسيطة، مثل القرص الدوار، حيث يكون عزم القصور الذاتي على محور الدوران هو العامل الوحيد، يمكن تطبيق قانون نيوتن الثاني الدوراني.τ=أناα{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}}أينα=ω˙{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}}.

إثبات تكافؤ التعريفات

تعريف الزخم الزاوي لجسيم نقطي واحد هو: ل=ر×ص{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } حيث p هي الزخم الخطي للجسيم و r هو متجه الموضع من نقطة الأصل. المشتق الزمني لهذا هو:

دلدت=ر×دصدت+دردت×ص.$$ \mathbf {ص} .}

يمكن إثبات هذه النتيجة بسهولة بتقسيم المتجهات إلى مركباتها وتطبيق قاعدة الضرب . ولكن لأن معدل تغير الزخم الخطي هو القوةF{\textstyle \mathbf {F} }ومعدل تغير الموضع هو السرعةv{\textstyle \mathbf {v} }،

دلدت=ر×F+v×ص{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} }

حاصل الضرب الاتجاهي للزخمص{\displaystyle \mathbf {p} }وبسرعتها المصاحبةv{\displaystyle \mathbf {v} }يساوي صفرًا لأن السرعة والزخم متوازيان، لذا فإن الحد الثاني يتلاشى. وبالتالي، فإن عزم الدوران المؤثر على جسيم يساوي المشتقة الأولى لزخمه الزاوي بالنسبة للزمن. إذا طُبقت قوى متعددة، فإنه وفقًا لقانون نيوتن الثاني، ينتج أندلدت=ر×Fنهـت=τنهـت.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.}

هذا برهان عام للجسيمات النقطية، ولكن يمكن تعميمه على نظام من الجسيمات النقطية بتطبيق البرهان المذكور أعلاه على كل جسيم نقطي ثم جمع النتائج على جميع الجسيمات النقطية. وبالمثل، يمكن تعميم البرهان على كتلة متصلة بتطبيق البرهان المذكور أعلاه على كل نقطة داخل الكتلة، ثم إجراء التكامل على الكتلة بأكملها.

مشتقات عزم الدوران

في الفيزياء ، الدوران هو مشتق عزم الدوران بالنسبة للزمن [ 12 ]

P=دτدت،{\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}}{\mathrm {d} t}},}

حيث τ هو عزم الدوران.

هذه الكلمة مشتقة من الكلمة اللاتينية rotātus التي تعني "يدور". مصطلح rotatum ليس معترفًا به عالميًا، ولكنه شائع الاستخدام. لا يوجد معجم متفق عليه عالميًا للإشارة إلى المشتقات المتتالية لكلمة rotatum، على الرغم من وجود مقترحات مختلفة في بعض الأحيان.

باستخدام تعريف عزم الدوران بالضرب الاتجاهي، يكون التعبير البديل عن الدوران كما يلي:

P=ر×دFدت+دردت×F.{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {F} .}

لأن معدل تغير القوة هو قوة سحبY{\textstyle \mathbf {Y} }ومعدل تغير الموضع هو السرعةv{\textstyle \mathbf {v} }ويمكن تبسيط التعبير أكثر إلى:

P=ر×Y+v×F.{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times \mathbf {Y} +\mathbf {v} \times \mathbf {F} .}

العلاقة مع القوة والطاقة

يمكن أيضًا استخدام قانون حفظ الطاقة لفهم عزم الدوران. إذا سُمح لقوة ما بالتأثير عبر مسافة، فإنها تبذل شغلًا ميكانيكيًا . وبالمثل، إذا سُمح لعزم الدوران بالتأثير عبر إزاحة زاوية ، فإنه يبذل شغلًا. رياضيًا، بالنسبة للدوران حول محور ثابت يمر بمركز الكتلة ، يمكن التعبير عن الشغل W كما يلي:

دبليو=∫θ1θ2τ دθ،{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

حيث τ هو عزم الدوران، و θ 1 و θ 2 يمثلان (على التوالي) الوضعين الزاويين الابتدائي والنهائي للجسم. [ 13 ]

ويترتب على مبدأ الشغل والطاقة أن W يمثل أيضًا التغير في الطاقة الحركية الدورانية E <sub>r</sub> للجسم، والذي يُعطى بواسطة

هـر=12أناω2،{\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

حيث I هو عزم القصور الذاتي للجسم و ω هي سرعته الزاوية . [ 13 ]

القدرة هي الشغل لكل وحدة زمنية ، وتُعطى بالعلاقة التالية:

P=τ⋅ω،{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

حيث P هي القدرة، وτ هي عزم الدوران، وω هي السرعة الزاوية ، و⋅{\displaystyle \cdot }يمثل الضرب القياسي .

جبريًا، يمكن إعادة ترتيب المعادلة لحساب عزم الدوران لسرعة زاوية معينة وقدرة خرج محددة. تعتمد القدرة الناتجة عن عزم الدوران فقط على السرعة الزاوية اللحظية، وليس على ما إذا كانت السرعة الزاوية تزداد أو تنقص أو تبقى ثابتة أثناء تطبيق عزم الدوران (وهذا يكافئ الحالة الخطية حيث تعتمد القدرة الناتجة عن القوة فقط على السرعة اللحظية، وليس على التسارع الناتج، إن وجد).

دليل

الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة تؤثر على إزاحة خطية محدودةs{\displaystyle s}يتم حسابها عن طريق تكامل القوة بالنسبة للإزاحة الخطية الأساسيةدs{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }

دبليو=∫s1s2F⋅دs{\displaystyle W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }

ومع ذلك، فإن الإزاحة الخطية المتناهية الصغردs{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }يرتبط ذلك بإزاحة زاوية مقابلةدθ{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}ومتجه نصف القطرر{\displaystyle \mathbf {r} }مثل

دs=دθ×ر{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} }

بالتعويض عن العمل في التعبير أعلاه، نحصل على دبليو=∫s1s2F⋅دθ×ر{\displaystyle W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} }

التعبير الموجود داخل التكامل هو حاصل ضرب ثلاثي قياسيF⋅دθ×ر=ر×F⋅دθ{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}ولكن وفقًا لتعريف عزم الدوران، وبما أن معامل التكامل قد تغير من الإزاحة الخطية إلى الإزاحة الزاوية، فإن المعادلة تصبح

دبليو=∫θ1θ2τ⋅دθ{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}

إذا كان عزم الدوران والإزاحة الزاوية في نفس الاتجاه، فإن الضرب القياسي يختزل إلى ضرب مقادير؛ أيτ⋅دθ=|τ||دθ|كوس⁡0=τدθ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\left|{\boldsymbol {\tau }}\right|\left|\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\right|\cos 0=\tau \,\mathrm {d} \theta }أعطِ

دبليو=∫θ1θ2τدθ{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

مبدأ العزوم

ينص مبدأ العزوم، المعروف أيضًا باسم نظرية فارينيون (لا ينبغي الخلط بينها وبين النظرية الهندسية التي تحمل نفس الاسم)، على أن العزوم الناتجة عن عدة قوى مطبقة حول نقطة ما تساوي مجموع العزوم المساهمة:

τ=ر1×F1+ر2×F2+...+رشمال×Fشمال.{\displaystyle \tau =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.}

ويترتب على ذلك أن العزوم الناتجة عن عدد N من القوى المؤثرة حول محور على جسم ما تكون متوازنة عندما

ر1×F1+ر2×F2+...+رشمال×Fشمال=0.{\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}=\mathbf {0} .}

الوحدات

تشير المراجع الرسمية للنظام الدولي للوحدات (SI) إلى أن نيوتن-متر هو الوحدة القياسية لعزم الدوران، ويُرمز له عادةً بـ N⋅m؛ على الرغم من أن هذه الوحدة مكافئة بُعديًا للجول ، الذي لا يُستخدم لقياس عزم الدوران. [ 14 ] [ 15 ] في حالة عزم الدوران، تُخصص الوحدة لمتجه ، بينما في حالة الطاقة ، تُخصص لمقدار قياسي . هذا يعني أن التكافؤ البُعدي بين نيوتن-متر والجول ينطبق على الحالة الأولى، ولكنه لا ينطبق على الحالة الثانية. تُعالج هذه المشكلة في التحليل الاتجاهي ، الذي يتعامل مع الراديان كوحدة أساسية وليس كوحدة لا بُعدية. [ 16 ] يُقاس عزم الدوران بضرب القوة في المسافة ، ويُرمز له بـ T −2 L 2 M ، وهذه الأبعاد الأساسية هي نفسها أبعاد الطاقة أو الشغل .

الوحدات الإمبراطورية التقليدية لعزم الدوران هي رطل -قدم (lbf-ft)، أو رطل-بوصة (lbf-in) للقيم الصغيرة. في الولايات المتحدة، يُشار إلى عزم الدوران عادةً بالقدم -رطل (يُرمز له إما بـ lb-ft أو ft-lb) والبوصة -رطل (يُرمز له بـ in-lb). [ 17 ] [ 18 ] يعتمد الممارسون على السياق والواصلة في الاختصار لمعرفة أن هذه الوحدات تشير إلى عزم الدوران وليس إلى الطاقة أو عزم الكتلة (كما يوحي الرمز ft-lb).

التحويل إلى وحدات أخرى

قد يكون من الضروري استخدام معامل تحويل عند استخدام وحدات مختلفة للقدرة أو العزم. على سبيل المثال، إذا استُخدمت السرعة الدورانية (وحدتها: دورة في الدقيقة أو الثانية) بدلاً من السرعة الزاوية (وحدتها: راديان في الثانية)، فيجب الضرب في 2π راديان لكل دورة. في الصيغ التالية، P هي القدرة، وτ هو العزم، و ν ( الحرف اليوناني نيو ) هي السرعة الدورانية.

P=τ⋅2π⋅ν{\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

عرض الوحدات:

Pدبليو=τشمال⋅م⋅2πرأد/رهـv⋅νرهـv/s{\displaystyle P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/s}}}

القسمة على 60 ثانية في الدقيقة تعطينا النتيجة التالية.

Pدبليو=τشمال⋅م⋅2πرأد/رهـv⋅νرهـv/مأنان60 s/مأنان{\displaystyle P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{\rm {60~s/min}}}}

حيث تكون سرعة الدوران بالوحدات الدورانية في الدقيقة (rpm، rev/min).

يستخدم بعض الأشخاص (مثل مهندسي السيارات الأمريكيين) القدرة الحصانية (الميكانيكية) للقوة، وعزم الدوران (رطل-قدم)، وسرعة الدوران (دورة في الدقيقة). وينتج عن ذلك تغيير الصيغة إلى:

Pحص=τلبو⋅وت⋅2πرأد/رهـv⋅νرهـv/مأنان33،٠٠٠.{\displaystyle P_{\rm {hp}}={\frac {\tau _{\rm {lbf{\cdot }ft}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{33,000}}.}

الثابت أدناه (بالقدم-رطل في الدقيقة) يتغير بتغير تعريف القدرة الحصانية؛ على سبيل المثال، باستخدام القدرة الحصانية المترية، يصبح حوالي 32550.

إن استخدام وحدات أخرى (مثل وحدة حرارية بريطانية في الساعة للطاقة) سيتطلب عامل تحويل مخصص مختلف.

الاشتقاق

بالنسبة لجسم دوار، فإن المسافة الخطية التي يقطعها على محيط الدوران تساوي حاصل ضرب نصف القطر في الزاوية التي يقطعها. أي: المسافة الخطية = نصف القطر × المسافة الزاوية. وبحسب التعريف، فإن المسافة الخطية = السرعة الخطية × الزمن = نصف القطر × السرعة الزاوية × الزمن.

بحسب تعريف العزم: العزم = نصف القطر × القوة. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على: القوة = العزم ÷ نصف القطر. يمكن استخدام هاتين القيمتين في تعريف القدرة .

قوة=قوة⋅المسافة الخطيةوقت=(عزم الدورانر)⋅(ر⋅السرعة الزاوية⋅ت)ت=عزم الدوران⋅السرعة الزاوية.{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}}

تم حذف نصف القطر r والزمن t من المعادلة. مع ذلك، يجب أن تكون السرعة الزاوية بالراديان لكل وحدة زمنية، وذلك بناءً على العلاقة المباشرة المفترضة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية في بداية الاشتقاق. إذا قُيست السرعة الدورانية بالدورات لكل وحدة زمنية، فإن السرعة الخطية والمسافة تزدادان تناسبياً بمقدار 2π في الاشتقاق أعلاه، ليصبح الناتج:

قوة=عزم الدوران⋅2π⋅سرعة الدوران.{\displaystyle {\text{power}}={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}.\,}

إذا كانت قيمة عزم الدوران مُقاسةً بوحدة نيوتن-متر وسرعة الدوران بوحدة دورة في الثانية، فإن المعادلة أعلاه تُعطي القدرة بوحدة نيوتن-متر في الثانية أو بالواط. أما إذا استُخدمت الوحدات الإمبراطورية، وكانت قيمة عزم الدوران مُقاسةً بوحدة رطل-قدم وسرعة الدوران بوحدة دورة في الدقيقة، فإن المعادلة أعلاه تُعطي القدرة بوحدة رطل-قدم في الدقيقة. ويمكن اشتقاق صيغة القدرة الحصانية للمعادلة بتطبيق معامل التحويل 33000  رطل-قدم في الدقيقة لكل حصان.

قوة=عزم الدوران⋅2π⋅سرعة الدوران⋅قدم⋅رطلمين⋅قوة حصانية33،٠٠٠⋅قدم⋅رطلمين≈عزم الدوران⋅عدد دورات المحرك في الدقيقة5،252{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}\cdot {\frac {{\text{ft}}{\cdot }{\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{horsepower}}{33,\!000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\[6pt]&\approx {\frac {{\text{torque}}\cdot {\text{RPM}}}{5,\!252}}\end{aligned}}}

لأن5252.113122≈33،٠٠٠2π.{\displaystyle 5252.113122\approx {\frac {33,\!000}{2\pi }}.\,}

حالات خاصة وحقائق أخرى

صيغة ذراع العزم

مخطط ذراع العزم

تتمثل الحالة الخاصة المفيدة للغاية، والتي غالباً ما تُعطى كتعريف لعزم الدوران في مجالات أخرى غير الفيزياء، فيما يلي:

τ=(ذراع اللحظة)(قوة).{\displaystyle \tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).}

يوضح الشكل على اليمين كيفية حساب "ذراع العزم"، بالإضافة إلى المتجهين r و F المذكورين سابقًا. تكمن مشكلة هذا التعريف في أنه لا يحدد اتجاه العزم، بل مقداره فقط، ولذا يصعب استخدامه في الحالات ثلاثية الأبعاد. إذا كانت القوة عمودية على متجه الإزاحة r ، فإن ذراع العزم يساوي المسافة إلى المركز، ويكون العزم في أقصى قيمة له بالنسبة للقوة المؤثرة. معادلة مقدار العزم الناتج عن قوة عمودية هي:

τ=(المسافة إلى المركز)(قوة).{\displaystyle \tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).}

على سبيل المثال، إذا قام شخص بوضع قوة مقدارها 10  نيوتن عند الطرف النهائي لمفتاح ربط  طوله 0.5 متر (أو قوة مقدارها 10  نيوتن تعمل على بعد 0.5  متر من نقطة الالتواء لمفتاح ربط من أي طول)، فسيكون عزم الدوران 5  نيوتن متر - بافتراض أن الشخص يحرك مفتاح الربط عن طريق تطبيق قوة في مستوى الحركة وعمودية على مفتاح الربط.

يُحدث عزم الدوران الناتج عن القوتين المتعاكستين Fg و -Fg تغييراً في الزخم الزاوي L في اتجاه عزم الدوران هذا. وهذا ما يجعل الجسم يدور حول محوره .

التوازن الساكن

لكي يكون الجسم في حالة اتزان سكوني ، لا يكفي أن يكون مجموع القوى المؤثرة عليه صفرًا، بل يجب أن يكون مجموع العزوم (أو عزم الدوران) حول أي نقطة فيه صفرًا أيضًا. في حالة ثنائية الأبعاد مع وجود قوى أفقية ورأسية، يُشترط أن يكون مجموع القوى معادلتين: ΣH = 0 و ΣV = 0 ، بينما يُشترط أن يكون العزم معادلة ثالثة: Στ = 0. أي أنه لحل مسائل الاتزان المحددة سكونيًا في بعدين، تُستخدم ثلاث معادلات.

القوة المحصلة مقابل عزم الدوران

عندما تكون محصلة القوى المؤثرة على النظام صفرًا، يكون عزم الدوران المقاس من أي نقطة في الفضاء متساويًا. على سبيل المثال، يكون عزم الدوران على حلقة تحمل تيارًا كهربائيًا في مجال مغناطيسي منتظم متساويًا بغض النظر عن نقطة القياس. إذا كانت محصلة القوىF{\displaystyle \mathbf {F} }ليس صفرًا، وτ1{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}}هل يتم قياس عزم الدوران منر1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}ثم يتم قياس عزم الدوران منر2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}يكون τ2=τ1+(ر2-ر1)×F{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\times \mathbf {F} }

عزم دوران الآلة

منحنى عزم الدوران لدراجة نارية ("BMW K 1200 R 2005"). يوضح المحور الأفقي سرعة دوران عمود المرفق ( بالدورة في الدقيقة ) ، بينما يمثل المحور الرأسي عزم الدوران ( بالنيوتن متر ) الذي يمكن للمحرك توفيره عند تلك السرعة.

يُعدّ عزم الدوران جزءًا من المواصفات الأساسية للمحرك : تُعبّر قدرة المحرك عن عزم دورانه مضروبًا في السرعة الزاوية لعمود الدوران. تُنتج محركات الاحتراق الداخلي عزم دوران مفيدًا ضمن نطاق محدود من سرعات الدوران (عادةً من 1000 إلى 6000 دورة في الدقيقة تقريبًا للسيارات الصغيرة). يُمكن قياس عزم الدوران المتغير ضمن هذا النطاق باستخدام جهاز قياس عزم الدوران ، وعرضه كمنحنى عزم دوران. تميل محركات البخار والمحركات الكهربائية إلى إنتاج أقصى عزم دوران بالقرب من الصفر دورة في الدقيقة، مع تناقص عزم الدوران مع ازدياد سرعة الدوران (بسبب زيادة الاحتكاك وعوامل أخرى). تستطيع محركات البخار الترددية والمحركات الكهربائية بدء تشغيل أحمال ثقيلة من الصفر دورة في الدقيقة دون الحاجة إلى قابض . 

عمليًا، يمكن ملاحظة العلاقة بين القدرة وعزم الدوران في الدراجات الهوائية : تتكون الدراجات عادةً من عجلتين، وتروس أمامية وخلفية (تُعرف باسم المسننات ) تتعشق مع سلسلة ، وآلية مُبدِّل السرعات إذا كان نظام نقل الحركة في الدراجة يسمح باستخدام نسب تروس متعددة (أي دراجة متعددة السرعات )، وكلها مُثبتة على الإطار . يُوفر راكب الدراجة القدرة المُدخلة عن طريق تدوير الدواسات، وبالتالي يُدير المسنن الأمامي (المعروف باسم حلقة السلسلة ). تُساوي القدرة المُدخلة التي يُوفرها راكب الدراجة حاصل ضرب السرعة الزاوية (أي عدد دورات الدواسة في الدقيقة مضروبًا في 2π ) وعزم الدوران عند محور مجموعة التروس الأمامية للدراجة . ينقل نظام نقل الحركة في الدراجة القدرة المُدخلة إلى العجلة الأمامية ، التي بدورها تنقل القدرة المُستقبلة إلى الطريق كقدرة خرج للدراجة. بحسب نسبة تروس الدراجة، يتم تحويل زوج المدخلات (عزم الدوران، السرعة الزاوية) إلى زوج المخرجات (عزم الدوران، السرعة الزاوية) . باستخدام ترس خلفي أكبر، أو بالتحويل إلى ترس أقل في الدراجات متعددة السرعات، تنخفض السرعة الزاوية لعجلات الطريق بينما يزداد عزم الدوران، الذي لا يتغير ناتجه (أي القدرة).

مضاعف عزم الدوران

يمكن مضاعفة عزم الدوران بثلاث طرق: عن طريق تحديد موضع نقطة الارتكاز بحيث يزداد طول الرافعة؛ أو باستخدام رافعة أطول؛ أو باستخدام مجموعة تروس أو علبة تروس لتخفيض السرعة . تعمل هذه الآلية على مضاعفة عزم الدوران، حيث يتم تقليل معدل الدوران.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سيرواي، آر إيه وجويت، جيه دبليو الابن (2003). الفيزياء للعلماء والمهندسين . الطبعة السادسة. بروكس كول. رقم ISBN 0-534-40842-7.
  2. ↑ كتاب الفيزياء للهندسة، تأليف هندريكس، وسوبراموني، وفان بليرك، تشينابي، صفحة ١٤٨، رابط ويب مؤرشف بتاريخ ١١ يوليو ٢٠١٧ على موقع Wayback Machine
  3. ↑ تومسون، جيمس؛ لارمور، جوزيف (1912). أوراق بحثية مجمعة في الفيزياء والهندسة . مطبعة الجامعة. ص. مدني. 
  4. 1 2 تومسون، سيلفانوس فيليبس (1893). الآلات الكهربائية الديناميكية: دليل لطلاب الهندسة الكهربائية ( الطبعة الرابعة). نيويورك، دار نشر هارفارد. ص 108.  
  5. 1 2 "عزم الدوران" . قاموس أكسفورد الإنجليزي . 1933.
  6. ↑ كين، تي آر كين ودي إيه ليفينسون (1985). الديناميكا، النظرية والتطبيقات، الصفحات 90-99: تحميل مجاني . مؤرشف بتاريخ 19-06-2015 على موقع Wayback Machine .
  7. ^ بواسون، سيمون دينيس (1811). سمة ميكانيكية، المجلد الأول . ص. 67 . 
  8. ↑ "قاعدة اليد اليمنى لعزم الدوران" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-08-2007 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 08-09-2007 .
  9. ↑ هاليداي، ديفيد؛ ريسنيك، روبرت (1970). أساسيات الفيزياء . جون وايلي وأولاده. ص 184-185 . 
  10. ↑ نايت، راندال؛ جونز، برايان؛ فيلد، ستيوارت (2016). فيزياء الكلية: منهج استراتيجي (الطبعة الثالثة المحدثة تقنيًا ). بوسطن: بيرسون. ص 199. ISBN   9780134143323. OCLC 922464227 . 
  11. ↑ تيبلر، بول (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين: الميكانيكا، والتذبذبات والأمواج، والديناميكا الحرارية (الطبعة الخامسة ). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN  0-7167-0809-4.
  12. ↑ كومار، شيتيج؛ سافور، جلال؛ شاهين، فرات (2021). "دراسة استقصائية حول التعاون بين الإنسان والروبوت في البيئات الصناعية: الوعي والذكاء والامتثال" . معاملات IEEE في الأنظمة والإنسان وعلم التحكم الآلي: الأنظمة . 51 : 280-297 . doi : 10.1109/TSMC.2020.3041231 .
  13. 1 2 كليبنر، دانيال؛ كولينكو، روبرت (1973). مقدمة في الميكانيكا . ماكجرو هيل. ص 267-268 . ISBN  9780070350489.
  14. ↑ من الموقع الرسمي للنظام الدولي للوحدات (SI)، مؤرشف بتاريخ 19 أبريل 2021 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ، النظام الدولي للوحدات - الطبعة التاسعة - النص باللغة الإنجليزية، القسم 2.3.4: "على سبيل المثال، عزم الدوران هو حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع ومتجه القوة. وحدة النظام الدولي للوحدات هي نيوتن متر. على الرغم من أن عزم الدوران له نفس بُعد الطاقة (وحدة النظام الدولي للوحدات هي الجول)، إلا أن الجول لا يُستخدم أبدًا للتعبير عن عزم الدوران."
  15. ↑ "كتيب النظام الدولي للوحدات، الإصدار 9، القسم 2.3.4" (ملف PDF) . المكتب الدولي للأوزان والمقاييس. 2019. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 26 يوليو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2020 .
  16. ↑ بيج، تشيستر هـ. (1979). "رد على كتاب دي بوير 'خصائص المجموعات للكميات والوحدات'"". المجلة الأمريكية للفيزياء . 47 (9): 820. Bibcode : 1979AmJPh..47..820P . doi : 10.1119/1.11704 .
  17. ↑ "مفاتيح عزم الدوران ذات القرص الدوار من غراينجر" . غراينجر. 2020.إثبات أن نطاقات عزم الدوران، كما هو الحال في معظم البيئات الصناعية الأمريكية، يتم إعطاؤها بوحدة قدم-رطل بدلاً من رطل-قدم.
  18. ↑ إيرجافيك، جاك (22 يناير 2010). ناقلات الحركة اليدوية ومحاور نقل الحركة: دليل الفصل الدراسي . سينجايج ليرنينج. ص 38. ISBN  978-1-4354-3933-7.