التكميم (معالجة الإشارات)

يمكن نمذجة محول الإشارة التناظرية إلى الرقمية (ADC) على أنه عمليتان: أخذ العينات والتكميم. تحوّل عملية أخذ العينات إشارة جهد متغيرة مع الزمن إلى إشارة زمنية منفصلة ، ​​وهي عبارة عن سلسلة من الأعداد الحقيقية. أما عملية التكميم فتستبدل كل عدد حقيقي بقيمة تقريبية من مجموعة محدودة من القيم المنفصلة. في أغلب الأحيان، تُمثَّل هذه القيم المنفصلة بكلمات ذات فاصلة ثابتة. على الرغم من إمكانية استخدام أي عدد من مستويات التكميم، فإن أطوال الكلمات الشائعة هي 8 بت (256 مستوى)، و16 بت (65536 مستوى)، و24 بت (16.8  مليون مستوى). ينتج عن تكميم سلسلة من الأعداد سلسلة من أخطاء التكميم، والتي تُنمذج أحيانًا كإشارة عشوائية مضافة تُسمى ضوضاء التكميم نظرًا لسلوكها العشوائي . كلما زاد عدد المستويات التي يستخدمها المُكمِّم، انخفضت قدرة ضوضاء التكميم.

يُستخدم التكميم المُحسَّن لمعدل التشوه في ترميز المصدر لخوارزميات ضغط البيانات مع فقدان البيانات، حيث يهدف إلى إدارة التشوه ضمن حدود معدل البتات الذي تدعمه قناة الاتصال أو وسيط التخزين. يتضمن تحليل التكميم في هذا السياق دراسة كمية البيانات (التي تُقاس عادةً بالأرقام أو البتات أو معدل البتات ) المستخدمة لتمثيل مخرجات المُكمِّم، ودراسة فقدان الدقة الناتج عن عملية التكميم (والذي يُشار إليه بالتشوه ) .

يمكن تصنيف معظم مُكمِّمات البيانات المُوَقَّعة الموحدة إلى نوعين: مُكمِّمات متوسطة الارتفاع ومُكمِّمات متوسطة الدرجات . يعتمد هذا التصنيف على ما يحدث في المنطقة المحيطة بالقيمة صفر، ويستخدم تشبيه دالة ^{الإدخال والإخراج} للمُكمِّم بدرج . تتميز مُكمِّمات ^...

تتضمن عملية التكميم في منتصف المداس التقريب. ترد صيغ التكميم الموحد في منتصف المداس في القسم السابق.

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$،

تتضمن عملية التكميم في منتصف الارتفاع عملية اقتطاع. وتُعطى صيغة الإدخال والإخراج لمكمّم موحد في منتصف الارتفاع كما يلي:

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left(\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}\right\rfloor +{\frac {1}{2}}\right)}$،

حيث يتم تحديد قاعدة التصنيف بواسطة

${\displaystyle k=\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}\right\rfloor }$

وقاعدة إعادة البناء هي

${\displaystyle y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}$.

لاحظ أن مُكمِّمات الطور الموحد لا تُنتج قيمة خرج صفرية، إذ يبلغ الحد الأدنى لقيمة خرجها نصف حجم الخطوة. في المقابل، تُنتج مُكمِّمات الطور المتوسط ​​قيمة خرج صفرية. في بعض التطبيقات، قد يكون تمثيل إشارة الخرج الصفرية ضروريًا.

بشكل عام، قد لا يكون مُكمِّم الارتفاع المتوسط ​​أو مُكمِّم المداس المتوسط ​​مُكمِّمًا موحدًا ، أي أن حجم فترات تصنيف المُكمِّم قد لا يكون متساويًا، أو أن المسافة بين قيم الإخراج المُحتملة قد لا تكون متساوية. السمة المميزة لمُكمِّم الارتفاع المتوسط ​​هي أن قيمة عتبة التصنيف فيه تساوي صفرًا تمامًا، والسمة المميزة لمُكمِّم المداس المتوسط ​​هي أن قيمة إعادة البناء فيه تساوي صفرًا تمامًا. ^{[ 9 ]}

مُكمِّم المنطقة الميتة هو نوع من مُكمِّمات منتصف المسار، يتميز بسلوك متناظر حول الصفر. تُعرف المنطقة المحيطة بقيمة الخرج الصفرية لهذا المُكمِّم بالمنطقة الميتة أو النطاق الميت . قد تؤدي المنطقة الميتة أحيانًا نفس وظيفة بوابة الضوضاء أو وظيفة كتم الضوضاء . خاصةً في تطبيقات الضغط، قد يُحدد عرض المنطقة الميتة بشكل مختلف عن عرض الخطوات الأخرى. أما بالنسبة للمُكمِّمات المنتظمة، فيمكن ضبط عرض المنطقة الميتة على أي قيمة.${\displaystyle w}$باستخدام قاعدة التكميم الأمامي ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)}$،

حيث الدالة${\displaystyle \operatorname {sgn} }$(  ) هي دالة الإشارة (المعروفة أيضًا بدالة الإشارة ). تُعطى قاعدة إعادة البناء العامة لمثل هذا المُكمِّم ذي المنطقة الميتة بواسطة

${\displaystyle y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)}$،

أين${\displaystyle r_{k}}$هي قيمة إزاحة إعادة البناء في نطاق من 0 إلى 1 كنسبة من حجم الخطوة. عادةً،${\displaystyle 0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}}$عند تكميم بيانات الإدخال باستخدام دالة كثافة احتمالية نموذجية (PDF) متناظرة حول الصفر وتصل إلى قيمتها القصوى عند الصفر (مثل دالة كثافة احتمالية غاوسية ، أو لابلاسية ، أو غاوسية معممة ). على الرغم من${\displaystyle r_{k}}$قد يعتمد ذلك على${\displaystyle k}$بشكل عام، ويمكن اختيارها لتحقيق شرط الأمثلية الموضح أدناه، وغالبًا ما يتم تعيينها ببساطة إلى قيمة ثابتة، مثل${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$(لاحظ أنه في هذا التعريف،${\displaystyle y_{0}=0}$بسبب تعريف${\displaystyle \operatorname {sgn} }$دالة (  ) ، لذلك${\displaystyle r_{0}}$ليس له أي تأثير.)

تتمثل إحدى الحالات الخاصة الشائعة الاستخدام (على سبيل المثال، المخطط المستخدم عادةً في المحاسبة المالية والرياضيات الأساسية) في تحديد${\displaystyle w=\Delta }$و${\displaystyle r_{k}={\tfrac {1}{2}}}$للجميع${\displaystyle k}$في هذه الحالة، يكون مُكمِّم المنطقة الميتة أيضًا مُكمِّمًا موحدًا، لأن المنطقة الميتة المركزية لهذا المُكمِّم لها نفس عرض جميع خطواته الأخرى، وجميع قيم إعادة البناء الخاصة به متباعدة بالتساوي أيضًا.

يفترض تحليل خطأ التكميم عادةً أنه يؤثر على نظام معالجة الإشارات بطريقة مشابهة لتأثير الضوضاء البيضاء المضافة ، أي أن ارتباطه بالإشارة ضئيل، وكثافة طيف القدرة فيه شبه ثابتة . ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 13 ] [ 14 ]} يُستخدم نموذج الضوضاء المضافة بشكل شائع لتحليل تأثيرات خطأ التكميم في أنظمة الترشيح الرقمي، وهو مفيد جدًا في هذا التحليل. وقد ثبتت صلاحيته كنموذج في حالات التكميم عالي الدقة (صغير).${\displaystyle \Delta }$(بالنسبة لقوة الإشارة) مع دوال كثافة احتمالية سلسة. ^{[ 2 ] [ 15 ]}

لا يُعدّ افتراض سلوك الضوضاء التراكمية صحيحًا دائمًا. فخطأ التكميم (بالنسبة للمكممات المُعرّفة كما هو موضح هنا) يرتبط ارتباطًا حتميًا بالإشارة، وليس مستقلًا عنها تمامًا. وبالتالي، يمكن للإشارات الدورية أن تُولّد ضوضاء تكميم دورية. وفي بعض الحالات، قد يتسبب ذلك في ظهور دورات حدية في أنظمة معالجة الإشارات الرقمية. إحدى طرق ضمان استقلالية خطأ التكميم عن إشارة المصدر هي إجراء تكميم مُخفّف (مع تشكيل الضوضاء أحيانًا )، والذي يتضمن إضافة ضوضاء عشوائية (أو شبه عشوائية ) إلى الإشارة قبل التكميم. ^{[ 6 ] [ 14 ]}

في الحالة النموذجية، تكون الإشارة الأصلية أكبر بكثير من أقل بت ذي دلالة (LSB). في هذه الحالة، لا يرتبط خطأ التكميم ارتباطًا وثيقًا بالإشارة، وله توزيع منتظم تقريبًا. عند استخدام التقريب للتكميم، يكون متوسط ​​خطأ التكميم صفرًا، وقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) هي الانحراف المعياري لهذا التوزيع، كما هو موضح في المعادلة التالية:${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB} }$عند استخدام الاقتطاع، يكون للخطأ متوسط ​​غير صفري.${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {LSB} }$وقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​هي${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\mathrm {LSB} }$على الرغم من أن التقريب ينتج عنه خطأ RMS أقل من الاقتطاع، إلا أن الفرق يرجع فقط إلى الحد الثابت (DC) لـ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {LSB} }$تكون قيم الجذر التربيعي المتوسط ​​لخطأ التيار المتردد متطابقة تمامًا في كلتا الحالتين، لذا لا توجد ميزة خاصة للتقريب على الاقتطاع في الحالات التي يمكن فيها تجاهل حد التيار المستمر للخطأ (كما هو الحال في الأنظمة المقترنة بالتيار المتردد). في كلتا الحالتين، يتغير الانحراف المعياري، كنسبة مئوية من نطاق الإشارة الكامل، بمعامل 2 لكل تغيير بمقدار بت واحد في عدد بتات التكميم. وبالتالي، تتغير نسبة قدرة الإشارة إلى ضوضاء التكميم المحتملة بمقدار 4، أو${\displaystyle \scriptstyle 10\cdot \log _{10}(4)}$، حوالي 6  ديسيبل لكل بت.

عند السعات المنخفضة، يصبح خطأ التكميم معتمدًا على إشارة الإدخال، مما يؤدي إلى تشويه. ينشأ هذا التشويه بعد مرشح منع التداخل، وإذا تجاوزت هذه التشوهات نصف معدل أخذ العينات، فإنها ستتداخل عائدةً إلى النطاق المطلوب. ولجعل خطأ التكميم مستقلًا عن إشارة الإدخال، تُضاف ضوضاء إلى الإشارة لتشويشها. هذا يقلل نسبة الإشارة إلى الضوضاء قليلًا، ولكنه قد يزيل التشويه تمامًا.

ضوضاء التكميم هي نموذج لخطأ التكميم الناتج عن عملية التكميم في محول الإشارة التناظرية إلى الرقمية (ADC). وهي عبارة عن خطأ تقريب بين جهد الدخل التناظري للمحول وقيمة الخرج الرقمية. هذه الضوضاء غير خطية وتعتمد على الإشارة، ويمكن نمذجتها بعدة طرق مختلفة.

في محول تناظري رقمي مثالي، حيث يتوزع خطأ التكميم بشكل منتظم بين -1/2 LSB و+1/2 LSB، وتكون الإشارة موزعة بشكل منتظم لتغطي جميع مستويات التكميم، يمكن حساب نسبة الإشارة إلى ضوضاء التكميم (SQNR) من

${\displaystyle \mathrm {SQNR} =20\log _{10}(2^{Q})\approx 6.02\cdot Q\ \mathrm {dB} \,\!}$

حيث Q هو عدد بتات التكميم.

إن أكثر إشارات الاختبار شيوعاً التي تفي بهذا الشرط هي الموجات المثلثية ذات السعة الكاملة والموجات المنشارية .

على سبيل المثال، يبلغ الحد الأقصى لنسبة الإشارة إلى الضوضاء الكمية لمحول الإشارة التناظرية إلى الرقمية ذي 16 بت  6.02 × 16 = 96.3 ديسيبل.

عندما تكون إشارة الإدخال عبارة عن موجة جيبية كاملة السعة، فإن توزيع الإشارة لم يعد منتظمًا، وتكون المعادلة المقابلة بدلاً من ذلك

${\displaystyle \mathrm {SQNR} \approx 1.761+6.02\cdot Q\ \mathrm {dB} \,\!}$

هنا، يُفترض مجددًا أن ضوضاء التكميم موزعة بانتظام. وهذا صحيح عندما تكون إشارة الدخل ذات سعة عالية وطيف تردد واسع. ^{[ 16 ]} في هذه الحالة، يمتلك محول تناظري رقمي ذو 16 بت نسبة إشارة إلى ضوضاء قصوى تبلغ 98.09  ديسيبل. ويعود الفرق البالغ 1.761 في نسبة الإشارة إلى الضوضاء إلى كون الإشارة موجة جيبية كاملة النطاق بدلًا من موجة مثلثية أو سن منشار.

يُعد هذا النموذج دقيقًا بالنسبة للإشارات المعقدة في محولات الإشارة التناظرية إلى الرقمية عالية الدقة. أما بالنسبة لمحولات الإشارة التناظرية إلى الرقمية منخفضة الدقة، والإشارات منخفضة المستوى في محولات الإشارة التناظرية إلى الرقمية عالية الدقة، وللموجات البسيطة، فإن ضوضاء التكميم لا تتوزع بانتظام، مما يجعل هذا النموذج غير دقيق. ^{[ 17 ]} في هذه الحالات، يتأثر توزيع ضوضاء التكميم بشدة بالسعة الدقيقة للإشارة.

تُجرى الحسابات نسبةً إلى إشارة الإدخال كاملة النطاق. بالنسبة للإشارات الأصغر، قد يكون تشويه التكميم النسبي كبيرًا جدًا. ولتجاوز هذه المشكلة، يمكن استخدام تقنية الضغط والتمديد التناظري، ولكن هذا قد يُسبب تشويهًا.

غالبًا ما يتضمن تصميم المُكمِّم دعم نطاق محدود فقط من قيم الإخراج الممكنة، وإجراء عملية قصّ للحد من الإخراج إلى هذا النطاق عندما يتجاوز الإدخال النطاق المدعوم. يُشار إلى الخطأ الناتج عن هذا القصّ باسم تشويه التحميل الزائد . ضمن الحدود القصوى للنطاق المدعوم، تُعرف المسافة بين قيم الإخراج القابلة للتحديد للمُكمِّم باسم حبيباته ، ويُشار إلى الخطأ الناتج عن هذه المسافة باسم تشويه الحبيبات . من الشائع أن يتضمن تصميم المُكمِّم تحديد التوازن المناسب بين تشويه الحبيبات وتشويه التحميل الزائد. بالنسبة لعدد معين من قيم الإخراج الممكنة المدعومة، قد يؤدي تقليل متوسط ​​تشويه الحبيبات إلى زيادة متوسط ​​تشويه التحميل الزائد، والعكس صحيح. هناك تقنية للتحكم في سعة الإشارة (أو، بشكل مكافئ، حجم خطوة التكميم).${\displaystyle \Delta }$لتحقيق التوازن المناسب، يُستخدم التحكم التلقائي في الكسب (AGC). مع ذلك، في بعض تصميمات المُكمِّمات، قد لا تنطبق مفاهيم الخطأ الحبيبي وخطأ التحميل الزائد (على سبيل المثال، بالنسبة لمُكمِّم ذي نطاق محدود من بيانات الإدخال أو ذي مجموعة لا نهائية قابلة للعد من قيم الإخراج القابلة للاختيار). ^{[ 6 ]}

يمكن عادةً تقسيم جهاز التكميم القياسي، الذي يقوم بعملية التكميم، إلى مرحلتين:

تصنيف

عملية تصنيف نطاق إشارة الإدخال إلى${\displaystyle M}$فترات غير متداخلة${\displaystyle \{I_{k}\}_{k=1}^{M}}$، من خلال التعريف${\displaystyle M-1}$قيم حدود القرار${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$بحيث${\displaystyle I_{k}=[b_{k-1}~,~b_{k})}$ل${\displaystyle k=1,2,\ldots ,M}$، مع تحديد الحدود القصوى بواسطة${\displaystyle b_{0}=-\infty }$و${\displaystyle b_{M}=\infty }$جميع المدخلات${\displaystyle x}$التي تقع ضمن نطاق فاصل زمني محدد${\displaystyle I_{k}}$ترتبط بنفس مؤشر التكميم${\displaystyle k}$.

إعادة الإعمار

كل فاصل زمني${\displaystyle I_{k}}$يتم تمثيلها بقيمة إعادة البناء${\displaystyle y_{k}}$والتي تنفذ عملية الربط${\displaystyle x\in I_{k}\Rightarrow y=y_{k}}$.

تشكل هاتان المرحلتان معًا العملية الرياضية لـ${\displaystyle y=Q(x)}$.

يمكن تطبيق تقنيات ترميز الإنتروبيا لنقل مؤشرات التكميم من مُشفِّر المصدر الذي يُجري مرحلة التصنيف إلى مُفكِّك الشفرة الذي يُجري مرحلة إعادة البناء. إحدى طرق القيام بذلك هي ربط كل مؤشر تكميم${\displaystyle k}$باستخدام كلمة مرور ثنائية${\displaystyle c_{k}}$من الاعتبارات المهمة عدد البتات المستخدمة لكل كلمة رمزية، ويرمز لها هنا بـ${\displaystyle \mathrm {length} (c_{k})}$ونتيجة لذلك، فإن تصميم${\displaystyle M}$يتطلب تحديد قيم مُكمِّم المستوى - ومجموعة الكلمات المشفرة المرتبطة به لتوصيل قيم مؤشره إيجاد قيم${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$،${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=1}^{M}}$و${\displaystyle \{y_{k}\}_{k=1}^{M}}$والتي تلبي على النحو الأمثل مجموعة مختارة من قيود التصميم مثل معدل البت${\displaystyle R}$والتشويه​${\displaystyle D}$.

بافتراض أن مصدر المعلومات${\displaystyle S}$ينتج متغيرات عشوائية${\displaystyle X}$مع ملف PDF مرفق${\displaystyle f(x)}$، الاحتمال${\displaystyle p_{k}}$أن المتغير العشوائي يقع ضمن فترة تكميم معينة${\displaystyle I_{k}}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle p_{k}=P[x\in I_{k}]=\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}f(x)dx}$.

معدل البت الناتج${\displaystyle R}$ويمكن اشتقاق قيمة هذا المُكمِّم، بوحدات متوسط ​​البتات لكل قيمة مُكمَّمة، على النحو التالي:

${\displaystyle R=\sum _{k=1}^{M}p_{k}\cdot \mathrm {length} (c_{k})=\sum _{k=1}^{M}\mathrm {length} (c_{k})\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}f(x)dx}$.

إذا افترضنا أن التشوه يُقاس بمتوسط ​​مربع الخطأ، ^{فإن التشوه D} يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle D=E[(x-Q(x))^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-Q(x))^{2}f(x)dx=\sum _{k=1}^{M}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}(x-y_{k})^{2}f(x)dx}$.

من الملاحظات الرئيسية أن المعدل${\displaystyle R}$يعتمد ذلك على حدود القرار${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$وأطوال الكلمات السرية${\displaystyle \{\mathrm {length} (c_{k})\}_{k=1}^{M}}$، بينما التشوه${\displaystyle D}$يعتمد ذلك على حدود القرار${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$ومستويات إعادة الإعمار${\displaystyle \{y_{k}\}_{k=1}^{M}}$.

بعد تحديد هذين المقياسين للأداء للمكمم، يمكن التعبير عن صيغة نموذجية لمعدل التشوه لمشكلة تصميم المكمم بإحدى الطريقتين التاليتين:

1. مع مراعاة قيد التشوه الأقصى${\displaystyle D\leq D_{\max }}$تقليل معدل البت${\displaystyle R}$
2. مع مراعاة الحد الأقصى لمعدل البتات${\displaystyle R\leq R_{\max }}$تقليل التشوه${\displaystyle D}$

غالباً ما يمكن التعبير عن حل هذه المشكلات وحلها بشكل مكافئ (أو تقريبي) عن طريق تحويل الصيغة إلى مشكلة غير مقيدة${\displaystyle \min \left\{D+\lambda \cdot R\right\}}$حيث مُضاعِف لاغرانج${\displaystyle \lambda }$هو ثابت غير سالب يُحقق التوازن الأمثل بين المعدل والتشويه. يُكافئ حلّ المسألة غير المقيدة إيجاد نقطة على الغلاف المحدب لمجموعة حلول صياغة مقيدة مكافئة للمسألة. مع ذلك، قد يكون إيجاد حل - وخاصةً حل مغلق - لأي من هذه الصياغات الثلاث للمسألة صعبًا. نُشرت حلول لا تتطلب تقنيات التحسين التكراري متعدد الأبعاد لثلاث دوال كثافة احتمالية فقط: التوزيع المنتظم ^{[ 18 ]} ، والتوزيع الأسي ^{[ 12 ]} ، وتوزيع لابلاس ^{[ 12 ]} . يمكن استخدام أساليب التحسين التكراري لإيجاد حلول في حالات أخرى. ^{[ 6 ] [ 19 ] [ 20 ]}

لاحظ أن قيم إعادة البناء${\displaystyle \{y_{k}\}_{k=1}^{M}}$تؤثر فقط على التشوه - فهي لا تؤثر على معدل البت - وهذا ينطبق على كل فرد${\displaystyle y_{k}}$يقدم مساهمة منفصلة${\displaystyle d_{k}}$إلى التشوه الكلي كما هو موضح أدناه:

${\displaystyle D=\sum _{k=1}^{M}d_{k}}$

أين

${\displaystyle d_{k}=\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}(x-y_{k})^{2}f(x)dx}$

يمكن استخدام هذه الملاحظة لتسهيل التحليل – بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$القيم، قيمة كل منها${\displaystyle y_{k}}$يمكن تحسينها بشكل منفصل لتقليل مساهمتها في التشوه${\displaystyle D}$.

بالنسبة لمعيار تشويه متوسط ​​مربع الخطأ، يمكن إثبات بسهولة أن المجموعة المثلى من قيم إعادة البناء${\displaystyle \{y_{k}^{*}\}_{k=1}^{M}}$يتم تحديد ذلك عن طريق ضبط قيمة إعادة البناء${\displaystyle y_{k}}$ضمن كل فترة${\displaystyle I_{k}}$إلى القيمة المتوقعة الشرطية (المشار إليها أيضًا باسم المركز ) ضمن الفترة، كما هو موضح في:

${\displaystyle y_{k}^{*}={\frac {1}{p_{k}}}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}xf(x)dx}$.

يمكن أن يؤدي استخدام تقنيات ترميز الإنتروبيا المصممة بشكل جيد إلى استخدام معدل بت قريب من المحتوى المعلوماتي الحقيقي للفهارس${\displaystyle \{k\}_{k=1}^{M}}$بحيث يكون ذلك فعالاً

${\displaystyle \mathrm {length} (c_{k})\approx -\log _{2}\left(p_{k}\right)}$

وبالتالي

${\displaystyle R=\sum _{k=1}^{M}-p_{k}\cdot \log _{2}\left(p_{k}\right)}$.

يُتيح استخدام هذا التقريب فصل مشكلة تصميم ترميز الإنتروبيا عن تصميم المُكمِّم نفسه. تستطيع تقنيات ترميز الإنتروبيا الحديثة، مثل الترميز الحسابي، تحقيق معدلات بت قريبة جدًا من الإنتروبيا الحقيقية للمصدر، وذلك بالنظر إلى مجموعة من الاحتمالات المعروفة (أو المُقدَّرة بشكل تكيفي).${\displaystyle \{p_{k}\}_{k=1}^{M}}$.

في بعض التصاميم، بدلاً من التحسين لعدد معين من مناطق التصنيف${\displaystyle M}$قد تتضمن مشكلة تصميم المُكمِّم تحسين قيمة${\displaystyle M}$كذلك. بالنسبة لبعض نماذج المصادر الاحتمالية، قد يتم تحقيق أفضل أداء عندما${\displaystyle M}$يقترب من اللانهاية.

في الصيغة أعلاه، إذا تم تجاهل قيد معدل البت عن طريق تحديد${\displaystyle \lambda }$يساوي صفرًا، أو بشكل مكافئ إذا افترضنا أنه سيتم استخدام رمز ثابت الطول (FLC) لتمثيل البيانات الكمية بدلاً من رمز متغير الطول (أو أي تقنية ترميز إنتروبي أخرى مثل الترميز الحسابي الذي يكون أفضل من FLC من حيث معدل التشوه)، فإن مشكلة التحسين تختزل إلى تقليل التشوه.${\displaystyle D}$وحيد.

المؤشرات التي ينتجها${\displaystyle M}$يمكن ترميز المُكمِّم ذي المستوى باستخدام رمز ثابت الطول باستخدام${\displaystyle R=\lceil \log _{2}M\rceil }$بتات/رمز. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle M=}$256 مستوى، معدل بت FLC${\displaystyle R}$يبلغ حجم كل رمز 8 بتات. ولهذا السبب، يُطلق على هذا النوع من المُكمِّمات أحيانًا اسم مُكمِّم 8 بتات. مع ذلك، فإن استخدام مُتحكِّم منطقي خطي (FLC) يُلغي تحسين الضغط الذي يُمكن الحصول عليه باستخدام ترميز إنتروبي أفضل.

بافتراض وجود FLC مع${\displaystyle M}$عند مستويات معينة، يمكن اختزال مشكلة تقليل معدل التشوه إلى مشكلة تقليل التشوه فقط. ويمكن صياغة المشكلة المختزلة على النحو التالي: بالنظر إلى مصدر${\displaystyle X}$مع ملف PDF${\displaystyle f(x)}$والشرط الذي يجب أن يستخدمه المُكمِّم فقط${\displaystyle M}$مناطق التصنيف، إيجاد حدود القرار${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}}$ومستويات إعادة البناء${\displaystyle \{y_{k}\}_{k=1}^{M}}$لتقليل التشوه الناتج

${\displaystyle D=E[(x-Q(x))^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-Q(x))^{2}f(x)dx=\sum _{k=1}^{M}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}(x-y_{k})^{2}f(x)dx=\sum _{k=1}^{M}d_{k}}$.

يؤدي إيجاد حل أمثل للمشكلة المذكورة أعلاه إلى مُكمِّم يُسمى أحيانًا حل MMSQE (الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع خطأ التكميم)، ويُشار إلى المُكمِّم الناتج المُحسَّن باستخدام دالة كثافة الاحتمال (غير المنتظم) باسم مُكمِّم لويد-ماكس ، نسبةً إلى شخصين قاما بشكل مستقل بتطوير طرق تكرارية ^{[ 6 ] [ 21 ] [ 22 ]} لحل مجموعتي المعادلات الآنية الناتجتين عن${\displaystyle {\partial D/\partial b_{k}}=0}$و${\displaystyle {\partial D/\partial y_{k}}=0}$، كما يلي:

${\displaystyle {\partial D \over \partial b_{k}}=0\Rightarrow b_{k}={y_{k}+y_{k+1} \over 2}}$،

مما يضع كل عتبة عند نقطة المنتصف بين كل زوج من قيم إعادة البناء، و

${\displaystyle {\partial D \over \partial y_{k}}=0\Rightarrow y_{k}={\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}xf(x)dx \over \int _{b_{k-1}}^{b_{k}}f(x)dx}={\frac {1}{p_{k}}}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}xf(x)dx}$

مما يضع كل قيمة إعادة بناء في مركز (القيمة المتوقعة الشرطية) لفترة التصنيف المرتبطة بها.

يمكن تعميم خوارزمية لويد الأولى ، التي وُصفت لأول مرة عام ١٩٥٧، بطريقة مباشرة لتطبيقها على البيانات المتجهة. وينتج عن هذا التعميم طرق تحسين المصنفات مثل ليند-بوزو-غراي (LBG) أو k-means . علاوة على ذلك، يمكن تعميم هذه التقنية بشكل مباشر لتشمل قيدًا على الإنتروبيا للبيانات المتجهة. ^{[ ٢٣ ]}

يُعتبر مُكمِّم لويد-ماكس في الواقع مُكمِّمًا منتظمًا عندما يتم توزيع دالة كثافة الاحتمال المدخلة بشكل منتظم على النطاق${\displaystyle [y_{1}-\Delta /2,~y_{M}+\Delta /2)}$مع ذلك، بالنسبة لمصدر لا يمتلك توزيعًا منتظمًا، قد لا يكون مُكمِّم الحد الأدنى للتشويه مُكمِّمًا منتظمًا. ويمكن تلخيص تحليل المُكمِّم المنتظم المُطبَّق على مصدر ذي توزيع منتظم فيما يلي:

يمكن نمذجة مصدر متناظر X باستخدام${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2X_{\max }}}}$، ل${\displaystyle x\in [-X_{\max },X_{\max }]}$وصفر في أي مكان آخر. حجم الخطوة${\displaystyle \Delta ={\tfrac {2X_{\max }}{M}}}$ونسبة الإشارة إلى ضوضاء التكميم (SQNR) للمكمّم هي

${\displaystyle {\rm {SQNR}}=10\log _{10}{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\sigma _{q}^{2}}}=10\log _{10}{\frac {(M\Delta )^{2}/12}{\Delta ^{2}/12}}=10\log _{10}M^{2}=20\log _{10}M}$.

للحصول على رمز ثابت الطول باستخدام${\displaystyle N}$أجزاء،${\displaystyle M=2^{N}}$، مما أدى إلى ${\displaystyle {\rm {SQNR}}=20\log _{10}{2^{N}}=N\cdot (20\log _{10}2)=N\cdot 6.0206\,{\rm {dB}}}$،

أو ما يقارب 6  ديسيبل لكل بت. على سبيل المثال، لـ${\displaystyle N}$=8 بت،${\displaystyle M}$=256 مستوى و SQNR = 8×6 = 48  ديسيبل؛ و لـ${\displaystyle N}$= 16 بت،${\displaystyle M}$=65536 و SQNR = 16×6 = 96  ديسيبل. تُعدّ خاصية  تحسين SQNR بمقدار 6 ديسيبل لكل بت إضافي مُستخدم في التكميم مقياسًا معروفًا للأداء. مع ذلك، يجب استخدامه بحذر: هذا الاشتقاق خاص فقط بمكمّم موحد مُطبق على مصدر موحد. بالنسبة لدوال كثافة الاحتمال (PDF) للمصادر الأخرى وتصميمات المكمّمات الأخرى، قد يختلف SQNR نوعًا ما عن القيمة المتوقعة بـ 6  ديسيبل/بت، وذلك اعتمادًا على نوع دالة كثافة الاحتمال، ونوع المصدر، ونوع المكمّم، ونطاق معدل البتات للتشغيل.

مع ذلك، من الشائع افتراض أنه بالنسبة للعديد من المصادر، يمكن تقريب ميل دالة SQNR للمكمّم بـ 6  ديسيبل/بت عند التشغيل بمعدل بتات عالٍ بما فيه الكفاية. عند معدلات بتات عالية تقاربياً، يؤدي تقليل حجم الخطوة إلى النصف إلى زيادة معدل البتات بمقدار بت واحد تقريبًا لكل عينة (لأن بتًا واحدًا مطلوب للإشارة إلى ما إذا كانت القيمة في النصف الأيسر أو الأيمن من الفترة السابقة ذات الحجم المضاعف) ويقلل متوسط ​​مربع الخطأ بمعامل 4 (أي 6  ديسيبل) بناءً على${\displaystyle \Delta ^{2}/12}$تقريب.

 عند معدلات بت عالية تقاربياً، يدعم التحليل النظري الدقيق تقريب 6 ديسيبل/بت للعديد من دوال كثافة الاحتمال المصدرية. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]} علاوة على ذلك، يقترب هيكل المُكمِّم القياسي الأمثل (بمعنى معدل التشوه) من هيكل المُكمِّم المنتظم في ظل هذه الظروف. ^{[ 5 ] [ 6 ]}