اختبار المشتقة الجزئية الثانية

تقوم مصفوفة هيسيان بتقريب الدالة عند نقطة حرجة باستخدام متعددة حدود من الدرجة الثانية.

في الرياضيات ، اختبار المشتقة الجزئية الثانية هو طريقة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات تستخدم لتحديد ما إذا كانت النقطة الحرجة للدالة هي نقطة دنيا محلية أو نقطة عظمى محلية أو نقطة سرجية .

لنفترض أن f ( x , y ) دالة حقيقية قابلة للتفاضل لمتغيرين، وأن مشتقاتها الجزئية الثانية موجودة ومتصلة . مصفوفة هيسيان H للدالة f هي مصفوفة المشتقات الجزئية للدالة f من الرتبة 2 × 2 . $${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

عرّف D ( x , y ) على أنه المحدد$${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$ من H. وأخيرًا، لنفترض أن ( a , b ) هي نقطة حرجة للدالة f ، أي أن f _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0. عندئذٍ، يؤكد اختبار المشتقة الجزئية الثانية ما يلي: ^{[ 1 ]}

1. إذا كان D ( a , b ) > 0 و f _xx ( a , b ) > 0 فإن ( a , b ) هو الحد الأدنى المحلي لـ f .
2. إذا كان D ( a , b ) > 0 و f _xx ( a , b ) < 0 فإن ( a , b ) هو قيمة عظمى محلية لـ f .
3. إذا كان D ( a , b ) < 0 فإن ( a , b ) هي نقطة سرجية لـ f .
4. إذا كانت D ( a , b ) = 0 فإن النقطة ( a , b ) يمكن أن تكون أي نقطة دنيا أو عظمى أو نقطة سرجية (أي أن الاختبار غير حاسم).

أحيانًا تُستخدم صيغ مكافئة أخرى للاختبار. في الحالتين 1 و2، فإن شرط أن يكون f( _xx) - f _{(yy )} موجبًا عند ^النقطة ( x , y ) يعني أن f( _xx) و f( _yy) لهما نفس الإشارة عند تلك النقطة. لذلك، يمكن أن يكون الشرط الثاني، وهو أن يكون f( _xx) أكبر (أو أصغر) من الصفر، مكافئًا له أن يكون f( _yy) أو tr( H ) = f( _xx) + f( _yy ) أكبر (أو أصغر) من الصفر عند تلك النقطة.

الشرط الضمني في نص الاختبار هو أنه إذا${\displaystyle f_{xx}=0}$أو${\displaystyle f_{yy}=0}$، لا بد أن يكون الأمر كذلك${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$وبالتالي فإن الحالتين 3 أو 4 فقط هما الممكنتان.

بالنسبة لدالة f ذات ثلاثة متغيرات أو أكثر، يوجد تعميم للقاعدة الموضحة أعلاه. في هذا السياق، بدلاً من فحص محدد مصفوفة هيسيان، يجب النظر إلى القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان عند النقطة الحرجة. يمكن تطبيق الاختبار التالي عند أي نقطة حرجة a تكون عندها مصفوفة هيسيان قابلة للعكس :

1. إذا كانت مصفوفة هيسيان موجبة تمامًا (بمعنى آخر، لها جميع القيم الذاتية موجبة) عند a ، فإن f تصل إلى الحد الأدنى المحلي عند a .
2. إذا كانت مصفوفة هيسيان سالبة التحديد (بمعنى آخر، لها جميع القيم الذاتية سالبة) عند a ، فإن f تصل إلى قيمة عظمى محلية عند a .
3. إذا كان لمصفوفة هيسيان قيم ذاتية موجبة وسالبة، فإن a هي نقطة سرجية لـ f (وفي الواقع هذا صحيح حتى لو كانت a متدهورة).

في الحالات غير المذكورة أعلاه، يكون الاختبار غير حاسم. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للدوال ذات ثلاثة متغيرات أو أكثر، لا يوفر محدد مصفوفة هيسيان معلومات كافية لتصنيف النقطة الحرجة، لأن عدد الشروط الكافية المشتركة من الرتبة الثانية يساوي عدد المتغيرات، وشرط الإشارة على محدد مصفوفة هيسيان هو أحد هذه الشروط فقط. تجدر الإشارة إلى أنه في حالة المتغير الواحد، يُعطي شرط مصفوفة هيسيان ببساطة اختبار المشتقة الثانية المعتاد .

في حالة المتغيرين،${\displaystyle D(a,b)}$و${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$هي المحددات الرئيسية لمصفوفة هيسيان. الشرطان الأولان المذكوران أعلاه بشأن إشارات هذه المحددات هما شرطا التحديد الموجب أو السالب لمصفوفة هيسيان. في الحالة العامة لعدد n من المتغيرات، توجد n شرطًا لإشارات المحددات الرئيسية n لمصفوفة هيسيان، وهي مجتمعة تُكافئ التحديد الموجب أو السالب لمصفوفة هيسيان ( معيار سيلفستر ): للحصول على قيمة صغرى محلية، يجب أن تكون جميع المحددات الرئيسية موجبة، بينما للحصول على قيمة عظمى محلية، يجب أن تكون المحددات ذات عدد فردي من الصفوف والأعمدة سالبة، والمحددات ذات عدد زوجي من الصفوف والأعمدة موجبة. انظر مصفوفة هيسيان#مصفوفة هيسيان ذات الحدود لمناقشة تُعمم هذه القواعد على حالة التحسين المقيد بالمساواة.

إيجاد وتصنيف النقاط الحرجة للدالة

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$،

نقوم أولاً بتحديد المشتقات الجزئية

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)}$و${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

تساوي صفرًا، ثم حل المعادلات الناتجة آنيًا لإيجاد النقاط الحرجة الأربع

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$و${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$.

لتصنيف النقاط الحرجة، نفحص قيمة المحدد D ( x , y ) لمصفوفة هيسيان للدالة f عند كل نقطة من النقاط الحرجة الأربع. لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

والآن نقوم بإدخال جميع القيم الحرجة المختلفة التي وجدناها لتصنيفها؛ لدينا

${\displaystyle D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.}$

وبالتالي، يشير اختبار المشتقة الجزئية الثانية إلى أن الدالة f ( x , y ) لها نقاط سرجية عند (0, -1) و(1, -1) ولها قيمة عظمى محلية عند${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$منذ${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0}$عند النقطة الحرجة المتبقية (0, 0)، يكون اختبار المشتقة الثانية غير كافٍ، ويجب استخدام اختبارات من رتبة أعلى أو أدوات أخرى لتحديد سلوك الدالة عند هذه النقطة. (في الواقع، يمكن إثبات أن f تأخذ قيمًا موجبة وسالبة في نطاقات صغيرة حول (0, 0)، وبالتالي فإن هذه النقطة هي نقطة سرجية للدالة f ).

• التباين الثاني

• ستيوارت، جيمس (2005). حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: المفاهيم والسياقات . بروكس/كول. ISBN 0-534-41004-9.

• القيم الصغرى والعظمى النسبية - ملاحظات بول الرياضية عبر الإنترنت - ملاحظات حساب التفاضل والتكامل 3 (جامعة لامار)
• وايسشتاين، إريك دبليو. "اختبار المشتقة الثانية" . عالم الرياضيات .