نظرية راوث

في الهندسة ، تحدد نظرية راوث نسبة المساحات بين مثلث معين ومثلث يتكون من تقاطعات ثلاثة خطوط مستقيمة . وتنص النظرية على أنه إذا كان في المثلث${\displaystyle ABC}$نقاط${\displaystyle D}$،${\displaystyle E}$، و${\displaystyle F}$الاستلقاء على أجزاء${\displaystyle BC}$،${\displaystyle CA}$، و${\displaystyle AB}$ثم الكتابة${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x}$،${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}$، و${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}$، المساحة الموقعة للمثلث الذي تشكله السيفيان${\displaystyle AD}$،${\displaystyle BE}$، و${\displaystyle CF}$يكون

${\displaystyle S_{ABC}={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}$

أين${\displaystyle S_{ABC}}$مساحة المثلث${\displaystyle ABC}$.

قدم إدوارد جون روث هذه النظرية في الصفحة 82 من كتابه "رسالة في علم السكون التحليلي مع أمثلة عديدة" عام 1896. الحالة الخاصة${\displaystyle x=y=z=2}$وقد شاع استخدام مصطلح مثلث المساحة السُبع .${\displaystyle x=y=z=1}$تشير الحالة إلى أن الوسائط الثلاثة متزامنة (عبر المركز ).

لنفترض أن مساحة المثلث${\displaystyle ABC}$يساوي 1. بالنسبة للمثلث${\displaystyle ABD}$والخط${\displaystyle FRC}$، تنص نظرية مينلاوس على

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=-1}$.

ثم${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {CD}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$وبالتالي فإن مساحة المثلث${\displaystyle ARC}$يكون

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

وبحجج مماثلة،${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$و${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$وبالتالي فإن مساحة المثلث${\displaystyle PQR}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}$

يُشار عادةً إلى نظرية راوث في كتابه " رسالة راوث في علم السكون التحليلي مع أمثلة عديدة" ، المجلد الأول، الفصل الرابع، الطبعة الثانية الصادرة عام ١٨٩٦ ، صفحة ٨٢ ، ربما لسهولة العثور على تلك الطبعة. مع ذلك، فقد ذكر راوث النظرية في الطبعة الأولى الصادرة عام ١٨٩١، المجلد الأول، الفصل الرابع، صفحة ٨٩. ورغم اختلاف ترقيم الصفحات بين الطبعتين، إلا أن صياغة الحاشية ذات الصلة ظلت كما هي. ويختتم راوث حاشيةً مطولةً بتحذير:

"لم يصادف المؤلف هذه التعبيرات الخاصة بمساحات المثلثين والتي تظهر غالباً. لذلك قام بوضعها هنا حتى يسهل فهم الحجة الواردة في النص."

من المفترض أن راوث شعر بأن تلك الظروف لم تتغير خلال السنوات الخمس الفاصلة بين الطبعتين. من جهة أخرى، سبق أن استخدم إسحاق تود هنتر عنوان كتاب راوث ؛ وكلاهما تلقى تدريباً على يد ويليام هوبكنز .

على الرغم من أن راوث نشر النظرية في كتابه، إلا أن أول بيان منشور معروف لها مع برهانها ظهر في الملحق (vii) في الصفحة 33 من كتاب " حلول مسائل وملحقات مجلس شيوخ كامبريدج لعام 1878" ، أي امتحان الرياضيات الثلاثي (ترايبوس) في كامبريدج في ذلك العام. مؤلف المسائل في ذلك القسم، المكتوبة بالأرقام الرومانية، هو جيمس ويتبريد لي غليشر ، الذي قام أيضًا بتحرير المجلد بأكمله. كان راوث مدربًا معروفًا لامتحان الترايبوس عند نشر كتابه، وكان بالتأكيد على دراية بمحتوى امتحان الترايبوس لعام 1878، مع أنه، كما يشير تصريحه المذكور أعلاه، ربما يكون قد نسي مصدر النظرية خلال السنوات الثلاث عشرة الماضية.

للمسائل من هذا النوع تاريخ طويل في الرياضيات الترفيهية وعلم أصول تدريس الرياضيات ، ولعلّ من أقدم الأمثلة على ذلك تحديد نسب أضلاع لوحة المعدة الأربعة عشر. وبالنظر إلى جامعة كامبريدج التي أسسها راوث ، يظهر المثلث الذي تبلغ مساحته سُبع المساحة ، والذي يُنسب في بعض الروايات إلى ريتشارد فاينمان ، على سبيل المثال، في السؤال رقم 100، صفحة 80 ، من كتاب "عناصر الهندسة" لإقليدس ( الطبعة المدرسية الخامسة ) ، من تأليف روبرت بوتس (1805-1885) من كلية ترينيتي، والذي نُشر عام 1859؛ قارن أيضًا بالسؤالين 98 و99 في الصفحة نفسها. حصل بوتس على المركز السادس والعشرين في مسابقة رانجلر عام 1832، ثم عمل مدربًا في كامبريدج، مثل هوبكنز وروث. وقد حظيت كتابات بوتس التوضيحية في الهندسة بالتقدير من خلال ميدالية في المعرض الدولي عام 1862، بالإضافة إلى حصوله على درجة الدكتوراه الفخرية في القانون. من كلية ويليام وماري ، ويليامزبرغ ، فيرجينيا .

• موراي إس. كلامكين و أ. ليو (1981) "ثلاثة براهين أخرى لنظرية راوث"، كروكس ماتيماتيكوروم 7:199 – 203.
• HSM Coxeter (1969) مقدمة في الهندسة ، البيان ص. 211، البرهان ص. 219 – 20، الطبعة الثانية، وايلي، نيويورك.
• جيه إس كلاين ودي فيليمان (1995) "برهان آخر لنظرية راوث" (1995) كروكس ماتيماتيكوروم 21:37 – 40
• إيفان نيفن (1976) "برهان جديد لنظرية راوث"، مجلة الرياضيات 49(1): 25-27، doi : 10.2307/2689876
• جاي وارندورف، نظرية راوث ، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية راوث" . عالم الرياضيات .
• نظرية راوث باستخدام الضرب الاتجاهي في موقع MathPages
• أيوب، أيوب ب. (2011/2012) "إعادة النظر في نظرية راوث"، الطيف الرياضي 44 (1): 24-27.