تسلسل سيدون

في نظرية الأعداد ، متتالية سيدون هي متتالية${\displaystyle A=\{a_{0},a_{1},a_{2},\dots \}}$الأعداد الطبيعية التي تكون فيها جميع المجاميع الزوجية${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$(ل${\displaystyle i\leq j}$) مختلفة. تُسمى متتابعات سيدون أيضًا بمجموعات سيدون ؛ وقد سُميت على اسم عالم الرياضيات المجري سيمون سيدون ، الذي قدم المفهوم في دراساته حول متسلسلات فورييه .

تتمثل المشكلة الرئيسية في دراسة متتابعات سيدون، التي طرحها سيدون ^{[ 1 ]} ، في إيجاد الحد الأقصى لعدد العناصر التي يمكن أن تحتويها متتابعة سيدون، حتى حد معين.${\displaystyle x}$على الرغم من وجود كم كبير من الأبحاث، ^{[ 2 ]} إلا أن السؤال ظل دون حل. ^{[ 3 ]}

لقد أثبت بول إردوس وبال توران ذلك في كل الأحوال${\displaystyle x>0}$، عدد العناصر الأصغر من${\displaystyle x}$في تسلسل صيدون يكون على الأكثر${\displaystyle {\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})}$قبل ذلك بسنوات عديدة، قام جيمس سينجر بإنشاء تسلسلات سيدون مع${\displaystyle {\sqrt {x}}(1-o(1))}$الحدود الأقل من x . تم تحسين الحد الأعلى إلى${\displaystyle {\sqrt {x}}+{\sqrt[{4}]{x}}+1}$في عام 1969 ^{[ 4 ]} وإلى${\displaystyle {\sqrt {x}}+0.998{\sqrt[{4}]{x}}}$في عام 2023. ^{[ 5 ]}

في عام 1994، عرض إردوش 500 دولار مقابل إثبات أو دحض القيد${\displaystyle {\sqrt {x}}+o(x^{\varepsilon })}$[ ^{6 ]​}

مجموعة فرعية من صيدا${\displaystyle A\subset [n]:=\{1,2,\dots ,n\}}$يُطلق عليه اسم كثيف إذا${\displaystyle \left|A\right|=\max \left|S\right|}$حيث يتم أخذ القيمة القصوى على جميع المجموعات الفرعية لسيدون من${\displaystyle [n]}$تتمتع بنية مجموعات سيدون الكثيفة بأدبيات غنية ^{[ 7 ] [ 8 ]} ، وقد أثبتت الإنشاءات الكلاسيكية التي قام بها كل من إردوش-توران ^{[ 9 ]} ، وسينغر ^{[ 10 ]} ، وبوز ^{[ 11 ]} ، وسبنس ^{[ 12 ] [ 13 ]} ، وهيوز ^{[ 14 ]} ، وسيليرويلو ^{[ 15 ]} أن مجموعة سيدون كثيفة${\displaystyle A}$يرضي${\displaystyle \left|A\right|\geq \left(1-o(1)\right){\sqrt {n}}}$وكما لاحظ روزا ، "بطريقة ما، تتضمن جميع الإنشاءات المعروفة لمجموعات سيدون الكثيفة الأعداد الأولية". ^{[ 16 ]}

أظهرت نتيجة حديثة لبالاسوبرامانيان وداتا ^{[ 17 ]} أنه إذا كانت مجموعة سيدون كثيفة${\displaystyle A=\{a_{1},\dots ,a_{\left|A\right|}\}\subset [n]}$له عددية${\displaystyle |A|=n^{1/2}-L^{\prime }}$، ثم

${\displaystyle a_{m}=m\cdot n^{1/2}+{\mathcal {O}}\left(n^{7/8}\right)+{\mathcal {O}}\left(L^{1/2}\cdot n^{3/4}\right)}$

أين${\displaystyle L=\max\{0,L^{\prime }\}}$وهذا يعطي مباشرة بعض النتائج التقاربية المفيدة بما في ذلك

${\displaystyle \sum _{a\in A}a^{\ell }={\frac {1}{\ell +1}}\cdot n^{\frac {2\ell +1}{2}}+{\mathcal {O}}\left(n^{\frac {8\ell +3}{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left(L^{1/2}\cdot n^{\frac {4\ell +1}{4}}\right)}$

لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle \ell }$.

غالباً ما تُظهر مجموعات سيدون الكثيفة تناظراتٍ مُدهشة. على سبيل المثال، من المعروف أن مجموعات سيدون الكثيفة موزعة بشكل منتظم، ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} ومتساوية التوزيع في فئات البقايا، ^{[ 21 ] [ 22 ]} وحتى في جوارات بور الملساء. ^{[ 23 ]}

كما أظهر إردوش أنه بالنسبة لأي متتالية صيدون لانهائية معينة${\displaystyle A}$مع${\displaystyle A(x)}$يشير إلى عدد عناصره حتى${\displaystyle x}$، $${\displaystyle \liminf _{x\to \infty }{\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1.}$$أي أن متواليات سيدون اللانهائية تكون أرق من متواليات سيدون المحدودة الأكثر كثافة.

أما في الاتجاه الآخر، فقد لاحظ تشاولا وميان أن الخوارزمية الجشعة تعطي متتالية سيدون لانهائية مع${\displaystyle A(x)>c{\sqrt[{3}]{x}}}$لكل${\displaystyle x}$. ^{[ 24 ]} قام أجتاي , كوملوس , وسيمريدي بتحسين هذا من خلال بناء ^{[ 25 ]} لتسلسل صيدا مع $${\displaystyle A(x)>{\sqrt[{3}]{x\log x}}.}$$

أفضل حد أدنى تم التوصل إليه حتى الآن قدمه إيمري ز. روزا ، الذي أثبت ^{[ 26 ]} أن متتالية سيدون مع $${\displaystyle A(x)>x^{{\sqrt {2}}-1-o(1)}}$$ موجود. افترض إردوش أن مجموعة صيدون اللانهائية${\displaystyle A}$يوجد من أجل${\displaystyle A(x)>x^{1/2-o(1)}}$يثبت. وقد أظهر هو وريني ^{[ 27 ]} وجود متتالية${\displaystyle \{a_{0},a_{1},\dots \}}$مع الكثافة التخمينية ولكنها لا تحقق سوى الخاصية الأضعف المتمثلة في وجود ثابت${\displaystyle k}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$يوجد على الأكثر${\displaystyle k}$حلول المعادلة${\displaystyle a_{i}+a_{j}=n}$(لكي يكون تسلسل سيدون، يتطلب ذلك أن${\displaystyle k=1}$.)

افترض إردوش أيضًا وجود متعددة حدود ذات معاملات صحيحة غير ثابتة ، تشكل قيمها عند الأعداد الطبيعية متتالية سيدون. وتساءل تحديدًا عما إذا كانت مجموعة القوى الخامسة مجموعة سيدون. وقد اقترب روزا من هذا الاستنتاج بإثبات وجود عدد حقيقي${\displaystyle c}$مع${\displaystyle 0<c<1}$بحيث يكون نطاق الدالة${\displaystyle f(x)=x^{5}+\lfloor cx^{4}\rfloor }$هي متتالية سيدون، حيث${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$يشير إلى الجزء الصحيح .${\displaystyle c}$هذه الدالة غير نسبية${\displaystyle f(x)}$ليست كثيرة حدود. إن القول بأن مجموعة القوى الخامسة هي مجموعة سيدون هو حالة خاصة من التخمين اللاحق الذي وضعه لاندر وباركين وسيلفريدج .

وجود متتاليات سيدون التي تشكل أساسًا تقاربيًا للترتيب${\displaystyle m}$(بمعنى أن كل عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$يمكن كتابة ذلك على أنه مجموع${\displaystyle m}$تم إثبات أن الأرقام من المتتالية${\displaystyle m=5}$في عام 2010، ^{[ 28 ]}${\displaystyle m=4}$في عام 2014، ^{[ 29 ]}${\displaystyle m=3+\varepsilon }$(مجموع أربعة حدود يكون أحدها أصغر من${\displaystyle n^{\varepsilon }}$، لقيم موجبة صغيرة بشكل تعسفي${\displaystyle \varepsilon }$) في عام 2015 ^{[ 30 ]} و${\displaystyle m=3}$في عام 2024. ^{[ 31 ] [ 32 ]} وقد طُرحت هذه الأخيرة كمشكلة في ورقة بحثية لإردوش وساركوزي وسوس في عام 1994. ^{[ 33 ]}

جميع مجموعات سيدون المنتهية هي حكام غولومب ، والعكس صحيح.

ولتوضيح ذلك، لنفترض جدلاً أن${\displaystyle S}$هي مجموعة صيدون وليست حاكم غولومب. وبما أنها ليست حاكم غولومب، فلا بد أن يكون هناك أربعة أعضاء بحيث${\displaystyle a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle a_{i}+a_{l}=a_{k}+a_{j}}$وهذا يتناقض مع الفرضية القائلة بأن${\displaystyle S}$هي مجموعة صيدون. لذلك، يجب أن تكون جميع مجموعات صيدون حكامًا من غولومب. وبحجة مماثلة، يجب أن تكون جميع حكام غولومب مجموعات صيدون.

• تسلسل موسر-دي بروين
• سومست