بديهية الاختيار المعدود

كمثال على تطبيق AC _ω ، إليك برهان (من ZF  +  AC _ω ) على أن كل مجموعة غير منتهية هي مجموعة ديديكيند غير منتهية : ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle X}$أن تكون لانهائية. لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$، يترك${\displaystyle A_{n}}$ليكن مجموعة الكل${\displaystyle n}$- صفوف من العناصر المتميزة لـ${\displaystyle X}$. منذ${\displaystyle X}$لا نهائي، كل${\displaystyle A_{n}}$غير فارغة. تطبيق AC _ω ينتج عنه متتالية${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$حيث كل${\displaystyle B_{n}}$هو${\displaystyle n}$-tuple. يمكن بعد ذلك دمج هذه المجموعات في تسلسل واحد${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من عناصر${\displaystyle X}$ربما مع عناصر متكررة. يؤدي حذف التكرارات إلى إنتاج تسلسل${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من عناصر متميزة، حيث

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$، مع${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$.

هذا${\displaystyle i}$موجود، لأنه عند الاختيار${\displaystyle c_{n}}$ليس من الممكن أن تقوم جميع عناصر${\displaystyle B_{n+1}}$أن تكون من بين${\displaystyle n}$العناصر المحددة مسبقًا. لذا${\displaystyle X}$تحتوي على مجموعة قابلة للعد. الدالة التي تربط كل عنصر${\displaystyle c_{n}}$ل${\displaystyle c_{n+1}}$(ويترك جميع العناصر الأخرى من${\displaystyle X}$(ثابت) هو خريطة واحدة لواحد من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle X}$وهذا ليس شاملاً، مما يثبت أن${\displaystyle X}$هو ديديكيند-لانهائي. ^{[ 2 ]}

إن بديهية الاختيار القابل للعد (AC _ω ) أضعف من بديهية الاختيار التابع (DC)، ^{[ 3 ]} والتي بدورها أضعف من بديهية الاختيار (AC). وتتحقق بديهية الاختيار التابع (DC)، وبالتالي بديهية الاختيار القابل للعد (AC _ω) ، في نموذج سولوفاي ، الذي وضعه روبرت م. سولوفاي عام 1970 كنموذج لنظرية المجموعات دون بديهية الاختيار الكاملة، حيث تكون جميع مجموعات الأعداد الحقيقية قابلة للقياس. ^{[ 4 ]}

تُعدّ كلٌّ من مبرهنة أوريسون (UL) ومبرهنة تيتز للتمديد (TET) مستقلتين عن ZF+AC _ω : إذ توجد نماذج لـ ZF+AC _ω تكون فيها كلٌّ من UL وTET صحيحة، ونماذج أخرى تكون فيها خاطئة. وتُستنتج كلٌّ من UL وTET ضمنيًا من DC. ^{[ 5 ]}

أظهر بول كوهين أن AC _ω غير قابلة للإثبات في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) بدون بديهية الاختيار. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، يمكن إثبات أن بعض المجموعات غير الفارغة القابلة للعد تحتوي على دالة اختيار في ZF بدون أي شكل من أشكال بديهية الاختيار. على سبيل المثال،${\displaystyle V_{\أوميغا }\setminus \{\emptyset \}}$يحتوي على وظيفة اختيار، حيث ${\displaystyle V_{\omega }}$هي مجموعة المجموعات المنتهية وراثيًا ، أي أول مجموعة ذات رتبة غير منتهية في كون فون نيومان . دالة الاختيار هي: { ⟨ W _n , W _k ⟩  : k < n < ω ∧ W _k ∈ W _n ∧ ∀ j < k ( W _j ∉ W _n ) } حيث W _n = { W _k  : k < n ∧ ( n mod 2 ^{k +1} ) ≥ 2 ^k } لـ n < ω . تُدرج W كل مجموعة منتهية وراثيًا مرة واحدة فقط، وهي مبنية على العدد الثنائي n الذي يحتوي على 1 في كل خانة تُقابل k حيث W _k ∈ W _n . مثال آخر هو مجموعة الفترات المفتوحة الصحيحة والمحدودة للأعداد الحقيقية ذات النهايات النسبية.

يكفي إثبات أن اتحاد عدد قابل للعد من المجموعات القابلة للعد هو اتحاد قابل للعد. هاتان العبارتان ليستا متكافئتين: يقدم نموذج كوهين الأول مثالاً يكون فيه اتحاد المجموعات القابلة للعد قابلاً للعد، ولكن لا تتحقق فيه _{العبارة AC ω .} ^{[ 7 ]}

توجد العديد من الصيغ المكافئة لبديهية الاختيار القابل للعد، بمعنى أنه يمكن إثبات أي منها في ZF بافتراض أي صيغة أخرى. وتشمل هذه الصيغ ما يلي: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• كل مجموعة قابلة للعد من المجموعات غير الفارغة لها دالة اختيار. ^{[ 8 ]}
• كل مجموعة لانهائية من المجموعات غير الفارغة لها مجموعة فرعية لانهائية ذات دالة اختيار. ^{[ 8 ]}
• كل فضاء سيغما-متراص (اتحاد عدد قابل للعد من الفضاءات المتراصة ) هو فضاء ليندلوف (لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي قابل للعد). ^{[ 8 ]} الفضاء المتري يكون سيغما-متراصًا إذا وفقط إذا كان ليندلوف. ^{[ 9 ]}
• كل فضاء قابل للعد من الدرجة الثانية (له قاعدة قابلة للعد من المجموعات المفتوحة) هو فضاء قابل للفصل (له مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد). ^{[ 8 ]} يكون الفضاء المتري قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان متراصًا من الدرجة سيجما. ^{[ 9 ]}
• كل دالة حقيقية متصلة بالتتابع في فضاء متري هي دالة متصلة . ^{[ 8 ]}
• كل نقطة تراكم لمجموعة جزئية من فضاء متري هي نهاية لتسلسل من النقاط من المجموعة الجزئية. ^{[ 9 ]}
• ماجستير Rasiowa -Sikorski lemma${\displaystyle (\aleph _{0})}$، وهو شكل قابل للعد من بديهية مارتن : في ترتيب جزئي مع شرط السلسلة القابلة للعد ، تحتوي كل عائلة قابلة للعد من المجموعات الجزئية الكثيفة على مرشح يتقاطع مع جميع المجموعات الجزئية. (في هذا السياق، تُسمى المجموعة كثيفة إذا كان لكل عنصر من عناصر الترتيب الجزئي حد أدنى في المجموعة.) ^{[ 8 ]}