خطأ التقريب

نظام الأعداد العشرية${\displaystyle F}$يتميز بـ${\displaystyle 4}$الأعداد الصحيحة:

• ${\displaystyle \beta }$: القاعدة أو الجذر
• ${\displaystyle p}$: دقة
• ${\displaystyle [L,U]}$نطاق الأس، حيث${\displaystyle L}$هو الحد الأدنى و${\displaystyle U}$هو الحد الأعلى

أي${\displaystyle x\in F}$له الشكل التالي: $${\displaystyle x=\pm (\underbrace {d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}} _{\text{significand}})_{\beta }\times \beta ^{\overbrace {E} ^{\text{exponent}}}=\pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots +d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}}$$ أين${\displaystyle d_{i}}$هو عدد صحيح بحيث${\displaystyle 0\leq d_{i}\leq \beta -1}$ل${\displaystyle i=0,1,\ldots ,p-1}$، و${\displaystyle E}$هو عدد صحيح بحيث${\displaystyle L\leq E\leq U}$.

• يُعتبر نظام الأعداد العشرية مُعَيَّراً إذا كان الرقم الأول${\displaystyle d_{0}}$تكون دائمًا غير صفرية ما لم يكن العدد صفرًا. ^{[ 3 ]} بما أن الجزء الدال هو${\displaystyle d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}}$، الجزء الدال لعدد غير صفري في نظام معياري يحقق${\displaystyle 1\leq {\text{significand}}<\beta ^{p}}$وبالتالي، فإن الشكل المعياري لعدد الفاصلة العائمة غير الصفري وفقًا لمعيار IEEE هو${\displaystyle \pm 1.bb\ldots b\times 2^{E}}$أين${\displaystyle b\in {0,1}}$في النظام الثنائي، يكون الرقم الأول دائمًا${\displaystyle 1}$لذا لا يتم كتابتها وتُسمى البت الضمني. وهذا يُضيف بتًا إضافيًا من الدقة، مما يُقلل من خطأ التقريب الناتج عن خطأ التمثيل.
• منذ نظام الأعداد العشرية${\displaystyle F}$بما أن الأعداد الحقيقية محدودة ومنفصلة، ​​فلا يمكنها تمثيل جميع الأعداد الحقيقية، مما يعني أن الأعداد الحقيقية اللانهائية لا يمكن تقريبها إلا بأعداد محدودة باستخدام قواعد التقريب . التقريب العشري لعدد حقيقي معين${\displaystyle x}$بواسطة${\displaystyle fl(x)}$يمكن الإشارة إليه.
  • العدد الإجمالي للأعداد العشرية المعيارية هو$${\displaystyle 2(\beta -1)\beta ^{p-1}(U-L+1)+1,}$$أين
    • ${\displaystyle 2}$يُؤخذ في الاعتبار اختيار الإشارة، سواء كانت موجبة أو سالبة.
    • ${\displaystyle (\beta -1)}$يتم احتساب اختيار الرقم الأول
    • ${\displaystyle \beta ^{p-1}}$عدد الأرقام المعنوية المتبقية
    • ${\displaystyle U-L+1}$اختيار الأسس
    • ${\displaystyle 1}$يحسب الحالة عندما يكون الرقم${\displaystyle 0}$.

في معيار IEEE، الأساس هو النظام الثنائي، أي${\displaystyle \beta =2}$ويتم استخدام التطبيع. يخزن معيار IEEE الإشارة والأس والمعامل في حقول منفصلة ضمن كلمة الفاصلة العائمة، ولكل منها عرض ثابت (عدد بتات). أكثر مستويين شيوعًا للدقة في أعداد الفاصلة العائمة هما الدقة المفردة والدقة المزدوجة.

لنفترض استخدام تقريب الأرقام إلى أقرب عدد صحيح ودقة IEEE المزدوجة.

مثال: العدد العشري${\displaystyle (9.4)_{10}=(1001.{\overline {0110}})_{2}}$يمكن إعادة ترتيبها إلى$${\displaystyle +1.\underbrace {0010110011001100110011001100110011001100110011001100} _{\text{52 bits}}110\ldots \times 2^{3}}$$ بما أن البت رقم 53 على يمين الفاصلة الثنائية هو 1، ويتبعه بتات أخرى غير صفرية، فإن قاعدة التقريب لأقرب عدد صحيح تتطلب التقريب لأعلى، أي إضافة بت واحد إلى البت رقم 52. وبالتالي، فإن تمثيل الفاصلة العائمة المعياري في معيار IEEE 9.4 هو $${\displaystyle \operatorname {fl} (9.4)=1.00101100110011001100110011001100110011001100110011001101\times 2^{3}.}$$

الآن، يمكن حساب خطأ التقريب عند تمثيل${\displaystyle 9.4}$مع${\displaystyle \operatorname {fl} (9.4)}$يتم اشتقاق هذا التمثيل عن طريق تجاهل الذيل اللانهائي$${\displaystyle 0.{\overline {1100}}\times 2^{-52}\times 2^{3}=0.{\overline {0110}}\times 2^{-51}\times 2^{3}=0.4\times 2^{-48}}$$ من الذيل الأيمن ثم تمت إضافته${\displaystyle 1\times 2^{-52}\times 2^{3}=2^{-49}}$في خطوة التقريب. ثم${\displaystyle \operatorname {fl} (9.4)=9.4-0.4\times 2^{-48}+2^{-49}=9.4+(0.2)_{10}\times 2^{-49}.}$وبالتالي، فإن خطأ التقريب هو${\displaystyle (0.2\times 2^{-49})_{10}}$.

آلة إبسيلون${\displaystyle \epsilon _{\text{mach}}}$يمكن استخدام هذه الطريقة لقياس مستوى خطأ التقريب عند استخدام قاعدتي التقريب المذكورتين أعلاه. فيما يلي الصيغ والبرهان المقابل. ^{[ 3 ]} يُستخدم هنا التعريف الأول لمعامل إبسيلون الآلي.

تتضمن عملية الجمع الآلي محاذاة الفواصل العشرية للعددين المراد جمعهما، ثم جمعهما، ثم تخزين النتيجة كعدد عشري. يمكن إجراء عملية الجمع بدقة أعلى، ولكن يجب تقريب النتيجة إلى الدقة المطلوبة، مما قد يؤدي إلى خطأ في التقريب. ^{[ 3 ]}

• على سبيل المثال، إضافة${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle 2^{-53}}$في معيار IEEE للدقة المزدوجة كما يلي،${\displaystyle {\begin{aligned}1.00\ldots 0\times 2^{0}+1.00\ldots 0\times 2^{-53}&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}+0.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}\\&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}.\end{aligned}}}$تم حفظ هذا باسم${\displaystyle 1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}}$بما أن معيار IEEE يستخدم طريقة التقريب إلى أقرب عدد صحيح. لذلك،${\displaystyle 1+2^{-53}}$يساوي${\displaystyle 1}$في معيار IEEE للدقة المزدوجة، يكون خطأ التقريب هو${\displaystyle 2^{-53}}$.

يُبيّن هذا المثال إمكانية حدوث خطأ التقريب عند جمع عدد كبير مع عدد صغير. إذ يؤدي تحريك الفواصل العشرية في الأرقام المعنوية لمطابقة الأسس إلى فقدان بعض الأرقام الأقل أهمية. ويمكن وصف فقدان الدقة هذا بالامتصاص . ^{[ 11 ]}

لاحظ أن جمع عددين من الأرقام العشرية يمكن أن ينتج عنه خطأ في التقريب عندما يكون مجموعهما أكبر بمقدار رتبة من مجموع العدد الأكبر من العددين.

• على سبيل المثال، ضع في اعتبارك نظام أعداد الفاصلة العائمة المعياري ذو الأساس${\displaystyle 10}$والدقة${\displaystyle 2}$. ثم${\displaystyle fl(62)=6.2\times 10^{1}}$و${\displaystyle fl(41)=4.1\times 10^{1}}$. لاحظ أن${\displaystyle 62+41=103}$لكن${\displaystyle fl(103)=1.0\times 10^{2}}$يوجد خطأ تقريب مقداره${\displaystyle 103-fl(103)=3}$.

يمكن أن يحدث هذا النوع من الأخطاء جنبًا إلى جنب مع خطأ الامتصاص في عملية واحدة.

بشكل عام، يحتوي حاصل ضرب عددين معنويين مكونين من p خانة على ما يصل إلى 2p خانة، لذا قد لا تتسع النتيجة في العدد المعنوي. ^{[ 3 ]} وبالتالي، ستكون هناك أخطاء تقريب في النتيجة.

• على سبيل المثال، لنفترض نظام أعداد عائمة معياري ذو أساس${\displaystyle \beta =10}$والأرقام المعنوية هي على الأكثر${\displaystyle 2}$. ثم${\displaystyle fl(77)=7.7\times 10^{1}}$و${\displaystyle fl(88)=8.8\times 10^{1}}$. لاحظ أن${\displaystyle 77\times 88=6776}$لكن${\displaystyle fl(6776)=6.7\times 10^{3}}$حيث أن هناك على الأكثر${\displaystyle 2}$الأرقام المعنوية. سيكون خطأ التقريب هو${\displaystyle 6776-fl(6776)=6776-6.7\times 10^{3}=76}$.

بشكل عام، قد يحتوي ناتج قسمة الأرقام المعنوية المكونة من 2p رقم على أكثر من p رقم. وبالتالي، ستكون هناك أخطاء تقريب في النتيجة.

• على سبيل المثال، إذا كان نظام الأعداد العشرية المعياري المذكور أعلاه لا يزال قيد الاستخدام، فإن${\displaystyle 1/3=0.333\ldots }$لكن${\displaystyle fl(1/3)=fl(0.333\ldots )=3.3\times 10^{-1}}$إذن، الذيل${\displaystyle 0.333\ldots -3.3\times 10^{-1}=0.00333\ldots }$انقطع الاتصال.

ينطبق الامتصاص أيضاً على الطرح.

• على سبيل المثال، طرح${\displaystyle 2^{-60}}$من${\displaystyle 1}$في معيار IEEE للدقة المزدوجة كما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}1.00\ldots 0\times 2^{0}-1.00\ldots 0\times 2^{-60}&=\underbrace {1.00\ldots 0} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}-\underbrace {0.00\ldots 01} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}\\&=\underbrace {0.11\ldots 1} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}.\end{aligned}}}$$تم حفظ هذا باسم${\displaystyle \underbrace {1.00\ldots 0} _{\text{53 bits}}\times 2^{0}}$بما أن معيار IEEE يستخدم طريقة التقريب إلى أقرب عدد صحيح. لذلك،${\displaystyle 1-2^{-60}}$يساوي${\displaystyle 1}$في معيار IEEE للدقة المزدوجة، يكون خطأ التقريب هو${\displaystyle -2^{-60}}$.

يُطلق على طرح عددين متساويين تقريبًا اسم الحذف الطرحي . ^{[ 3 ]} عند حذف الأرقام الأولى، قد تكون النتيجة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن تمثيلها بدقة، وسيتم تمثيلها ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle 0}$.

• على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle |\epsilon |<\epsilon _{\text{mach}}}$ويُستخدم هنا التعريف الثاني لمعامل إبسيلون للآلة. ما هو الحل؟${\displaystyle (1+\epsilon )-(1-\epsilon )}$من المعروف أن${\displaystyle 1+\epsilon }$و${\displaystyle 1-\epsilon }$أعدادها متقاربة، و${\displaystyle (1+\epsilon )-(1-\epsilon )=1+\epsilon -1+\epsilon =2\epsilon }$ومع ذلك، في نظام الأعداد العشرية،${\displaystyle fl((1+\epsilon )-(1-\epsilon ))=fl(1+\epsilon )-fl(1-\epsilon )=1-1=0}$. بالرغم من${\displaystyle 2\epsilon }$وهي كبيرة بما يكفي لتمثيلها بسهولة، كلا الحالتين من${\displaystyle \epsilon }$تم تقريبها بعيدًا${\displaystyle 0}$.

حتى مع حجم أكبر إلى حد ما${\displaystyle \epsilon }$لا تزال النتيجة غير موثوقة إلى حد كبير في الحالات الاعتيادية. ولا يوجد ثقة كبيرة في دقة القيمة لأن أكبر قدر من عدم اليقين في أي عدد عشري يكمن في الأرقام الموجودة في أقصى اليمين.

• على سبيل المثال،${\displaystyle 1.99999\times 10^{2}-1.99998\times 10^{2}=0.00001\times 10^{2}=1\times 10^{-5}\times 10^{2}=1\times 10^{-3}}$النتيجة${\displaystyle 1\times 10^{-3}}$من الواضح أنه قابل للتمثيل، ولكن لا يوجد الكثير من الثقة فيه.

يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بظاهرة الإلغاء الكارثي ، حيث يُعرف أن الرقمين هما تقريبيان.

تُسمى الخوارزمية أو العملية العددية مستقرة إذا أدت التغييرات الطفيفة في المدخلات إلى تغييرات طفيفة فقط في المخرجات، وغير مستقرة إذا أدت إلى تغييرات كبيرة في المخرجات. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، حساب${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x}}-1}$إن استخدام الطريقة "الواضحة" غير مستقر بالقرب من${\displaystyle x=0}$بسبب الخطأ الكبير الناتج عن طرح كميتين متشابهتين، في حين أن التعبير المكافئ${\displaystyle \textstyle {f(x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x}}+1}}}}$مستقر. ^{[ 12 ]}

حتى في حالة استخدام خوارزمية مستقرة، قد يظل حل المشكلة غير دقيق بسبب تراكم خطأ التقريب عندما تكون المشكلة نفسها سيئة التكييف .

رقم حالة المسألة هو نسبة التغير النسبي في الحل إلى التغير النسبي في المدخلات. ^{[ 3 ]} تكون المسألة جيدة الحالة إذا أدت التغيرات النسبية الصغيرة في المدخلات إلى تغيرات نسبية صغيرة في الحل. وإلا، تكون المسألة سيئة الحالة . ^{[ 3 ]} بعبارة أخرى، تكون المسألة سيئة الحالة إذا كان رقم حالتها "أكبر بكثير" من 1.

يُستخدم رقم الحالة كمقياس لأخطاء التقريب التي يمكن أن تنتج عند حل المسائل سيئة التكييف. ^{[ 7 ]}