اختبار المشتقة

وبعبارة أدق، لنفترض أن f دالة حقيقية القيمة معرفة على فترة مفتوحة تحتوي على النقطة x، ولنفترض كذلك أن f متصلة عند x .

• إذا كان هناك عدد موجب r  > 0 بحيث تكون f متزايدة بشكل ضعيف على ( x − r , x ] ومتناقصة بشكل ضعيف على [ x , x + r ) ، فإن f لها قيمة عظمى محلية عند x .
• إذا كان هناك عدد موجب r  > 0 بحيث تكون f متزايدة تمامًا على ( x − r , x ] ومتزايدة تمامًا على [ x , x + r ) ، فإن f متزايدة تمامًا على ( x − r , x + r ) وليس لها قيمة عظمى أو صغرى محلية عند x .

لاحظ أنه في الحالة الأولى، لا يُشترط أن تكون الدالة f متزايدة أو متناقصة تمامًا على يسار أو يمين x ، بينما في الحالة الأخيرة، يُشترط أن تكون f متزايدة أو متناقصة تمامًا. والسبب هو أنه في تعريف القيم العظمى والصغرى المحلية، لا يُشترط أن تكون المتباينة صارمة؛ على سبيل المثال، تُعتبر كل قيمة لدالة ثابتة قيمة عظمى وصغرى محلية في آنٍ واحد.

يعتمد اختبار المشتقة الأولى على "اختبار التزايد والتناقص"، وهو في جوهره نتيجة لنظرية القيمة المتوسطة . وهو نتيجة مباشرة لطريقة تعريف المشتقة وارتباطها بتناقص وتزايد الدالة محليًا، بالإضافة إلى ما ورد في القسم السابق.

لنفترض أن f دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي معرفة على فترة ما تحتوي على النقطة الحرجة a . ولنفترض كذلك أن f متصلة عند a وقابلة للتفاضل على فترة مفتوحة ما تحتوي على a ، باستثناء ربما عند a نفسها.

• إذا كان هناك عدد موجب r  > 0 بحيث يكون لكل x في ( a − r , a ) لدينا f ′ ( x ) ≥ 0، ولكل x في ( a , a + r ) لدينا f ′ ( x ) ≤ 0، فإن f لها قيمة عظمى محلية عند a .
• إذا كان هناك عدد موجب r  > 0 بحيث يكون لكل x في ( a − r , a ) لدينا f ′ ( x ) ≤ 0، ولكل x في ( a , a + r ) لدينا f ′ ( x ) ≥ 0، فإن f لها قيمة دنيا محلية عند a .
• إذا كان هناك عدد موجب r  > 0 بحيث يكون لكل x في ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) لدينا f ′ ( x ) > 0، فإن f متزايدة تمامًا عند a وليس لها قيمة عظمى محلية ولا قيمة صغرى محلية هناك.
• إذا لم يتحقق أي من الشروط المذكورة أعلاه، فإن الاختبار يفشل. (هذا الشرط ليس فارغًا ؛ فهناك دوال لا تحقق أيًا من الشروط الثلاثة الأولى، على سبيل المثال f ( x ) = x² sin(1/ ^x ) ).

مرة أخرى، وبالتوافق مع التعليقات الواردة في القسم الخاص بخصائص الرتابة، لاحظ أنه في الحالتين الأوليين، لا يشترط أن تكون المتباينة صارمة، بينما في الحالة الثالثة، يشترط أن تكون المتباينة صارمة.

يُعد اختبار المشتقة الأولى مفيدًا في حلّ مسائل التحسين في الفيزياء والاقتصاد والهندسة. وبالاقتران مع نظرية القيمة القصوى ، يُمكن استخدامه لإيجاد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين لدالة حقيقية مُعرّفة على فترة مغلقة ومحدودة . وبالاقتران مع معلومات أخرى مثل التقعر ونقاط الانعطاف والخطوط المقاربة ، يُمكن استخدامه لرسم منحنى الدالة.

لنفترض أن لدينا${\displaystyle f''(x)>0}$(البرهان على${\displaystyle f''(x)<0}$(وهو أمر مماثل). بافتراض،${\displaystyle f'(x)=0}$. ثم

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

وبالتالي، بالنسبة لـ h صغيرة بما فيه الكفاية، نحصل على

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

وهذا يعني أن${\displaystyle f'(x+h)<0}$لو${\displaystyle h<0}$(بشكل بديهي، تتناقص قيمة f كلما اقتربت من${\displaystyle x}$من اليسار)، وذلك${\displaystyle f'(x+h)>0}$لو${\displaystyle h>0}$(بشكل بديهي، تتزايد الدالة f كلما اتجهنا يمينًا من x ). الآن، باستخدام اختبار المشتقة الأولى ،${\displaystyle f}$يوجد حد أدنى محلي عند${\displaystyle x}$.

يُستخدم المشتق الثاني، وإن كان استخدامًا مختلفًا، لتحديد ما إذا كانت الدالة محدبة لأعلى أو محدبة لأسفل عند نقطة معينة. مع ذلك، لا يُقدم معلومات حول نقاط الانعطاف . تحديدًا، تكون الدالة f القابلة للتفاضل مرتين محدبة لأعلى إذا${\displaystyle f''(x)>0}$ومقعرة للأسفل إذا${\displaystyle f''(x)<0}$لاحظ أنه إذا${\displaystyle f(x)=x^{4}}$، ثم${\displaystyle x=0}$لها مشتقة ثانية تساوي صفرًا، ومع ذلك فهي ليست نقطة انعطاف، لذا فإن المشتقة الثانية وحدها لا تعطي معلومات كافية لتحديد ما إذا كانت نقطة معينة هي نقطة انعطاف.

يُتيح اختبار المشتقة من الرتبة العليا، أو اختبار المشتقة العامة، تحديد ما إذا كانت النقاط الحرجة للدالة نقاطًا عظمى أو صغرى أو نقاط انعطاف، وذلك لمجموعة أوسع من الدوال مقارنةً باختبار المشتقة من الرتبة الثانية. وكما هو موضح أدناه، فإن اختبار المشتقة من الرتبة الثانية يُطابق رياضيًا الحالة الخاصة n  = 1 في اختبار المشتقة من الرتبة العليا.

لتكن f دالة حقيقية القيمة وقابلة للتفاضل بدرجة كافية على فترة${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$، يترك${\displaystyle c\in I}$ودع${\displaystyle n\geq 1}$ليكن عددًا طبيعيًا . ولتكن جميع مشتقات f عند c تساوي صفرًا حتى المشتقة من الرتبة n، بما في ذلك المشتقة من الرتبة n ، ولكن المشتقة من الرتبة ( n  + 1) لا تساوي صفرًا:

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

هناك أربعة احتمالات، الحالتان الأوليان حيث تكون c قيمة قصوى، والحالتان الأخيرتان حيث تكون c نقطة سرجية (محلية):

• إذا كان (ن+1) عددًا زوجيًا و${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$إذن، فإن c هي قيمة عظمى محلية.
• إذا كان (ن+1) عددًا زوجيًا و${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$إذن، c هي قيمة صغرى محلية.
• إذا كان ( ن+1) فرديًا و${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$، إذن فإن c هي نقطة انعطاف متناقصة تمامًا.
• إذا كان (ن+1) فرديًا و${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$إذن، فإن c هي نقطة انعطاف متزايدة تمامًا.

بما أن (n+1) يجب أن يكون إما فرديًا أو زوجيًا، فإن هذا الاختبار التحليلي يصنف أي نقطة ثابتة للدالة f ، طالما أن مشتقة غير صفرية تظهر في النهاية، حيث${\displaystyle f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$هي المشتقة الأولى غير الصفرية.

لنفترض أننا نريد إجراء اختبار المشتقة العامة على الدالة${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$عند النقطة${\displaystyle x=0}$للقيام بذلك، نقوم بحساب مشتقات الدالة ثم نقوم بتقييمها عند النقطة محل الاهتمام حتى تصبح النتيجة غير صفرية.

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$،${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$،${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$،${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$،${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$،${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$،${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

كما هو موضح أعلاه، عند النقطة${\displaystyle x=0}$، الوظيفة${\displaystyle x^{6}+5}$جميع مشتقاتها عند الصفر تساوي صفرًا، باستثناء المشتقة السادسة التي تكون موجبة. بالتالي، n  =  5، وبناءً على الاختبار، توجد قيمة صغرى محلية عند الصفر.