التشكل القطري (الهندسة الجبرية)

في الهندسة الجبرية، بالنظر إلى تشاكل المخططات${\displaystyle p:X\to S}$، التشكل القطري

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

هو تشاكل تحدده الخاصية العامة لمنتج الألياف${\displaystyle X\times _{S}X}$من p و p مطبقة على الهوية${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$والهوية${\displaystyle 1_{X}}$.

إنها حالة خاصة من تشاكل الرسم البياني : بالنظر إلى تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$على S ، يكون تشاكل الرسم البياني الخاص به هو${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ناتج عن${\displaystyle f}$والهوية${\displaystyle 1_{X}}$. التضمين القطري هو تشاكل الرسم البياني لـ${\displaystyle 1_{X}}$.

بحسب التعريف، فإن X عبارة عن مخطط منفصل على S (${\displaystyle p:X\to S}$يكون تشاكلاً منفصلاً إذا كان التشاكل القطري غمرًا مغلقًا . كذلك، يكون تشاكلاً${\displaystyle p:X\to S}$محليًا، يكون العرض المحدود عبارة عن تشاكل غير متفرع إذا وفقط إذا كان التضمين القطري عبارة عن غمر مفتوح.

على سبيل المثال، لنفترض وجود تنوع جبري على حقل مغلق جبريًا k و${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$خريطة البنية. ثم، بتحديد X مع مجموعة نقاطها العقلانية من الرتبة k ،${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$و${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$يُعطى على النحو التالي${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$ومن هنا جاء اسم التشاكل القطري.

التشاكل المنفصل هو تشاكل${\displaystyle f}$بحيث يكون منتج الألياف من${\displaystyle f}$مع نفسه على طول${\displaystyle f}$يكون قطرها بمثابة مخطط فرعي مغلق - بعبارة أخرى، فإن التشكل القطري هو غمر مغلق .

ونتيجة لذلك، تم وضع مخطط${\displaystyle X}$يتم فصلها عندما يكون قطر${\displaystyle X}$ضمن منتج المخطط${\displaystyle X}$مع نفسه هو غمر مغلق. وبالتأكيد على وجهة النظر النسبية، يمكن تعريف مخطط ليتم فصله بشكل مكافئ إذا كان التشكل الفريد${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$منفصل.

لاحظ أن الفضاء الطوبولوجي Y يكون هاوسدورف إذا وفقط إذا كان التضمين القطري

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

مغلق. في الهندسة الجبرية، تُستخدم الصيغة المذكورة أعلاه لأن المخطط الذي يُمثل فضاء هاوسدورف يكون بالضرورة فارغًا أو صفري الأبعاد. ويكمن الفرق بين السياق الطوبولوجي والهندسة الجبرية في البنية الطوبولوجية لحاصل ضرب الألياف (في فئة المخططات).${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$، وهو يختلف عن ناتج الفضاءات الطوبولوجية.

أي مخطط أفيني Spec A منفصل، لأن القطر يتوافق مع الخريطة الشاملة للحلقات (وبالتالي فهو غمر مغلق للمخططات):

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$.

يترك${\displaystyle S}$هي مخطط يتم الحصول عليه بتحديد خطين أفينيين من خلال خريطة التطابق باستثناء نقطة الأصل (انظر مخطط اللصق#أمثلة ). وهي غير منفصلة. ^{[ 1 ]} في الواقع، صورة التشكل القطري${\displaystyle S\to S\times S}$للصورة أصلان، بينما يحتوي إغلاقها على أربعة أصول.

طريقة كلاسيكية لتعريف حاصل ضرب التقاطع للدورات الجبرية${\displaystyle A,B}$على نوع أملس X يكون ذلك عن طريق تقاطع (تقييد) حاصل ضربهما الديكارتي مع (إلى) القطر: تحديدًا،

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

أين${\displaystyle \delta ^{*}}$هو التراجع على طول التضمين القطري${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$.

• التشكل شبه المنفصل
• التضمين العادي
• التشكل القطري

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157