التوقيع (المنطقي)

في المنطق الرياضي ، تُعرَّف البصمة بأنها وصف للرموز غير المنطقية للغة صورية . وفي الجبر الشامل ، تُحدد البصمة العمليات التي تُميز بنية جبرية . وفي نظرية النماذج ، تُستخدم البصمات لكلا الغرضين. ونادرًا ما تُذكر صراحةً في المعالجات الفلسفية للمنطق.

بصورة رسمية، يمكن تعريف التوقيع (المصنف أحاديًا) على أنه رباعية.${\displaystyle \sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right),}$أين${\displaystyle S_{\operatorname {func} }}$و${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }}$هي مجموعات منفصلة لا تحتوي على أي رموز منطقية أساسية أخرى، وتسمى على التوالي

• رموز الدوال (أمثلة:${\displaystyle +,\times }$)
• رموز العلاقات أو المسندات (أمثلة:${\displaystyle \,\leq ,\,\in }$)
• الرموز الثابتة (أمثلة:${\displaystyle 0,1}$)

ووظيفة${\displaystyle \operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N} }$والتي تُعيّن عددًا طبيعيًا يُسمى عدد المعاملات لكل دالة أو رمز علاقة. يُسمى رمز الدالة أو العلاقة${\displaystyle n}$-ary إذا كانت رتبته هي${\displaystyle n.}$يُعرّف بعض المؤلفين النظام الصفري (${\displaystyle 0}$(-ary) رمز الدالة كرمز ثابت ، وإلا يتم تعريف الرموز الثابتة بشكل منفصل.

يُطلق على التوقيع الذي لا يحتوي على رموز وظيفية اسمالتوقيع العلائقي ، والتوقيع الذي لا يحتوي على رموز علائقية يُسمى توقيعًا علائقيًا.التوقيع الجبري . ^{[ 1 ]} أالتوقيع المحدود هو توقيع بحيث${\displaystyle S_{\operatorname {func} }}$و${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }}$هي محدودة . وبشكل أعم، عدد عناصر التوقيع${\displaystyle \sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle |\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|.}$

اللغة التوقيع هي مجموعة جميع الجمل السليمة المبنية من الرموز الموجودة في ذلك التوقيع بالإضافة إلى الرموز الموجودة في النظام المنطقي.

في الجبر الشامل، الكلمةاكتب أويُستخدم نوع التشابه غالبًا كمرادف لكلمة "توقيع". في نظرية النماذج، التوقيع هو${\displaystyle \sigma }$يُطلق عليه غالبًا اسمالمفردات ، أو المرتبطة باللغة(من الدرجة الأولى)${\displaystyle L}$والتي توفر لها الرموز غير المنطقية . ومع ذلك، فإن عدد عناصر اللغة${\displaystyle L}$سيكون دائمًا لانهائيًا؛ إذا${\displaystyle \sigma }$إذا كانت محدودة${\displaystyle |L|}$سيكون${\displaystyle \aleph _{0}}$.

ولأن التعريف الرسمي غير ملائم للاستخدام اليومي، فغالباً ما يتم اختصار تعريف التوقيع المحدد بطريقة غير رسمية، كما في:

التوقيع القياسي للمجموعات الأبيلية هو${\displaystyle \sigma =(+,-,0),}$أين${\displaystyle -}$هو عامل أحادي.

أحيانًا يُنظر إلى التوقيع الجبري على أنه مجرد قائمة من المعاملات، كما في:

نوع التشابه للمجموعات الأبيلية هو${\displaystyle \sigma =(2,1,0).}$"

رسميًا، سيحدد هذا رموز وظائف التوقيع على النحو التالي:${\displaystyle f_{2}}$(وهو نظام ثنائي)،${\displaystyle f_{1}}$(وهو أحادي) و${\displaystyle f_{0}}$(وهو أمر باطل)، ولكن في الواقع يتم استخدام الأسماء المعتادة حتى فيما يتعلق بهذا الاتفاق.

في المنطق الرياضي ، غالبًا ما لا يُسمح للرموز بأن تكون صفرية، لذا يجب التعامل مع الرموز الثابتة بشكل منفصل بدلاً من التعامل معها كرموز دوال صفرية. وهي تُشكل مجموعة.${\displaystyle S_{\operatorname {const} }}$منفصل عن${\displaystyle S_{\operatorname {func} },}$والتي عليها دالة الرتبة${\displaystyle \operatorname {ar} }$غير مُعرَّف. مع ذلك، يُؤدي هذا إلى تعقيد الأمور، لا سيما في البراهين الاستقراءية على بنية الصيغة، حيث يجب مراعاة حالة إضافية. يُمكن محاكاة أي رمز علاقة صفري، وهو غير مسموح به أيضًا بموجب هذا التعريف، برمز علاقة أحادي مع جملة تُعبِّر عن أن قيمته متساوية لجميع العناصر. يفشل هذا التحويل فقط مع البنى الفارغة (التي غالبًا ما تُستبعد اصطلاحًا). إذا سُمح بالرموز الصفرية، فإن كل صيغة من صيغ منطق القضايا تُصبح أيضًا صيغة من صيغ منطق الرتبة الأولى .

مثال على التوقيع اللانهائي${\displaystyle S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}}$و${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }=\{=\}}$لصياغة التعبيرات والمعادلات المتعلقة بفضاء متجهي فوق حقل قياسي لانهائي بشكل رسمي${\displaystyle F,}$حيث كل${\displaystyle f_{a}}$يشير إلى العملية الأحادية للضرب القياسي بواسطة${\displaystyle a.}$وبهذه الطريقة، يمكن الحفاظ على التوقيع والمنطق بترتيب أحادي، حيث تكون المتجهات هي الترتيب الوحيد. ^{[ 2 ]}

في سياق منطق الرتبة الأولى ، تُعرف الرموز الموجودة في التوقيع أيضًا بالرموز غير المنطقية ، لأنها تشكل مع الرموز المنطقية الأبجدية الأساسية التي يتم تعريف لغتين رسميتين عليها استقرائيًا: مجموعة المصطلحات فوق التوقيع ومجموعة الصيغ (الصحيحة) فوق التوقيع.

في البنية ، يربط التفسير رموز الوظائف والعلاقات بالكائنات الرياضية التي تبرر أسماءها: تفسير${\displaystyle n}$رمز الدالة -ary${\displaystyle f}$في هيكل${\displaystyle \mathbf {A} }$مع النطاق${\displaystyle A}$هي دالة${\displaystyle f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A,}$وتفسير${\displaystyle n}$رمز العلاقة -ary هو علاقة${\displaystyle R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}.}$هنا${\displaystyle A^{n}=A\times A\times \cdots \times A}$يشير إلى${\displaystyle n}$حاصل الضرب الديكارتي للمجال${\displaystyle A}$مع نفسه، وهكذا${\displaystyle f}$هو في الواقع${\displaystyle n}$الدالة -ary، و${\displaystyle R}$أن${\displaystyle n}$العلاقة -ary.

بالنسبة للمنطق متعدد الأنواع وللهياكل متعددة الأنواع ، يجب أن تتضمن التوقيعات معلومات حول أنواع البيانات. وأبسط طريقة للقيام بذلك هي عبرأنواع الرموز التي تلعب دور المعامل المعمم. ^{[ 3 ]}

• جبر الحدود – بنية جبرية مُولَّدة بحرية على توقيع مُعطى 

• بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، إتش بي (1981). دورة في الجبر الشامل . سبرينغر . ISBN 3-540-90578-2.نسخة إلكترونية مجانية .
• هودجز، ويلفريد (1997). نظرية نموذجية مختصرة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-58713-1.

• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " نظرية النموذج " - بقلم ويلفريد هودجز .
• PlanetMath: المدخل " التوقيع " يصف المفهوم للحالة التي لا يتم فيها إدخال أي أنواع.
• بايلي، جان ، " مقدمة في المواصفات الجبرية لأنواع البيانات المجردة " .