توزيع كاي تربيع العكسي المُقاس

توزيع كاي تربيع العكسي المُقاس $\psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ ، أين $\psi$ يمثل معامل المقياس، ويساوي توزيع ويشارت العكسي أحادي المتغير ${\mathcal {W}}^{-1}(\psi ,\nu )$ بدرجات من الحرية $\nu$ .

ترتبط هذه العائلة من توزيعات كاي تربيع العكسية المُقاسة بتوزيع كاي تربيع العكسي وبتوزيع كاي تربيع :

لو $X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ ثم $X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ إلى جانب $\psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )$ و $1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )$ .

بدلاً من $\psi$ ومع ذلك، فإن توزيع كاي تربيع العكسي المُقاس يتم تحديده في أغلب الأحيان بواسطة مُعامل المقياس. $\tau ^{2}=\psi /\nu$ والتوزيع $\nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ يُرمز إليه بـ ${\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ .

من ناحية $\tau ^{2}$ يمكن كتابة العلاقات المذكورة أعلاه على النحو التالي:

لو $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ ثم ${\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ إلى جانب ${\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )$ و $1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )$ .

تُعد هذه العائلة من توزيعات مربع كاي المعكوسة المُقاسة إعادة تحديد معلمات توزيع جاما المعكوس .

على وجه التحديد، إذا

X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})

ثم

X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)

يمكن استخدام أي من الشكلين لتمثيل توزيع الإنتروبيا القصوى لعزم معكوس أول ثابت $(E(1/X))$ والعزم اللوغاريتمي الأول $(E(\ln(X))$ .

يُستخدم توزيع كاي تربيع العكسي المُقاس بشكل خاص في الإحصاء البايزي . تحديدًا، يُمكن استخدام هذا التوزيع كتوزيع احتمالي مُرافق لمعامل التباين في التوزيع الطبيعي . ويُعطى التوزيع الاحتمالي المُرافق نفسه في نماذج بديلة بواسطة توزيع جاما العكسي .

توصيف

تمتد دالة كثافة الاحتمال لتوزيع كاي تربيع العكسي المُقاس على المجال $x>0$ وهو

f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}

أين $\nu$ يمثل معامل درجات الحرية و $\tau ^{2}$ يمثل معامل المقياس . دالة التوزيع التراكمي هي

F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.

=Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)

أين $\Gamma (a,x)$ دالة غاما غير الكاملة ، $\Gamma (x)$ دالة غاما و $Q(a,x)$ هي دالة غاما منتظمة . الدالة المميزة هي

\varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=

{\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau) ^{2}\nu t}}\يمين)،

أين $K_{\frac {\nu }{2}}(z)$ هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني .

تقدير المعلمات

تقدير الاحتمال الأقصى لـ $\tau ^{2}$ يكون

\tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.

تقدير الاحتمال الأقصى لـ ${\frac {\nu }{2}}$ يمكن إيجادها باستخدام طريقة نيوتن على:

\ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),

أين $\psi (x)$ دالة ديغاما . يمكن إيجاد تقدير أولي لها بأخذ صيغة المتوسط وحلها لإيجاد قيمة . $\nu .$ يترك ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ ليكن متوسط العينة. ثم تقدير أولي لـ $\nu$ يُعطى بواسطة:

{\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.

التقدير البايزي لتباين التوزيع الطبيعي

للتوزيع العكسي المقياسي لتوزيع كاي تربيع تطبيق مهم ثانٍ، وهو التقدير البايزي لتباين التوزيع الطبيعي.

وفقًا لنظرية بايز ، فإن التوزيع الاحتمالي اللاحق للكميات ذات الأهمية يتناسب مع حاصل ضرب التوزيع المسبق للكميات ودالة الاحتمال :

p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})

حيث يمثل D البيانات ويمثل I أي معلومات أولية حول σ ² التي قد تكون لدينا بالفعل.

ينشأ السيناريو الأبسط إذا كان المتوسط μ معروفًا بالفعل؛ أو، بدلاً من ذلك، إذا كان المطلوب هو التوزيع الشرطي لـ σ ² ، لقيمة معينة مفترضة لـ μ .

عندئذٍ، يكون حد الاحتمال L ( σ ² | D ) = p ( D | σ ² ) بالشكل المألوف

{\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]

بدمج هذا مع التوزيع الاحتمالي المسبق الثابت عند إعادة التحجيم p( ^σ²| I ) ⁼ 1/ σ² ، والذي يمكن اعتباره (على سبيل المثال، ^باتباعجيفريز ) أقل توزيع احتمالي مسبق ممكن لـ σ² في هذه المسألة، نحصل على احتمال لاحق مُجمّع

p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]

يمكن التعرف على هذا الشكل على أنه شكل توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس، بمعاملات ν = n و τ ² = s ² = (1/ n ) Σ ( _xi - μ ) ²

يشير جيلمان وزملاؤه إلى أن ظهور هذا التوزيع مرة أخرى، والذي شوهد سابقًا في سياق أخذ العينات، قد يبدو أمرًا لافتًا للنظر؛ ولكن بالنظر إلى اختيار التوزيع المسبق "فإن هذه النتيجة ليست مفاجئة". ^{[ 1 ]}

على وجه الخصوص، فإن اختيار توزيع احتمالي مسبق ثابت عند إعادة التحجيم لـ σ ² يؤدي إلى أن احتمال نسبة σ ² / s ² له نفس الشكل (مستقل عن متغير التكييف) عند التكييف على s ² كما هو الحال عند التكييف على σ ² :

p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})

في حالة نظرية أخذ العينات، المشروطة بـ σ ² ، يكون توزيع الاحتمال لـ (1/s ² ) هو توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس؛ وبالتالي فإن توزيع الاحتمال لـ σ ² المشروط بـ s ² ، بالنظر إلى توزيع مسبق غير متأثر بالمقياس، هو أيضًا توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس.

استخدمه كمرجع إعلامي مسبق

إذا كانت هناك معلومات أكثر حول القيم المحتملة لـ σ ² ، فإن التوزيع من عائلة مربع كاي المعكوس المُقاس، مثل Scale-inv- χ ² ( n ₀ , s ₀² ) يمكن أن يكون شكلاً مناسباً لتمثيل معلومات مسبقة أكثر دقة لـ σ ² ، كما لو كان ذلك من نتيجة n ₀ من الملاحظات السابقة (على الرغم من أن n ₀ ليس بالضرورة أن يكون عددًا صحيحًا):

p(\sigma ^{2}|I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]

سيؤدي هذا التوزيع الاحتمالي المسبق إلى التوزيع الاحتمالي اللاحق

p(\sigma ^{2}|D,I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {ns^{2}+n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]

وهو نفسه توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس. وبالتالي، تُعدّ توزيعات كاي تربيع المعكوسة المُقاسة عائلةً ملائمةً من ^{التوزيعات}الاحتمالية المسبقة المترافقة لتقدير σ² .

تقدير التباين عندما يكون المتوسط غير معروف

إذا كان المتوسط غير معروف، فإن أكثر التوزيعات الاحتمالية المسبقة غير المفيدة التي يمكن أخذها له هي على الأرجح التوزيع الاحتمالي المسبق الثابت تحت الإزاحة p ( μ | I ) ∝ const.، والذي يعطي التوزيع الاحتمالي اللاحق المشترك التالي لـ μ و σ ² ،

{\begin{aligned}p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)&\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}

يتم الحصول على التوزيع الاحتمالي الهامشي اللاحق لـ σ ² من التوزيع الاحتمالي المشترك اللاحق عن طريق التكامل على μ ،

{\begin{aligned}p(\sigma ^{2}|D,I)\;\propto \;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]d\mu \\=\;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}/n}}\\\propto \;&(\sigma ^{2})^{-(n+1)/2}\;\exp \left[-{\frac {(n-1)s^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}

هذا مرة أخرى توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس، مع معلمات $\scriptstyle {n-1}\;$ و $\scriptstyle {s^{2}=\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}/(n-1)}$ .

التوزيعات ذات الصلة

لو $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ ثم $kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,$
لو $X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,$ ( توزيع مربع كاي العكسي ) إذن $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,$
لو $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ ثم ${\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,$ ( توزيع مربع كاي العكسي )
لو $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ ثم $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)$ ( توزيع غاما المعكوس )
يُعد توزيع مربع كاي العكسي المُقاس حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع 5