مجموعة شوتكي

في الرياضيات ، تعتبر مجموعة شوتكي نوعًا خاصًا من مجموعات كلاين ، وقد درسها فريدريك شوتكي لأول مرة ( 1877 ) . 

لنفترض وجود نقطة p على كرة ريمان . كل منحنى جوردان لا يمر بالنقطة p يقسم كرة ريمان إلى جزأين، ونسمي الجزء الذي يحتوي على p "الخارج _" للمنحنى، والجزء الآخر "الداخل". لنفترض وجود 2g منحنيات جوردان منفصلة A₁ , B₁ _, ..., Ag , Bₘ على كرة ريمان، ولكل منها داخل منفصل. إذا كانت هناك _{تحويلات موبيوس} Ti تأخذ _الجزء الخارجي من _Aᵢ إلى داخل Biᵢ _، فإن المجموعة المولدة بهذه التحويلات هي مجموعة كلاينية . مجموعة شوتكي هي أي مجموعة كلاينية يمكن إنشاؤها بهذه الطريقة.

بحسب عمل ماسكيت (1967) ، فإن مجموعة كلاين المولدة بشكل محدود تكون شوتكي إذا وفقط إذا كانت مولدة بشكل محدود ، وحرة ، ولها مجال انقطاع غير فارغ، وجميع العناصر غير التافهة هي لوكسودرومية .

يُحدد المجال الأساسي لتأثير زمرة شوتكي G على نقاطها المنتظمة Ω( G ) في كرة ريمان بواسطة الجزء الخارجي لمنحنيات جوردان التي تُعرّفها. ويُعطى فضاء القسمة المقابل Ω( G )/ G بربط منحنيات جوردان في أزواج، لذا فهو سطح ريمان مضغوط من الرتبة g . هذا هو حدّ المتشعب ثلاثي الأبعاد المُعطى بأخذ خارج القسمة ( H ∪ Ω( G ))/ G للفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد H بالإضافة إلى المجموعة المنتظمة Ω( G ) بواسطة زمرة شوتكي G ، وهي جسم مقبض من الرتبة g . وعلى العكس، يمكن الحصول على أي سطح ريمان مضغوط من الرتبة g من زمرة شوتكي من الرتبة g .

تُسمى زمرة شوتكي كلاسيكية إذا أمكن اختيار جميع منحنيات جوردان المنفصلة، ​​المناظرة لمجموعة مولدات معينة، على شكل دوائر. قدم ماردن ( 1974 ، 1977 ) برهانًا غير مباشر وغير بنائي على وجود زمر شوتكي غير كلاسيكية، وقدم ياماموتو (1991) مثالًا واضحًا على إحداها. وقد بيّن دويل (1988) أن جميع زمر شوتكي الكلاسيكية المولدة نهائيًا لها مجموعات حدية ذات بُعد هاوسدورف محدود من الأعلى بثابت عام أقل من 2. في المقابل، أثبت هو (2010) وجود حد أدنى عام لبُعد هاوسدورف للمجموعات الحدية لجميع زمر شوتكي غير الكلاسيكية. 

مجموعة النهاية لمجموعة شوتكي، وهي متممة Ω( G )، لها دائمًا قياس ليبيغ يساوي صفرًا، ولكن يمكن أن يكون لها قياس هاوسدورف موجب ذو أبعاد d لـ d < 2. وهي مثالية وغير كثيفة في أي مكان بسعة لوغاريتمية موجبة.

يُستنتج البيان المتعلق بمقاييس لوبيغ بالنسبة لمجموعات شوتكي الكلاسيكية من وجود متسلسلة بوانكاريه.

${\displaystyle \displaystyle {P(z)=\sum (c_{i}z+d_{i})^{-4}.}}$

أثبت بوانكاريه أن المتسلسلة | ci | ⁻⁴ قابلة للجمع على العناصر غير المحايد للمجموعة. في الواقع، عند أخذ قرص مغلق داخل المجال الأساسي، تكون صوره تحت عناصر المجموعة المختلفة منفصلة ومحتواة في قرص ثابت حول الصفر. لذا فإن مجموع المساحات محدود. وباستخدام صيغة تغيير المتغيرات، تكون المساحة أكبر من ثابت مضروب _{في |} ci | ⁻⁴ . ^{[ 1 ]}

يُشير استدلالٌ مماثل إلى أن مجموعة النهاية لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا. ^{[ 2 ]} لأنها مُحتواة في مُتمِّم اتحاد صور المنطقة الأساسية بواسطة عناصر المجموعة ذات طول الكلمة المحدود بـ n . هذا اتحادٌ محدودٌ للدوائر، وبالتالي له مساحةٌ محدودة. هذه المساحة محدودةٌ من الأعلى بثابتٍ مضروبٍ في مُساهمة مجموع بوانكاريه للعناصر ذات طول الكلمة n ، لذا فهي تتناقص إلى صفر.

فضاء شوتكي (من جنس g ≥ 2) هو فضاء زمر شوتكي المميزة من الجنس g ، أو بعبارة أخرى، هو فضاء مجموعات g عنصرًا من PSL ₂ ( C ) التي تولد زمرة شوتكي، حتى التكافؤ تحت تحويلات موبيوس ( بيرس 1975 ) . وهو فضاء متعدد الشعب معقد ذو بُعد معقد 3g - 3. ويحتوي على فضاء شوتكي الكلاسيكي كمجموعة جزئية مقابلة لزمر شوتكي الكلاسيكية.

لا يكون فضاء شوتكي من النوع g متصلاً ببساطة بشكل عام، ولكن يمكن تحديد فضاء التغطية الشامل الخاص به مع فضاء تايخمولر لأسطح ريمان المدمجة من النوع g .

• معادلة بلترامي
• رايلي سلايسر

• أكازا، تورو (1964)، "متسلسلة ثيتا لبوانكاريه والمجموعات الشاذة لمجموعات شوتكي"، مجلة ناغويا للرياضيات ، 24 : 43-65 ، doi : 10.1017/S0027763000011338 ، S2CID 118640111 
• بيرس، ليبمان (1975)، "الأشكال التلقائية لمجموعات شوتكي"، التقدم في الرياضيات ، 16 (3): 332-361 ، doi : 10.1016/0001-8708(75)90117-6 ، ISSN 0001-8708 ، MR 0377044  
• تشاكرو، فيكي (1968)، "حول مجموعات شوتكي مع تطبيقات على مجموعات كلاين"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 88 (1): 47-61 ، doi : 10.2307/1970555 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970555 ، MR 0227403   
• دويل، بيتر (1988)، "حول النوتة الأساسية لمجموعة شوتكي"، أكتا ماثيماتيكا ، 160 : 249-284 ، doi : 10.1007/bf02392277 ، MR 0945013 
• فريك، روبرت. كلاين، فيليكس (1897)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. فرقة إرستر؛ يموت gruppentheoretischen Grundlagen. (في المانيا)، لايبزيغ: بي جي تيوبنر، ISBN 978-1-4297-0551-6، JFM 28.0334.01 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• فريك، روبرت. كلاين، فيليكس (1912)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. فرقة زويتر: وظيفة النفخ والسماعات النظرية. 1. التشغيل: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (في المانيا)، لايبزيغ: بي جي تيوبنر، ISBN 978-1-4297-0552-3، JFM 32.0430.01 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جيلمان، جين ، دراسة استقصائية لمجموعات شوتكي (ملف PDF)
• هو، يونغ (2010)، "مجموعات كلاين ذات بُعد هاوسدورف صغير هي مجموعات شوتكي كلاسيكية I"، الهندسة والطوبولوجيا ، 14 : 473-519 ، arXiv : math/0610458 ، doi : 10.2140/gt.2010.14.473 ، S2CID 119144655 
• هو، يونغ (2013)، جميع زمر كلاين المولدة نهائيًا ذات بُعد هاوسدورف صغير هي زمر شوتكي كلاسيكية ، arXiv : 1307.2677 ، Bibcode : 2013arXiv1307.2677H
• يورغنسن، ت.؛ ماردن، أ.؛ ماسكيت، برنارد (1979)، "حدود فضاء شوتكي الكلاسيكي" ، مجلة ديوك الرياضية ، 46 (2): 441-446 ، doi : 10.1215/s0012-7094-79-04619-2 ، ISSN 0012-7094 ، MR 0534060  
• لينر، جوزيف (1964)، الزمر غير المتصلة والدوال التلقائية ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  8، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-8218-1508-3{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ماردن، ألبرت (1974)، "هندسة الزمر الكلاينية المولدة نهائيًا"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 99 (3): 383-462 ، doi : 10.2307/1971059 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1971059 ، MR 0349992 ، Zbl 0282.30014    
• ماردن، أ. (1977)، "مجموعات كلاين المنتهية هندسيًا وفضاءات تشوهها"، في هارفي، دبليو جيه (محرر)، المجموعات المنفصلة والدوال الذاتية الشكل (وقائع المؤتمر، كامبريدج، 1975) ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، ص 259-293 ، ISBN  978-0-12-329950-5، MR 0494117 
• ماسكيت، برنارد (1967)، "وصف مجموعات شوتكي"، مجلة التحليل الرياضي ، 19 : 227-230 ، doi : 10.1007/BF02788719 ، ISSN 0021-7670 ، MR 0220929  
• ماسكيت ، برنارد (1988)، المجموعات كلاينية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  287 برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-17746-3، MR 0959135 
• ديفيد مامفورد ، سلسلة كارولين، وديفيد رايت، لآلئ إندرا: رؤية فيليكس كلاين ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 2002، رقم ISBN 0-521-35253-3
• Schottky، F. (1877)، “Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen” ، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، 83 : 300–351 ، دوى : 10.1515/crll.1877.83.300 ، ISSN 0075-4102 ، S2CID 118718425  
• ياماموتو، هيرو-أو (1991)، "مثال على مجموعة شوتكي غير كلاسيكية"، مجلة ديوك الرياضية ، 63 (1): 193-197 ، doi : 10.1215/S0012-7094-91-06308-8 ، ISSN 0012-7094 ، MR 1106942  

• ثلاثة تحويلات تولد مجموعة شوتكي من ( Fricke & Klein 1897 ، ص 442) .