مخطط سلس

في الهندسة الجبرية ، يُعرف المخطط الأملس على حقل بأنه مخطط يمكن تقريبه جيدًا بواسطة فضاء أفيني بالقرب من أي نقطة. تُعدّ السلاسة إحدى طرق تحديد مفهوم المخطط الخالي من النقاط الشاذة بدقة. ومن الحالات الخاصة مفهوم التنوع الأملس على حقل. وتلعب المخططات الملساء دورًا مهمًا في الهندسة الجبرية للمتشعبات في علم الطوبولوجيا .

أولًا، ليكن X مخططًا أفينيًا من النوع المحدود على حقل k . وبصورة مكافئة، يكون لـ X غمر مغلق في الفضاء الأفيني A n  على k لعدد طبيعي n . عندئذٍ، يكون X هو المخطط الفرعي المغلق المعرّف بالمعادلات g 1 = 0، ...، g r = 0، حيث ينتمي كل g i إلى حلقة كثيرات الحدود k [ x 1 , ..., x n ]. يكون المخطط الأفيني X أملسًا ذو بُعد m على k إذا كان بُعد X يساوي m على الأقل في جوار كل نقطة، وكانت رتبة مصفوفة المشتقات (∂g  i  /∂x  j ) تساوي n - m على الأقل في كل مكان على X. [ 1 ] (يترتب على ذلك أن بُعد X يساوي m في جوار كل نقطة). لا يعتمد سلاسة X على اختيار غمر X في الفضاء الأفيني.

يُفهم من الشرط المفروض على مصفوفة المشتقات أن المجموعة الجزئية المغلقة من X التي تكون فيها جميع المحددات الفرعية ( n − m ) × ( n − m ) لمصفوفة المشتقات مساوية للصفر هي المجموعة الفارغة. وبصورة مكافئة، فإن المثالي في حلقة كثيرات الحدود المولدة بواسطة جميع g _i وجميع تلك المحددات الفرعية هو حلقة كثيرات الحدود بأكملها.

من الناحية الهندسية، تُعطي مصفوفة المشتقات (∂ g _i /∂ x _j ) عند نقطة p في X تطبيقًا خطيًا F ⁿ → F ^r ، حيث F هو حقل البواقي للنقطة p . تُسمى نواة هذا التطبيق فضاء زاريسكي المماسي لـ X عند p . تعني سلاسة X أن بُعد فضاء زاريسكي المماسي يساوي بُعد X بالقرب من كل نقطة؛ أما عند نقطة شاذة ، فيكون فضاء زاريسكي المماسي أكبر.

بشكل أعم، يكون المخطط X على حقل k أملسًا على k إذا كانت لكل نقطة من X جوار مفتوح يمثل مخططًا أفينيًا أملسًا ذا بُعد معين على k . وبالتحديد، يكون المخطط الأملس على k من النوع المحدود محليًا .

يوجد مفهوم أعمّ للتشاكل الأملس للمخططات، وهو تقريبًا تشاكل ذو ألياف ملساء. على وجه الخصوص، يكون المخطط X أملسًا على حقل k إذا وفقط إذا كان التشاكل X → Spec k أملسًا.

المخطط السلس على حقل ما يكون منتظمًا ، وبالتالي طبيعيًا . وعلى وجه الخصوص، يكون المخطط السلس على حقل ما مُختزلًا .

لنُعرّف التنوع على حقل k بأنه مخطط تكاملي منفصل من النوع المحدود على k . عندئذٍ، يكون أي مخطط أملس منفصل من النوع المحدود على k عبارة عن اتحاد منفصل محدود لتنوعات ملساء على k .

بالنسبة لمتنوعة ملساء X على الأعداد المركبة ، فإن فضاء النقاط المركبة X ( C ) لـ X هو متعدد شعب مركب ، باستخدام الطوبولوجيا الكلاسيكية (الإقليدية). وبالمثل، بالنسبة لمتنوعة ملساء X على الأعداد الحقيقية، فإن فضاء النقاط الحقيقية X ( R ) هو متعدد شعب حقيقي ، وقد يكون فارغًا.

لأي مخطط X ذي نوع محدود محليًا على حقل k ، توجد حزمة متماسكة Ω₁ من التفاضلات على X. يكون المخطط X أملسًا على k إذا وفقط إذا كانت ^Ω₁ حزمة متجهة رتبتها تساوي بُعد X بالقرب من كل نقطة. ^{[ 2 ]} في هذه الحالة، ^تُسمى Ω₁ ^حزمة المماس المشترك لـ X. يمكن تعريف حزمة المماس لمخطط أملس على k على أنها الحزمة الثنائية، TX = ( ^Ω₁ ) ^* .

السلاسة خاصية هندسية ، بمعنى أنه لأي امتداد حقل E لـ k ، يكون المخطط X سلسًا على k إذا وفقط إذا كان المخطط X _E  := X × _{Spec k} Spec E سلسًا على E. بالنسبة لحقل مثالي k ، يكون المخطط X سلسًا على k إذا وفقط إذا كان X من النوع المحدود محليًا على k وكان X منتظمًا .

يُقال إن المخطط X أملس بشكل عام من البعد n على k إذا كان X يحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة كثيفة ملساء من البعد n على k . كل تنوع على حقل مثالي (وخاصة حقل مغلق جبريًا ) يكون أملسًا بشكل عام. ^{[ 3 ]}

• الفضاء الأفيني والفضاء الإسقاطي هما مخططات سلسة على حقل k .
• مثال على سطح فائق أملس في الفضاء الإسقاطي P ⁿ على k هو سطح فيرما الفائق x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0، لأي عدد صحيح موجب d قابل للعكس في k .
• مثال على مخطط منفرد (غير أملس) على حقل k هو المخطط الفرعي المغلق x ² = 0 في الخط الأفيني A ¹ على k .
• مثال على التنوع الفردي (غير الأملس) على k هو المنحنى التكعيبي ذو الحدبة x ² = y ³ في المستوى الأفيني A ² ، وهو أملس خارج الأصل ( x ، y ) = (0,0).
• تُعرَّف المتنوعة X ذات البعد الصفري على الحقل k بأنها من الشكل X = Spec E ، حيث E حقل امتداد منتهٍ لـ k . وتكون المتنوعة X ملساء على k إذا وفقط إذا كان E امتدادًا قابلاً للفصل لـ k . وبالتالي، إذا لم يكن E قابلاً للفصل على k ، فإن X تكون مخططًا منتظمًا ولكنها ليست ملساء على k . على سبيل المثال، ليكن k حقل الدوال الكسرية F_{_p} ( t ) لعدد أولي p ، وليكن E = F_{_p} ( t^{^{1/ p}} )؛ عندئذٍ تكون Spec E متنوعة ذات بُعد صفري على k ، وهي مخطط منتظم، ولكنها ليست ملساء على k .
• لا تتميز أنواع شوبرت عموماً بنعومة الصوت.

• ملاحظات د. غايتسغوري حول التسطيح والنعومة على الرابط التالي: http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• ماتسومورا، هيديوكي (1989)، نظرية الحلقات التبادلية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-36764-6، MR 1011461 

• التشكل الإيتالي
• بُعد التنوع الجبري
• مسرد مصطلحات نظرية المخططات
• إنجاز سلس