توزيع بيرسون

إذا كان مميز الدالة التربيعية (2) سالبًا (${\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0}$)، ليس لها جذور حقيقية. ثم عرّف

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x+{\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\[5pt]\alpha &={\frac {\sqrt {4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

لاحظ أن α عدد حقيقي محدد جيدًا و α ≠ 0 ، لأنه بحسب الفرضية${\displaystyle 4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0}$وبالتالي فإن _b² ≠ 0. بتطبيق هذه التعويضات، تتحول الدالة التربيعية (2) إلى

${\displaystyle B(x)=b_{2}(y^{2}+\alpha ^{2}).}$

إن غياب الجذور الحقيقية واضح من هذه الصيغة، لأن α ² موجب بالضرورة.

نعبر الآن عن حل المعادلة التفاضلية (1) كدالة لـ y :

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {y-{\frac {b_{1}}{2b_{2}}}+a}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy\right).}$

أطلق بيرسون (1895، ص  362) على هذه الحالة اسم " الحالة المثلثية"، لأن التكامل

${\displaystyle \int {\frac {y-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}}}}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy={\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+\alpha ^{2})-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{0}}$

يتضمن ذلك دالة الظل العكسي المثلثي . ثم

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left[-{\frac {1}{2b_{2}}}\ln \left(1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)-{\frac {\ln \alpha }{b_{2}}}+{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{1}\right].}$

وأخيراً، دع

${\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{2b_{2}}},\\[5pt]\nu &=-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}.\end{aligned}}}$

بتطبيق هذه الاستبدالات، نحصل على الدالة البارامترية:

${\displaystyle p(y)\propto \left[1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right].}$

تتمتع هذه الكثافة غير المعيارية بدعم على كامل خط الأعداد الحقيقية . وهي تعتمد على معامل المقياس α > 0 ومعاملي الشكل m > 1/2 و ν . فُقد أحد المعاملات عندما اخترنا إيجاد حل المعادلة التفاضلية (1) كدالة لـ y بدلاً من x . لذلك، نعيد إدخال معامل رابع، وهو معامل الموقع λ . وبذلك نكون قد استنتجنا كثافة توزيع بيرسون من النوع الرابع . 

${\displaystyle p(x)={\frac {\left|{\frac {\operatorname {\Gamma } \left(m+{\frac {\nu }{2}}i\right)}{\Gamma (m)}}\right|^{2}}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)\right].}$

يتضمن ثابت التطبيع دالة غاما المركبة (Γ) ودالة بيتا (B). لاحظ أن معامل الموقع λ هنا ليس هو نفسه معامل الموقع الأصلي المُقدم في الصيغة العامة، ولكنه مرتبط به عبر 

${\displaystyle \lambda =\lambda _{original}+{\frac {\alpha \nu }{2(m-1)}}.}$

يتحكم معامل الشكل ν لتوزيع بيرسون من النوع الرابع في درجة التواء التوزيع . إذا ثبّتنا قيمته عند الصفر، نحصل على عائلة متناظرة ذات ثلاثة معاملات. تُعرف هذه الحالة الخاصة بتوزيع بيرسون من النوع السابع (انظر بيرسون 1916، ص  450). كثافته هي

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m},}$

حيث B هي دالة بيتا .

يتم الحصول على معلمات بديلة (وتخصيص طفيف) لتوزيع النوع السابع عن طريق وضع

${\displaystyle \alpha =\sigma {\sqrt {2m-3}},}$

وهذا يتطلب أن تكون قيمة m أكبر من 3/2. وهذا يُؤدي إلى فقدان طفيف للعمومية، ولكنه يضمن وجود تباين التوزيع ومساواته لـ σ² ^. الآن، يتحكم المعامل m فقط في تفرطح التوزيع. إذا اقتربت قيمة m من اللانهاية مع ثبات قيمتي λ و σ ، فإن التوزيع الطبيعي يظهر كحالة خاصة.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2m-3}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\sigma {\sqrt {2m-3}}}}\right)^{2}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{2}}\right)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {\Gamma (m)}{\operatorname {\Gamma } \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {m-{\frac {3}{2}}}}}}\cdot \lim _{m\to \infty }\left[1+{\frac {\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}}{2m-3}}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot 1\cdot \exp \left[-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$

هذه هي كثافة التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​λ وانحراف معياري σ .

من الملائم اشتراط أن تكون قيمة m أكبر من 5/2 والسماح

${\displaystyle m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\gamma _{2}}}.}$

هذا تخصص آخر، وهو يضمن وجود اللحظات الأربع الأولى للتوزيع. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن توزيع بيرسون من النوع السابع، المُعَلم بدلالة (λ، σ، γ² ₎ ، له متوسط ​​λ ، وانحراف معياري σ ، والتواء يساوي صفرًا، وتفرطح زائد موجب γ² _.

إن توزيع بيرسون من النوع السابع يعادل توزيع t للطالب غير المعياري مع المعلمات ν > 0، μ، σ ² عن طريق تطبيق الاستبدالات التالية على معلماته الأصلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\mu ,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu \sigma ^{2}}},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

لاحظ أن القيد m > 1/2 مُحقق.

الكثافة الناتجة هي

${\displaystyle p(x\mid \mu ,\sigma ^{2},\nu )={\frac {1}{{\sqrt {\nu \sigma ^{2}}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

والتي يمكن التعرف عليها بسهولة على أنها كثافة توزيع t للطالب .

هذا يعني أن توزيع بيرسون من النوع السابع يشمل توزيع t القياسي للطالب ، وكذلك توزيع كوشي القياسي . وبالتحديد، يظهر توزيع t القياسي للطالب كحالة فرعية عندما يكون μ = 0 و σ² = ¹ ، وهو ما يعادل الاستبدالات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=0,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu }},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

كثافة هذه العائلة المقيدة ذات المعلمة الواحدة هي توزيع t القياسي للطالب :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

ينشأ توزيع بيرسون من النوع الأول ( وهو تعميم لتوزيع بيتا إلى منطقة دعم محدودة أكثر عمومية) عندما تكون جذور المعادلة التربيعية (2) ذات إشارات متعاكسة، أي${\displaystyle a_{1}<0<a_{2}}$إذن، يكون الحل p مدعومًا على الفترة${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$قم بتطبيق الاستبدال

${\displaystyle x=a_{1}+y(a_{2}-a_{1}),}$

أين${\displaystyle 0<y<1}$، مما ينتج عنه حل بدلالة y مدعوم على الفترة (0، 1):

${\displaystyle p(y)\propto \left({\frac {a_{1}-a_{2}}{a_{1}}}y\right)^{(-a_{1}+a)\nu }\left({\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{2}}}(1-y)\right)^{(a_{2}-a)\nu }.}$

يمكن تعريف ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a-a_{1}}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},\\[5pt]m_{2}&={\frac {a-a_{2}}{b_{2}(a_{2}-a_{1})}}.\end{aligned}}}$

بإعادة تجميع الثوابت والمعاملات، يتبسط هذا إلى

${\displaystyle p(y)\propto y^{m_{1}}(1-y)^{m_{2}},}$

هكذا${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}}$يتبع توزيع بيتا${\displaystyle \mathrm {B} (m_{1}+1,m_{2}+1)}$مع${\displaystyle \lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{1}+1}{m_{1}+m_{2}+2}}-a_{1}}$. اتضح أن m ₁ ، m ₂ > −1 ضروري وكافٍ لكي تكون p دالة كثافة احتمالية مناسبة.

يُعد توزيع بيرسون من النوع الثاني حالة خاصة من عائلة توزيعات بيرسون من النوع الأول، ويقتصر على التوزيعات المتماثلة. باستخدام الصيغ الواردة في قسم النوع الأول، مع${\displaystyle m_{1}=m_{2}=m}$و${\displaystyle -a_{1}=a_{2}=a}$، على الفترة (−a, a) يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle p(x)\propto \left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)^{m}.}$

أو مع

${\displaystyle x=-a+2ya,}$

${\displaystyle y}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع بيتا على الفترة (0، 1)،

${\displaystyle p(y)\propto \left(1-4\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right)^{m}\propto y^{m}(1-y)^{m}.}$

مع ثابت تناسب مناسب، تصبح دالة كثافة الاحتمال

${\displaystyle p(y)=y^{m}(1-y)^{m}{\frac {\Gamma (2m+2)}{\Gamma (m+1)^{2}}}.}$

تعريف

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-(m+1)b_{1},}$

${\displaystyle b_{0}+b_{1}(x-\lambda )}$يكون${\displaystyle \operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})}$. توزيع بيرسون من النوع الثالث هو توزيع جاما أو توزيع مربع كاي .

تحديد معايير جديدة:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&={\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\\lambda &=\mu _{1}-{\frac {a-C_{1}}{1-2b_{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle x-\lambda }$يتبع${\displaystyle \operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})}$توزيع بيرسون من النوع الخامس هو توزيع جاما معكوس .

تعريف

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{2}+1}{m_{2}+m_{1}+2}}-a_{2},}$

${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{2}}{a_{2}-a_{1}}}}$يتبع${\displaystyle \beta ^{\prime }(m_{2}+1,-m_{2}-m_{1}-1)}$. توزيع بيرسون من النوع السادس هو توزيع بيتا برايم أو توزيع F.