متغير عشوائي متعدد المتغيرات

وبالمثل، متجه عشوائي جديد${\displaystyle \mathbf {Y} }$يمكن تعريفها بتطبيق تحويل أفيني${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$إلى متجه عشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +b}$، أين${\displaystyle \mathbf {A} }$هو${\displaystyle n\times n}$المصفوفة و${\displaystyle b}$هو${\displaystyle n\times 1}$متجه عمودي.

لو${\displaystyle \mathbf {A} }$هي مصفوفة قابلة للعكس و${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$لها دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$ثم كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle \mathbf {Y} }$يكون

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {A} ^{-1}(yb))}{|\det \mathbf {A} |}}}$.

بشكل أعم، يمكننا دراسة التحويلات العكسية للمتجهات العشوائية. ^{[ 2 ] : ص 284-285}

يترك${\displaystyle g}$ليكن تعيينًا واحدًا لواحد من مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$على مجموعة فرعية${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يترك${\displaystyle g}$لها مشتقات جزئية متصلة في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$وليكن المحدد اليعقوبي${\displaystyle \det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)}$ل${\displaystyle g}$لا يكون الصفر عند أي نقطة من${\displaystyle {\mathcal {D}}}$افترض أن المتجه العشوائي الحقيقي${\displaystyle \mathbf {X} }$لها دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ويرضي${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$ثم المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$ذات كثافة احتمالية

${\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

أين${\displaystyle \mathbf {1} }$يشير إلى دالة المؤشر والمجموعة${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$يدل على دعم${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

مصفوفة التغاير (وتسمى أيضًا العزم المركزي الثاني أو مصفوفة التباين والتغاير) لـ${\displaystyle n\times 1}$المتجه العشوائي هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة يكون ^عنصرها ( i ,j ) هو التباين المشترك بين المتغيرين ^{العشوائيين} i ^و j . مصفوفة التباين المشترك هي القيمة المتوقعة، عنصرًا عنصرًا، لـ${\displaystyle n\times n}$المصفوفة المحسوبة كـ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}$حيث يشير الرمز T العلوي إلى منقولة المتجه المشار إليه: ^{[ 2 ] : ص 464 [ 3 ] : ص 335}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$

المعادلة 3

وبالتالي، فإن مصفوفة التغاير المتقاطع بين متجهين عشوائيين${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$(${\displaystyle \mathbf {X} }$تناول${\displaystyle n}$العناصر و${\displaystyle \mathbf {Y} }$تناول${\displaystyle p}$العناصر) هو${\displaystyle n\times p}$المصفوفة ^{[ 3 ] : ص 336}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{T}]=\اسم المشغل {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\اسم المشغل {E} [\mathbf {X} ]\اسم المشغل {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

المعادلة 4

حيث يتم حساب القيمة المتوقعة للمصفوفة عنصرًا بعنصر. هنا، يمثل العنصر ( ⁱ ,j ) التباين المشترك بين ^العنصر i من${\displaystyle \mathbf {X} }$والعنصر j من^​${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

مصفوفة التغاير هي مصفوفة متناظرة ، أي ^{[ 2 ] : ص 466}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$.

مصفوفة التغاير هي مصفوفة شبه موجبة ، أي ^{[ 2 ] : ص 465}

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$.

مصفوفة التغاير المتقاطع${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$هو ببساطة منقول المصفوفة${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$، أي

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}$.

متجهان عشوائيان${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}$و${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$تُسمى غير مترابطة إذا

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

تكون هذه العناصر غير مترابطة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة التغاير المتقاطع الخاصة بها${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$يساوي صفرًا. ^{[ 3 ] : ص 337}

مصفوفة الارتباط (وتسمى أيضًا العزم الثاني ) لـ${\displaystyle n\times 1}$المتجه العشوائي هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة يكون ^{عنصرها (} i ,j ) هو معامل الارتباط بين المتغيرين ^{العشوائيين} i ^و j . مصفوفة الارتباط هي القيمة المتوقعة، عنصرًا عنصرًا، لـ${\displaystyle n\times n}$المصفوفة المحسوبة كـ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$حيث يشير الرمز T العلوي إلى منقولة المتجه المشار إليه: ^{[ 4 ] : ​​ص 190 [ 3 ] : ص 334}

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }]}$

المعادلة 5

وبالتالي، فإن مصفوفة الارتباط المتبادل بين متجهين عشوائيين${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$(${\displaystyle \mathbf {X} }$تناول${\displaystyle n}$العناصر و${\displaystyle \mathbf {Y} }$تناول${\displaystyle p}$العناصر) هو${\displaystyle n\times p}$مصفوفة

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]}$

المعادلة 6

ترتبط مصفوفة الارتباط بمصفوفة التغاير من خلال

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$.

وبالمثل بالنسبة لمصفوفة الارتباط المتبادل ومصفوفة التغاير المتبادل:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

يمكن للمرء أن يأخذ القيمة المتوقعة لشكل تربيعي في المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$كما يلي: ^{[ 5 ] : ص 170-171}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

أين${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$هي مصفوفة التغاير لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \operatorname {tr} }$يشير إلى أثر المصفوفة، أي مجموع عناصر قطرها الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين). وبما أن الصيغة التربيعية كمية قياسية، فإن قيمتها المتوقعة كذلك.

البرهان : ليكن${\displaystyle \mathbf {z} }$كن${\displaystyle m\times 1}$متجه عشوائي مع${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$و${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$ودع${\displaystyle A}$كن${\displaystyle m\times m}$مصفوفة غير عشوائية.

ثم بناءً على صيغة التغاير، إذا رمزنا${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }$، نرى أن:

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

لذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}$

وهذا ما يدفعنا إلى إثبات ذلك.

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}$

هذا صحيح استنادًا إلى حقيقة أنه يمكن تبديل المصفوفات دوريًا عند أخذ أثر دون تغيير النتيجة (على سبيل المثال:${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$).

نرى ذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}$

ومنذ ذلك الحين

${\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}$

إذا كان عددًا قياسيًا ،

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}$

ببساطة. باستخدام التبديل نحصل على:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}$

وبإدخال هذا في الصيغة الأصلية نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}$

يمكن للمرء أن يأخذ القيمة المتوقعة لحاصل ضرب شكلين تربيعيين مختلفين في متجه عشوائي غاوسي متوسطه صفر.${\displaystyle \mathbf {X} }$كما يلي: ^{[ 5 ] : الصفحات 162-176}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

أين مرة أخرى${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$هي مصفوفة التغاير لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$ومرة أخرى، بما أن كلا الشكلين التربيعيين هما عددان قياسيان، وبالتالي فإن حاصل ضربهما هو عدد قياسي، فإن القيمة المتوقعة لحاصل ضربهما هي أيضًا عدد قياسي.

في نظرية المحفظة في التمويل ، يتمثل أحد الأهداف غالبًا في اختيار محفظة من الأصول الخطرة بحيث يتمتع توزيع العائد العشوائي للمحفظة بخصائص مرغوبة. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في اختيار عائد المحفظة الذي يحقق أقل تباين لقيمة متوقعة معينة. هنا، المتجه العشوائي هو المتجه${\displaystyle \mathbf {r} }$تمثل p العوائد العشوائية على الأصول الفردية، وعائد المحفظة p (قيمة عددية عشوائية) هو حاصل الضرب الداخلي لمتجه العوائد العشوائية مع متجه w لأوزان المحفظة - وهي نسب المحفظة المخصصة لكل أصل. بما أن p = w ^T${\displaystyle \mathbf {r} }$، القيمة المتوقعة لعائد المحفظة هي w ^T E(${\displaystyle \mathbf {r} }$ويمكن إثبات أن تباين عائد المحفظة هو w ^T C w ، حيث C هي مصفوفة التغاير لـ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

في نظرية الانحدار الخطي ، لدينا بيانات عن n مشاهدة لمتغير تابع y، و n مشاهدة لكل من k متغير مستقل x_{_j} . تُجمع مشاهدات المتغير التابع في متجه عمودي y ، وتُجمع مشاهدات كل متغير مستقل في متجهات عمودية أيضًا، ثم تُدمج هذه المتجهات في مصفوفة تصميم X (لا تُمثل متجهًا عشوائيًا في هذا السياق) لمشاهدات المتغيرات المستقلة. بعد ذلك، تُفترض معادلة الانحدار التالية لوصف العملية التي ولّدت البيانات:

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

حيث β متجه ثابت مفترض ولكنه غير معروف لمعاملات الاستجابة k ، و e متجه عشوائي غير معروف يعكس التأثيرات العشوائية على المتغير التابع. باستخدام تقنية مختارة مثل المربعات الصغرى العادية ، متجه${\displaystyle {\hat {\beta }}}$يتم اختيارها كتقدير لـ β، وتقدير المتجه e ، المشار إليه بـ${\displaystyle {\hat {e}}}$، ويتم حسابها على النحو التالي

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}$

ثم يتعين على الإحصائي تحليل خصائص${\displaystyle {\hat {\beta }}}$و${\displaystyle {\hat {e}}}$، والتي تعتبر متجهات عشوائية لأن اختيارًا عشوائيًا مختلفًا لعدد n من الحالات للملاحظة كان سيؤدي إلى قيم مختلفة لها.

تطور متجه عشوائي k × 1${\displaystyle \mathbf {X} }$يمكن نمذجة التغير عبر الزمن باستخدام نموذج الانحدار الذاتي المتجهي (VAR) على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}$

حيث يمثل المتجه i -periods-back الملاحظة${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$يُطلق عليه اسم التأخير رقم i من${\displaystyle \mathbf {X} }$، c هو متجه ثوابت ( نقاط تقاطع ) من الرتبة k  ×  1 ، و A _i هي مصفوفة ثابتة زمنياً من الرتبة k × k و  ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$هو متجه عشوائي من حدود الخطأ بحجم k  ×  1 .