متوسط ​​العينة والتباين المشترك

المتوسط ​​الحسابي للعينة ( متوسط ​​العينة ) أو المتوسط ​​التجريبي ( المتوسط ​​التجريبي )، والتباين المشترك للعينة أو التباين المشترك التجريبي هي إحصائيات يتم حسابها من عينة من البيانات حول متغير عشوائي واحد أو أكثر .

المتوسط ​​الحسابي للعينة هو القيمة المتوسطة لعينة من الأرقام مأخوذة من مجتمع إحصائي أكبر ، حيث يشير مصطلح "المجتمع الإحصائي" إلى مجمل البيانات ذات الصلة، سواء جُمعت أم لا، وليس إلى عدد الأفراد. على سبيل المثال، يمكن استخدام عينة من مبيعات 40 شركة من قائمة فورتشن 500، بدلاً من النظر إلى المجتمع الإحصائي بأكمله، أي مبيعات جميع الشركات الـ 500. يُستخدم المتوسط ​​الحسابي للعينة كمُقدِّر للمتوسط ​​الحسابي للمجتمع الإحصائي، حيث يكون التقدير أقرب إلى المتوسط ​​الحسابي للمجتمع الإحصائي إذا كانت العينة كبيرة وممثلة. تُقدَّر موثوقية المتوسط ​​الحسابي للعينة باستخدام الخطأ المعياري ، الذي يُحسب بدوره باستخدام تباين العينة. إذا كانت العينة عشوائية، فإن الخطأ المعياري يقل مع ازدياد حجم العينة، ويقترب توزيع المتوسط ​​الحسابي للعينة من التوزيع الطبيعي مع ازدياد حجم العينة.

يُستخدم مصطلح "متوسط ​​العينة" للإشارة إلى متجه القيم المتوسطة عندما يدرس الإحصائي قيم عدة متغيرات في العينة، مثل المبيعات والأرباح وعدد الموظفين في عينة من شركات قائمة فورتشن 500. في هذه الحالة، لا يقتصر الأمر على تباين العينة لكل متغير، بل يشمل أيضًا مصفوفة تباين-تغاير العينة (أو ببساطة مصفوفة التغاير ) التي توضح العلاقة بين كل زوج من المتغيرات. وتكون هذه المصفوفة 3×3 عند دراسة ثلاثة متغيرات. يُفيد تغاير العينة في تقييم موثوقية متوسطات العينات كمُقدِّرات، كما يُفيد في تقدير مصفوفة تغاير المجتمع الإحصائي.

نظراً لسهولة حسابها وخصائصها المرغوبة الأخرى، فإن متوسط ​​العينة والتباين المشترك للعينة يستخدمان على نطاق واسع في الإحصاء لتمثيل موقع وتشتت توزيع القيم في العينة ، ولتقدير القيم للمجتمع.

المتوسط ​​الحسابي للعينة هو متوسط ​​قيم متغير ما في عينة، وهو مجموع تلك القيم مقسومًا على عدد القيم. باستخدام الرموز الرياضية ، إذا أُخذت عينة من N مشاهدة للمتغير X من المجتمع الإحصائي، فإن المتوسط ​​الحسابي للعينة هو:

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}.}$

وفقًا لهذا التعريف، إذا تم أخذ العينة (1، 4، 1) من المجتمع الإحصائي (1، 1، 3، 4، 0، 2، 1، 0)، فإن متوسط ​​العينة هو${\displaystyle {\bar {x}}=(1+4+1)/3=2}$مقارنة بمتوسط ​​السكان لـ${\displaystyle \mu =(1+1+3+4+0+2+1+0)/8=12/8=1.5}$حتى لو كانت العينة عشوائية، فنادرًا ما تكون ممثلة تمثيلًا كاملًا، وستختلف المتوسطات بين العينات الأخرى حتى لو كانت جميعها من نفس المجتمع الإحصائي. فعلى سبيل المثال، سيكون متوسط ​​العينة (2، 1، 0) مساويًا لـ 1.

إذا كان الإحصائي مهتمًا بـ K متغيرًا بدلًا من متغير واحد، بحيث يكون لكل مشاهدة قيمة لكل من هذه المتغيرات K ، فإن متوسط ​​العينة الإجمالي يتكون من K متوسطات عينات للمتغيرات الفردية.${\displaystyle x_{ij}}$ليكن المشاهدة المستقلة ^رقم i (حيث i = 1، ...، N ) على المتغير العشوائي ^رقم j (حيث j = 1، ...، K ). يمكن ترتيب هذه المشاهدات في N متجه عمودي، كل منها يحتوي على K عنصرًا، حيث يمثل المتجه العمودي K × 1 المشاهدات رقم i لجميع المتغيرات.${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$( i =1,..., N ).

متجه متوسط ​​العينة${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$هو متجه عمودي عنصره j${\displaystyle {\bar {x}}_{j}}$هي القيمة المتوسطة لعدد N من المشاهدات ^{للمتغير} j :

${\displaystyle {\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.}$

وبالتالي، يحتوي متجه متوسط ​​العينة على متوسط ​​المشاهدات لكل متغير، ويُكتب على النحو التالي:

$\displaystyle \mathbf \bar {x} = \frac {1}{N} \sum _{i=1}^{N} \mathbf x _{i} = \begin{bmatrix \bar {x}_{1} \dots \bar {x}_{j} \dots \bar {x}_{K} \end{bmatrix}$

مصفوفة التغاير العيني هي مصفوفة من الرتبة K × K${\displaystyle \textstyle \mathbf {Q} =\left[q_{jk}\right]}$مع إدخالات

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right),}$

أين${\displaystyle q_{jk}}$يمثل تقديرًا للتغاير بين المتغير ^j والمتغير k في المجتمع الإحصائي الذي تستند إليه البيانات. أما بالنسبة لمتجهات المشاهدات، فإن تغاير العينة ^هو

${\displaystyle \mathbf {Q} ={1 \over {N-1}}\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {x} _{i}.-\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x} _{i}.-\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} },}$

أو بدلاً من ذلك، يمكن ترتيب متجهات الملاحظة كأعمدة لمصفوفة، بحيث

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\dots &\mathbf {x} _{N}\end{bmatrix}}}$،

وهي مصفوفة مكونة من K صفًا و N عمودًا. هنا، يمكن حساب مصفوفة التباين المشترك للعينة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$،

أين${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$هو متجه N × 1 من الآحاد. إذا تم ترتيب المشاهدات كصفوف بدلاً من أعمدة، فإن${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$أصبح الآن متجه صفّي 1× K و${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }}$إذا كانت مصفوفة N × K ، وكان عمودها j هو متجه N مشاهدة للمتغير j ، فإن تطبيق عمليات النقل في المواضع المناسبة ينتج عنه

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} }(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} ).}$

كما هو الحال مع مصفوفات التغاير للمتجهات العشوائية ، فإن مصفوفات التغاير للعينة موجبة شبه محددة . ولإثبات ذلك، لاحظ أنه لأي مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} }$تكون مصفوفة التغاير موجبة شبه محددة. علاوة على ذلك، تكون مصفوفة التغاير موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت رتبة${\displaystyle \mathbf {x} _{i}.-\mathbf {\bar {x}} }$المتجهات هي K.

يمثل كل من متوسط ​​العينة ومصفوفة التباين المشترك للعينة تقديرات غير متحيزة لمتوسط ​​ومصفوفة التباين المشترك للمتجه العشوائي${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$، متجه صفّي يكون العنصر j ^{فيه (} حيث j = 1، ...، K ) أحد المتغيرات العشوائية. ^{[ 1 ]} مصفوفة التباين المشترك للعينة لها${\displaystyle \textstyle N-1}$في المقام بدلاً من${\displaystyle \textstyle N}$بسبب أحد أشكال تصحيح بيسل : باختصار، يعتمد التباين المشترك للعينة على الفرق بين كل مشاهدة ومتوسط ​​العينة، لكن متوسط ​​العينة يرتبط ارتباطًا طفيفًا بكل مشاهدة لأنه مُعرَّف بدلالة جميع المشاهدات. إذا كان متوسط ​​المجتمع${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )}$إذا عُرف، فإن التقدير غير المتحيز المماثل

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),}$

باستخدام متوسط ​​السكان، لديه${\displaystyle \textstyle N}$في المقام. هذا مثال على سبب أهمية التمييز في الاحتمالات والإحصاء بين المتغيرات العشوائية (الأحرف الكبيرة) وتحققات المتغيرات العشوائية (الأحرف الصغيرة).

تقدير الاحتمال الأقصى للتغاير

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right)}$

في حالة التوزيع الغاوسي، يكون N موجودًا في المقام أيضًا. تقترب نسبة 1/ N إلى 1/( N - 1) من 1 عندما تكون N كبيرة ، لذا فإن تقدير الاحتمال الأقصى يساوي تقريبًا التقدير غير المتحيز عندما تكون العينة كبيرة.   

لكل متغير عشوائي، يُعدّ متوسط ​​العينة مُقدِّراً جيداً لمتوسط ​​المجتمع، حيث يُعرَّف المُقدِّر "الجيد" بأنه كفؤ وغير متحيز. بالطبع، من المرجح ألا يكون هذا المُقدِّر هو القيمة الحقيقية لمتوسط ​​المجتمع ، لأن العينات المختلفة المسحوبة من نفس التوزيع ستعطي متوسطات عينات مختلفة، وبالتالي تقديرات مختلفة للمتوسط ​​الحقيقي. لذا، فإن متوسط ​​العينة هو متغير عشوائي ، وليس ثابتاً، وبالتالي له توزيعه الخاص.

لنرمز بـ μ إلى متوسط ​​المجتمع و بـ${\displaystyle \sigma ^{2}}$تباين المجتمع، لعينة عشوائية من n مشاهدة مستقلة مأخوذة من المجتمع، القيمة المتوقعة لمتوسط ​​العينة هي

${\displaystyle \operatorname {E} ({\bar {x}})=\mu }$

وتباين متوسط ​​العينة هو

${\displaystyle \operatorname {var} ({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

إذا لم تكن العينات مستقلة، بل مترابطة ، فيجب توخي الحذر الشديد لتجنب مشكلة التكرار الزائف .

إذا كان التوزيع السكاني طبيعياً ، فإن متوسط ​​العينة يكون توزيعه طبيعياً كما يلي:

${\displaystyle {\bar {x}}\thicksim N\left\{\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right\}.}$

إذا لم يكن التوزيع السكاني طبيعياً، فإن متوسط ​​العينة مع ذلك يكون موزّعاً توزيعاً طبيعياً تقريباً إذا كانت ^قيمة n كبيرة و σ² / n < +∞. هذه نتيجة لنظرية النهاية المركزية .   

في العينة المرجحة، كل متجه${\displaystyle \textstyle {\textbf {x}}_{i}}$(كل مجموعة من الملاحظات الفردية على كل متغير من المتغيرات العشوائية K ) يتم تعيين وزن لها${\displaystyle \textstyle w_{i}\geq 0}$دون فقدان للعمومية ، افترض أن الأوزان مُعَيَّرة :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(وإن لم تكن كذلك، فاقسم الأوزان على مجموعها). ثم يكون متجه المتوسط ​​المرجح${\displaystyle \textstyle \mathbf {\bar {x}} }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

والعناصر${\displaystyle q_{jk}}$مصفوفة التغاير الموزونة${\displaystyle \textstyle \mathbf {Q} }$هي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{1-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right).}$

إذا كانت جميع الأوزان متساوية،${\displaystyle \textstyle w_{i}=1/N}$، يختزل المتوسط ​​المرجح والتباين إلى متوسط ​​العينة (المتحيز) والتباين المذكور أعلاه.

لا يُعدّ كلٌّ من متوسط ​​العينة والتباين المشترك للعينة من الإحصاءات القوية ، أي أنهما يتأثران بالقيم المتطرفة . ولأنّ القوة سمة مرغوبة في كثير من الأحيان، لا سيما في التطبيقات العملية، فقد تكون البدائل القوية مفيدة، ولا سيما الإحصاءات القائمة على الكميات المئوية ، مثل وسيط العينة للموقع ^{[ 3 ]} ، والمدى الربيعي (IQR) للتشتت. وتشمل البدائل الأخرى التقليم والتعديل ، كما في المتوسط ​​المُقَلَّم والمتوسط ​​المُعدَّل .

• تقدير مصفوفات التغاير
• مصفوفة التشتت
• تقدير غير متحيز للانحراف المعياري