الجملة (المنطق الرياضي)

في المنطق الرياضي ، تُعرَّف الجملة (أو الصيغة المغلقة ) ^{[ 1 ]} في منطق المسند بأنها صيغة منطقية صحيحة ذات قيم ثنائية، لا تحتوي على متغيرات حرة . يمكن اعتبار الجملة بمثابة تعبير عن قضية ، أي شيء يجب أن يكون صحيحًا أو خاطئًا. يُعدّ شرط عدم وجود متغيرات حرة ضروريًا لضمان أن يكون للجمل قيم صدق ثابتة ومحددة : فبما أن المتغيرات الحرة في الصيغة (العامة) قد تتراوح بين عدة قيم، فإن قيمة صدق هذه الصيغة قد تتغير.

تُعرف الجمل التي تخلو من أي روابط منطقية أو أدوات تحديد كمية بالجمل الذرية ، قياساً على الصيغة الذرية . ثم تُبنى الجمل من الجمل الذرية بتطبيق الروابط وأدوات تحديد الكمية.

تُسمى مجموعة الجمل نظرية ؛ وبالتالي، قد تُسمى الجمل الفردية نظريات . لتقييم صحة (أو خطأ) جملة ما بشكل صحيح، يجب الرجوع إلى تفسير النظرية. بالنسبة لنظريات الرتبة الأولى، تُسمى التفسيرات عادةً بالبنى . عند وجود بنية أو تفسير، يكون للجملة قيمة صحة ثابتة. تكون النظرية قابلة للإرضاء عندما يكون من الممكن تقديم تفسير تكون فيه جميع جملها صحيحة. تُعرف دراسة الخوارزميات لاكتشاف تفسيرات النظريات تلقائيًا والتي تجعل جميع الجمل صحيحة بمشكلة قابلية الإرضاء وفقًا للنظريات .

لتفسير الصيغ، يجب تحديد مجال الخطاب ، مثل الأعداد الحقيقية الموجبة ، والأعداد الحقيقية ، والأعداد المركبة . المثال التالي في منطق الرتبة الأولى

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

هذه جملة. تعني هذه الجملة أنه لكل قيمة لـ y، يوجد قيمة لـ x بحيث${\textstyle y=x^{2}.}$ هذه الجملة صحيحة للأعداد الحقيقية الموجبة، وخاطئة للأعداد الحقيقية، وصحيحة للأعداد المركبة.

ومع ذلك، فإن الصيغة

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

ليست هذه جملة بسبب وجود المتغير الحر y . بالنسبة للأعداد الحقيقية، تكون هذه الصيغة صحيحة إذا استبدلنا (بشكل عشوائي)${\textstyle y=2,}$لكنها خاطئة إذا${\textstyle y=-2.}$

إن وجود متغير حر، وليس قيمة الصواب غير الثابتة، هو المهم؛ فعلى سبيل المثال، حتى بالنسبة للأعداد المركبة، حيث تكون الصيغة صحيحة دائمًا، فإنها لا تُعتبر جملة. بل يمكن تسمية هذه الصيغة بالمسند .

• التعبير الأرضي
• صيغة مفتوحة
• بيان (منطقي)
• اقتراح

• هينمان، ب. (2005). أساسيات المنطق الرياضي . إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-262-0.
• راوتنبرغ، وولفغانغ (2010)، مقدمة موجزة في المنطق الرياضي (  الطبعة الثالثة)، نيويورك : سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا ، doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 ، ISBN 978-1-4419-1220-6.