الملكية العالمية

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لتكن فئة الفضاءات المتجهة${\displaystyle K}$-متجه فوق حقل${\displaystyle K}$ودع${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ليكن فئة الجبر${\displaystyle K}$-Alg over${\displaystyle K}$(بافتراض أنها أحادية وتجميعية ). ليكن$${\displaystyle U:K{\text{-}}\mathbf {Alg} \to K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$$ ليكن المؤثر النسياني الذي يخصص لكل جبر فضاءه المتجهي الأساسي.

بالنظر إلى أي فضاء متجهي${\displaystyle V}$زيادة${\displaystyle K}$يمكننا بناء جبر الموترات${\displaystyle T(V)}$تتميز جبر الموترات بالواقع التالي:

"أي خريطة خطية من${\displaystyle V}$إلى الجبر${\displaystyle A}$يمكن تمديدها بشكل فريد إلى تشاكل جبري من${\displaystyle T(V)}$ل${\displaystyle A}$"

تُعد هذه العبارة خاصية أولية لجبر الموترات لأنها تعبر عن حقيقة أن الزوج${\displaystyle (T(V),i)}$، أين${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$هي خريطة التضمين، وهي تشاكل شامل من الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$إلى الدالة${\displaystyle U}$.

بما أن هذا البناء يصلح لأي فضاء متجهي${\displaystyle V}$نستنتج مما سبق أن${\displaystyle T}$هو دالة من ${\displaystyle K}$-Vect to${\displaystyle K}$-الخوارزمية . هذا يعني أن${\displaystyle T}$يُترك مجاورًا للدالة النسيانية${\displaystyle U}$(انظر القسم أدناه حول العلاقة بالدوال المرافقة ).

يمكن وصف الضرب التصنيفي ببنية شاملة. وللتوضيح، يمكن النظر إلى الضرب الديكارتي في المجموعة ، أو الضرب المباشر في المجموعة ، أو طوبولوجيا الضرب في المجموعة العليا ، حيث توجد الضربات.

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$أن تكون كائنات من فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$مع المنتجات المحدودة. ناتج${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هو كائن${\displaystyle X}$×${\displaystyle Y}$بالإضافة إلى شكلين

${\displaystyle \pi _{1}}$ :${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ :${\displaystyle X\times Y\to Y}$

بحيث يكون ذلك بالنسبة لأي شيء آخر${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$والتشكلات${\displaystyle f:Z\to X}$و${\displaystyle g:Z\to Y}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$بحيث${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$و${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$.

لفهم هذا التوصيف كخاصية شاملة، خذ الفئة${\displaystyle {\mathcal {D}}}$أن تكون فئة المنتج${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$وحدد الدالة القطرية

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

بواسطة${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$و${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$. ثم${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle \Delta }$إلى الكائن${\displaystyle (X,Y)}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$: لو${\displaystyle (f,g)}$أي تشاكل من${\displaystyle (Z,Z)}$ل${\displaystyle (X,Y)}$إذن، يجب أن يساوي تشاكلاً${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$من${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ ل${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$ثم يتبع ذلك${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$. كرسم بياني تبادلي:

على سبيل المثال، بالنسبة للضرب الديكارتي في المجموعة ، فإن التشكل${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$يتألف من إسقاطين${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$و${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$. بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle Z}$والوظائف${\displaystyle f,g}$الخريطة الفريدة التي تجعل المخطط المطلوب تبادليًا تُعطى بواسطة${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$[ ^{3 ]​}

تُعدّ المنتجات الفئوية نوعًا خاصًا من النهايات في نظرية الفئات. ويمكن تعميم المثال السابق ليشمل النهايات والنهايات المشتركة العشوائية.

يترك${\displaystyle {\mathcal {J}}}$و${\displaystyle {\mathcal {C}}}$كن فئات مع${\displaystyle {\mathcal {J}}}$فئة فهرس صغيرة ودع${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ليكن فئة الدوال المناظرة . الدالة القطرية

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

الدالة التي تربط كل كائن${\displaystyle N}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى الدالة الثابتة${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$(أي${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$لكل${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {J}}}$و${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$لكل${\displaystyle f:X\to Y}$في${\displaystyle {\mathcal {J}}}$) وكل تشاكل${\displaystyle f:N\to M}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى التحول الطبيعي${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$يُعرَّف على النحو التالي، لكل كائن${\displaystyle X}$ل${\displaystyle {\mathcal {J}}}$المكون$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$ في${\displaystyle X}$بعبارة أخرى، التحويل الطبيعي هو التحويل الذي يتميز بوجود مكون ثابت.${\displaystyle f:N\to M}$لكل غرض من${\displaystyle {\mathcal {J}}}$.

بالنظر إلى دالة${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$(يُنظر إليه على أنه كائن في${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$) حد​${\displaystyle F}$إن وُجد، فهو ليس إلا تشاكلاً شاملاً من${\displaystyle \Delta }$ل${\displaystyle F}$. وبالمثل، فإن الحد المشترك لـ${\displaystyle F}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle \Delta }$.

إن تعريف كمية ما لا يضمن وجودها. بالنظر إلى دالة${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$وشيء${\displaystyle X}$ل${\displaystyle {\mathcal {D}}}$قد يوجد أو لا يوجد تشاكل شامل من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle F}$. إذا كان، مع ذلك، تشاكلًا شاملًا${\displaystyle (A,u)}$إذا كان موجودًا، فهو فريدٌ جوهريًا. تحديدًا، هو فريدٌ حتى تماثلٍ فريد : إذا${\displaystyle (A',u')}$إذا كان هناك زوج آخر، فإنه يوجد تماثل فريد ${\displaystyle k:A\to A'}$بحيث${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة عن طريق الاستبدال${\displaystyle (A,u')}$في تعريف التشاكل الشامل.

إنه الزوج${\displaystyle (A,u)}$وهو أمر فريد من نوعه في هذا الصدد.${\displaystyle A}$هي فريدة من نوعها فقط حتى التماثل. في الواقع، إذا${\displaystyle (A,u)}$هو تشاكل شامل و${\displaystyle k:A\to A'}$إذا كان أي تماثل، فإن الزوج${\displaystyle (A',u')}$، أين${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$وهو أيضاً شكل من أشكال التشاكل الشامل.

يمكن إعادة صياغة تعريف التشاكل الشامل بطرق متنوعة. ليكن${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$كن دالة ودع${\displaystyle X}$أن يكون موضوعًا لـ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$إذن، فإن العبارات التالية متكافئة:

• ${\displaystyle (A,u)}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$هو عنصر أولي من فئة الفاصلة${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$هو تمثيل لـ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$، حيث مكوناتها${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

لكل عنصر${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

العبارات المزدوجة متكافئة أيضاً:

• ${\displaystyle (A,u)}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$هو كائن طرفي من فئة الفاصلة${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$هو تمثيل لـ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$، حيث مكوناتها${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

لكل عنصر${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

يفترض${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle X_{1}}$ل${\displaystyle F}$و${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle X_{2}}$ل${\displaystyle F}$بحسب الخاصية العامة للتشاكلات العامة، فإنه بالنظر إلى أي تشاكل${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا:

إذا كان كل كائن${\displaystyle X_{i}}$ل${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يُقر بوجود تشاكل شامل لـ${\displaystyle F}$ثم المهمة${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$و${\displaystyle h\mapsto g}$يُعرّف دالة${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$الخرائط${\displaystyle u_{i}}$ثم حدد تحويلاً طبيعياً من${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$(دالة التطابق على${\displaystyle {\mathcal {D}}}$) ل${\displaystyle F\circ G}$الدوال${\displaystyle (F,G)}$ثم يكونان زوجًا من الدوال المرافقة ، مع${\displaystyle G}$المرافق الأيسر لـ${\displaystyle F}$و${\displaystyle F}$المرافق الأيمن لـ${\displaystyle G}$.

تنطبق عبارات مماثلة على الحالة المزدوجة للتشاكلات الطرفية من${\displaystyle F}$إذا كانت هذه التشكلات موجودة لكل${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يحصل المرء على دالة${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$وهو المرافق الأيمن لـ${\displaystyle F}$(لذا${\displaystyle F}$هو المرافق الأيسر لـ${\displaystyle G}$).

في الواقع، تنشأ جميع أزواج الدوال المرافقة من الإنشاءات الشاملة بهذه الطريقة. ليكن${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$ليكن زوجًا من الدوال المرافقة ذات الوحدة${\displaystyle \eta }$ووحدة مشتركة${\displaystyle \epsilon }$ (انظر المقال الخاص بالدوال المرافقة للاطلاع على التعريفات). عندئذٍ، يكون لدينا تشاكل شامل لكل كائن في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:

• لكل عنصر${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$،${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle G}$أي للجميع${\displaystyle f:X\to G(Y)}$يوجد شيء فريد${\displaystyle g:F(X)\to Y}$والتي تتبادل المخططات التالية من أجلها.
• لكل عنصر${\displaystyle Y}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$،${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$هو تشاكل شامل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle Y}$أي للجميع${\displaystyle g:F(X)\to Y}$يوجد شيء فريد${\displaystyle f:X\to G(Y)}$والتي تتبادل المخططات التالية من أجلها.

تُعدّ البنى الشاملة أكثر عمومية من أزواج الدوال المرافقة: فالبنية الشاملة تُشبه مسألة تحسين؛ إذ تُنتج زوجًا مرافقًا إذا وفقط إذا كان لهذه المسألة حل لكل عنصر من عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(بمعنى آخر، كل شيء من${\displaystyle {\mathcal {D}}}$).