مقياس هاوسدورف

في الرياضيات ، مقياس هاوسدورف هو تعميم للمفاهيم التقليدية للمساحة والحجم على الأبعاد غير الصحيحة، وتحديدًا الكسيريات وأبعاد هاوسدورف الخاصة بها . وهو نوع من القياس الخارجي ، سمي على اسم فيليكس هاوسدورف ، والذي يعين رقمًا في [0,∞] لكل مجموعة في أو ، بشكل عام، في أي فضاء متري . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

مقياس هاوسدورف ذو البعد الصفري هو عدد النقاط في المجموعة (إذا كانت المجموعة منتهية) أو ∞ إذا كانت المجموعة غير منتهية. وبالمثل، فإن مقياس هاوسدورف أحادي البعد لمنحنى بسيط في يساوي طول المنحنى، ومقياس هاوسدورف ثنائي الأبعاد لمجموعة فرعية قابلة للقياس على طريقة ليبيج من يتناسب مع مساحة المجموعة. وبالتالي، فإن مفهوم مقياس هاوسدورف يعمم مقياس ليبيج ومفاهيمه عن العد والطول والمساحة. كما يعمم الحجم. في الواقع، هناك مقاييس هاوسدورف ذات بعد d لأي d  ≥ 0، وهو ليس بالضرورة عددًا صحيحًا. هذه المقاييس أساسية في نظرية القياس الهندسي . تظهر بشكل طبيعي في التحليل التوافقي أو نظرية الجهد . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ليكن فضاء متري . لأي مجموعة جزئية ، ليكن قطرها، أي ${\displaystyle (X,\rho )}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \operatorname {diam} U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.}$

ليكن أي مجموعة جزئية من و عدد حقيقي. عرف ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

حيث يكون الحد الأدنى فوق كل الأغطية القابلة للعد لـ مجموعات تلبي . ${\displaystyle S}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}$

لاحظ أن رتيبة غير متزايدة في لأن كلما كانت أكبر، كلما كان عدد المجموعات المسموح بها أكبر، مما يجعل الحد الأدنى غير أكبر. وبالتالي، يوجد ولكن قد يكون لانهائيًا. دع ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

يمكن ملاحظة أن هو مقياس خارجي (أو بالأحرى، هو مقياس خارجي متري ). وفقًا لنظرية توسع كاراثيودوري ، فإن تقييده بحقل سيجما للمجموعات القابلة للقياس كاراثيودوري هو مقياس. يُطلق عليه مقياس هاوسدورف ذي الأبعاد - لـ . ونظرًا لخاصية القياس الخارجي المتري ، فإن جميع مجموعات بوريل الفرعية لـ قابلة للقياس. ${\displaystyle H^{d}(S)}$${\displaystyle د}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{d}}$

في التعريف أعلاه، تكون المجموعات في التغطية تعسفية. ومع ذلك، يمكننا أن نطلب أن تكون مجموعات التغطية مفتوحة أو مغلقة، أو حتى محدبة في المساحات المعيارية ، مما سيؤدي إلى نفس الأرقام، وبالتالي نفس القياس. في تقييد مجموعات التغطية لتكون كرات، قد تتغير القياسات ولكن لا يتغير بعد المجموعات المقاسة. ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

لاحظ أنه إذا كان d عددًا صحيحًا موجبًا، فإن مقياس هاوسدورف ذي الأبعاد d هو إعادة قياس لمقياس ليبيج المعتاد ذي الأبعاد d ، والذي يتم تطبيعه بحيث يكون مقياس ليبيج للمكعب الوحدوي [0,1] ^d هو 1. في الواقع، لأي مجموعة بوريل E ، ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

حيث α _d هو حجم الكرة الوحدة d ؛ ويمكن التعبير عنه باستخدام دالة أويلر جاما

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.}$

هذا هو

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)}$,

أين هو حجم وحدة القطر d- الكرة. ${\displaystyle \beta _{d}}$

ملاحظة . يتبنى بعض المؤلفين تعريفًا لمقياس هاوسدورف يختلف قليلاً عن التعريف المختار هنا، والفرق هو أن القيمة المحددة أعلاه مضروبة في العامل ، بحيث يتطابق مقياس هاوسدورف ذي الأبعاد d تمامًا مع مقياس ليبيج في حالة الفضاء الإقليدي. ${\displaystyle H^{d}(E)}$${\displaystyle \beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}}$

اتضح أن قد يكون له قيمة محدودة غير صفرية بحد أقصى واحد . أي أن مقياس هاوسدورف يساوي صفرًا لأي قيمة أعلى من بُعد معين ولانهائية أسفل بُعد معين، على غرار فكرة أن مساحة الخط تساوي صفرًا وطول الشكل ثنائي الأبعاد يساوي لانهائيًا بمعنى ما. يؤدي هذا إلى أحد التعريفات العديدة الممكنة لبعد هاوسدورف: ${\displaystyle H^{d}(S)}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},}$

أين نأخذ و . ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$${\displaystyle \sup \emptyset =0}$

لاحظ أنه ليس من المضمون أن يكون مقياس هاوسدورف منتهيًا وغير صفري لبعض d ، وفي الواقع قد يظل المقياس عند بُعد هاوسدورف صفرًا؛ في هذه الحالة، لا يزال بُعد هاوسدورف يعمل كنقطة تغيير بين مقاييس الصفر واللانهاية.

في نظرية القياس الهندسي والمجالات ذات الصلة، غالبًا ما يستخدم محتوى مينكوفسكي لقياس حجم مجموعة فرعية من فضاء القياس المتري. بالنسبة للمجالات المناسبة في الفضاء الإقليدي، تتطابق مفهوما الحجم، حتى التطبيعات الكلية اعتمادًا على الاتفاقيات. وبشكل أكثر دقة، يقال إن مجموعة فرعية من قابلة للتصحيح إذا كانت صورة لمجموعة محدودة في تحت دالة ليبشيتز . إذا ، فإن محتوى مينكوفسكي ذي الأبعاد لمجموعة فرعية قابلة للتصحيح مغلقة من يساوي مضروبًا في مقياس هاوسدورف ذي الأبعاد (فيدرر 1969، النظرية 3.2.29). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$${\displaystyle m}$

في الهندسة الكسيرية ، بعض الكسيريات ذات بعد هاوسدورف لها مقياس هاوسدورف صفري أو لانهائي الأبعاد. على سبيل المثال، من المؤكد تقريبًا أن صورة الحركة البراونية المستوية لها بعد هاوسدورف 2 ومقياس هاوسدورف ثنائي الأبعاد لها يساوي صفرًا. من أجل "قياس" "حجم" مثل هذه المجموعات، يمكن اعتبار الاختلاف التالي في مفهوم مقياس هاوسدورف: ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

في تعريف المقياس يتم استبداله بـ حيث توجد أي دالة مجموعة متزايدة رتيبة تلبي${\displaystyle (\operatorname {diam} U_{i})^{d}}$${\displaystyle \phi (U_{i}),}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

هذا هو مقياس هاوسدورف مع دالة قياس أو مقياس هاوسدورف -. قد تلبي المجموعة ذات الأبعاد - ولكن مع أمثلة مناسبة لوظائف القياس تشمل ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H^{d}(S)=0,}$${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

الأول يعطي بالتأكيد مقياسًا إيجابيًا ومحدودًا للمسار البراوني في عندما ، والأخير عندما . ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$

• أبعاد هاوسدورف
• نظرية القياس الهندسي
• نظرية القياس
• القياس الخارجي

• إيفانز، لورانس سي؛ جاريبي، رونالد ف. (1992)، نظرية القياس والخصائص الدقيقة للوظائف ، مطبعة سي آر سي.
• فيدرر، هربرت (1969)، نظرية القياس الهندسي ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff، Felix (1918)، “Dimension und äusseres Mass” (PDF) ، الرياضيات ، 79 (1–2): 157–179، دوى :10.1007 / BF01457179، S2CID  122001234.
• مورجان، فرانك (1988)، نظرية القياس الهندسي ، أكاديميك بريس.
• روجرز، سي إيه (1998)، مقاييس هاوسدورف ، مكتبة كامبريدج الرياضية (الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn، E (1937)، “La Dimension et la Mesure” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 28 : 81–89، دوى : 10.4064 / fm-28-1-81-89.

• بُعد هاوسدورف في موسوعة الرياضيات
• مقياس هاوسدورف في موسوعة الرياضيات