مساحة متراصة متسلسلة

في الرياضيات ، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة متراصة تسلسليًا إذا كان كل تسلسل من النقاط في${\displaystyle X}$يحتوي على متتالية فرعية متقاربة تتقارب إلى نقطة في${\displaystyle X}$.

كل فضاء متري هو بطبيعته فضاء طوبولوجي، وبالنسبة للفضاءات المترية، فإن مفهومي التراص والتراص التتابعي متكافئان (باستخدام بديهية الاختيار القابل للعد ). ومع ذلك، توجد فضاءات طوبولوجية متراصة تتابعياً ولكنها ليست متراصة، وفضاءات طوبولوجية متراصة ولكنها ليست متراصة تتابعياً.

إن فضاء جميع الأعداد الحقيقية ذي الطوبولوجيا القياسية ليس متراصًا تسلسليًا؛${\displaystyle (s_{n})}$مقدم من${\displaystyle s_{n}=n}$لجميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$هي متتالية ليس لها متتالية فرعية متقاربة.

في فضاء قابل للعد الأول ، متتالية${\displaystyle x_{n}}$يكون للمتتالية الفرعية متقاربة إذا وفقط إذا

${\displaystyle \bigcap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}}$

غير فارغة. في الواقع، تقع نهاية متتالية جزئية متقاربة بالضرورة في التقاطع المذكور أعلاه (ينطبق هذا الاتجاه على أي فضاء طوبولوجي). على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle x}$إذا كان في التقاطع أعلاه، فليكن${\displaystyle x\in \cdots \subset U_{2}\subset U_{1}}$كن قاعدة حي قابلة للعد في${\displaystyle x}$ثم، بالاستقراء، اختر الأعداد الصحيحة${\displaystyle n_{i}>0}$بحيث${\displaystyle n_{i}}$هو أصغر عدد صحيح يتمتع بالخاصية (1)${\displaystyle n_{i}>n_{i-1}}$و(2)${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{i}}$وهذا ممكن لأن${\displaystyle \mathbb {N} }$هي مجموعة مرتبة ترتيباً جيداً . إذن${\displaystyle x_{n_{j}}\to x}$.

تُسمى النقطة الواقعة في التقاطع المذكور أعلاه نقطة عنقودية . وبالتالي، بالنسبة للفضاءات القابلة للعد الأولى، فإن تعريف الفضاء المتراص تسلسليًا هو نفسه القول بأن كل تسلسل في الفضاء له نقطة عنقودية.

إذا كان الفضاء فضاءً متريًا ، فإنه يكون متراصًا تسلسليًا إذا وفقط إذا كان متراصًا (انظر نظرية هاين-بوريل، قسم  التعميم ). ^{[ 1 ]} إليك كيفية إثبات ذلك، باستخدام المجموعة القابلة للعد فقط . علينا أن نُبين أن "متراص تسلسليًا" يستلزم "متراصًا". أولًا، نلاحظ${\displaystyle X}$محدود تمامًا، بمعنى لكل${\displaystyle \epsilon >0}$، هناك غطاء محدود من${\displaystyle X}$تتكون من كرات مفتوحة نصف قطرها${\displaystyle \epsilon }$في الواقع، إذا فشل ذلك بالنسبة للبعض${\displaystyle \epsilon }$، باستخدام الاختيار المعدود، اختر تسلسلًا${\displaystyle x_{n}}$بحيث

${\displaystyle x_{n}\not \in B(x_{1},\epsilon )\cup \cdots \cup B(x_{n-1},\epsilon ).}$

هذا التسلسل${\displaystyle x_{n}}$لا يوجد لها متتالية فرعية متقاربة، وهذا تناقض. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle X}$له أساس قابل للعد. لذا، يكفي أن نوضح${\displaystyle X}$هي متراصة قابلة للعد؛ أي أن كل متتالية تنازلية${\displaystyle E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$للمجموعات الجزئية المغلقة غير الفارغة تقاطع غير فارغ. لكن هذا واضح لأن

${\displaystyle \emptyset \neq \cap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}\subset \cap _{n}E_{n}}$

لبعض التسلسلات${\displaystyle x_{n}}$مع${\displaystyle x_{n}\in E_{n}}$.${\displaystyle \square }$

The first uncountable ordinal with the order topology is an example of a sequentially compact topological space that is not compact. The topological product of ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ copies of the closed unit interval is an example of a compact space that is not sequentially compact.^[2]

A topological space ${\displaystyle X}$ is said to be limit point compact if every infinite subset of ${\displaystyle X}$ has a limit point in ${\displaystyle X}$, and countably compact if every countable open cover has a finite subcover. In a metric space, the notions of sequential compactness, limit point compactness, countable compactness and compactness are all equivalent (if one assumes the axiom of choice).

In a sequential (Hausdorff) space sequential compactness is equivalent to countable compactness.^[3]

There is also a notion of a one-point sequential compactification—the idea is that the non convergent sequences should all converge to the extra point.^[4]

• Bolzano–Weierstrass theorem – Bounded sequence in finite-dimensional Euclidean space has a convergent subsequence
• Fréchet–Urysohn space – Type of topological space
• Sequence covering maps
• Sequential space – Topological space characterized by sequences

• Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.