الجبر الشامل

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

الجبر الشامل (أو الجبر العام ) هو فرع من الرياضيات يدرس البنى الجبرية بشكل عام، وليس أنواعًا محددة منها. فعلى سبيل المثال، بدلًا من اعتبار المجموعات أو الحلقات موضوعًا للدراسة - وهو ما يُعنى به علم نظرية المجموعات وعلم نظرية الحلقات - يركز الجبر الشامل على دراسة الأنواع الممكنة من البنى الجبرية وعلاقاتها.

الفكرة الأساسية

في الجبر الشامل،الجبر (أوالبنية الجبرية) هومجموعةAمع مجموعة من العملياتعلى A.

أريتي

العملية من الرتبة n على المصفوفة A هي دالة تأخذ n عنصرًا من A وتعيد عنصرًا واحدًا منها . بالتالي، يمكن تمثيل العملية من الرتبة 0 (أو العملية الصفرية ) ببساطة كعنصر من A ، أو ثابت ، ويُرمز لها غالبًا بحرف مثل a . أما العملية من الرتبة 1 (أو العملية الأحادية ) فهي ببساطة دالة من A إلى A ، ويُرمز لها غالبًا برمز يوضع أمام وسيطها، مثل ~ x . وتُرمز العملية من الرتبة 2 (أو العملية الثنائية ) غالبًا برمز يوضع بين وسيطيها (وتُسمى أيضًا الترميز الوسطي )، مثل x  ∗ y . أما العمليات ذات الرتبة الأعلى أو غير المحددة ، فيُرمز لها عادةً برموز الدوال، حيث توضع الوسائط بين قوسين وتفصل بينها فواصل، مثل f ( x , y , z ) أو f ( x₁ , ..., xₙ ) . إحدى طرق الحديث عن الجبر، إذن، هي الإشارة إليه على أنه جبر من نوع معين Ω، حيث Ω عبارة عن سلسلة مرتبة من الأعداد الطبيعية تمثل عدد عمليات الجبر. ومع ذلك، يسمح بعض الباحثين أيضًا بعمليات لا نهائية ، مثل ⋀α∈جxα{\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}حيث J هي مجموعة فهارس لانهائية ، وهي عملية في النظرية الجبرية للشبكات الكاملة .

المعادلات

بعد تحديد العمليات، يُعرَّف الجبر بشكلٍ أدقّ بواسطة البديهيات ، التي غالبًا ما تتخذ في الجبر الشامل شكل متطابقات أو قوانين معادلات. ومن الأمثلة على ذلك بديهية التجميع لعملية ثنائية، والتي تُعطى بالمعادلة x  ∗  ( y  ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . تهدف هذه البديهية إلى أن تكون صحيحة لجميع العناصر x و y و z من المجموعة A.      

أنواع

تُسمى مجموعة الهياكل الجبرية المحددة بواسطة المتطابقات بالتنوع أو الفئة المعادلة .

إن حصر الدراسة على أنواع محددة يستبعد ما يلي:

يمكن اعتبار دراسة الفئات المعادلة فرعًا خاصًا من نظرية النموذج ، ويتعامل عادةً مع الهياكل التي تحتوي على عمليات فقط (أي أن النوع يمكن أن يحتوي على رموز للوظائف ولكن ليس للعلاقات بخلاف المساواة)، وفيها تستخدم اللغة المستخدمة للتحدث عن هذه الهياكل المعادلات فقط.

لا تندرج جميع البنى الجبرية، بمعناها الأوسع، ضمن هذا النطاق. فعلى سبيل المثال، تتضمن المجموعات المرتبة علاقة ترتيب، لذا فهي لا تندرج ضمن هذا النطاق.

إن فئة الحقول ليست فئة معادلات لأنه لا يوجد نوع (أو "توقيع") يمكن فيه كتابة جميع قوانين الحقل كمعادلات (يتم تعريف معكوسات العناصر لجميع العناصر غير الصفرية في الحقل، لذلك لا يمكن إضافة الانعكاس إلى النوع).

إحدى مزايا هذا القيد هي إمكانية تعريف البنى المدروسة في الجبر الشامل في أي فئة تحتوي على جداءات منتهية . على سبيل المثال، الزمرة الطوبولوجية هي ببساطة زمرة في فئة الفضاءات الطوبولوجية .

أمثلة

معظم الأنظمة الجبرية المعتادة في الرياضيات هي أمثلة على التنوعات، ولكن ليس دائمًا بطريقة واضحة، لأن التعريفات المعتادة غالبًا ما تتضمن التحديد الكمي أو المتباينات.

المجموعات

كمثال على ذلك، لننظر في تعريف المجموعة . عادةً ما تُعرَّف المجموعة من حيث عملية ثنائية واحدة ∗، مع مراعاة البديهيات التالية:

  • خاصية التجميع (كما في القسم السابق ): x  ∗  ( y  ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z ؛ رسميًا: ∀ x , y , z . x ∗( y ∗ z )=( x ∗ y )∗ z .         
  • العنصر المحايد : يوجد عنصر e بحيث يكون لكل عنصر x ، يكون e  ∗ x = x = x ∗ e ؛ رسميًا: ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .          
  • العنصر المعكوس : من السهل ملاحظة أن العنصر المحايد فريد، ويُرمز له عادةً بالرمز e . عندئذٍ، لكل x ، يوجد عنصر i بحيث يكون x  ∗ i = e = i ∗ x ؛ أو بصيغة رسمية: ∀ x ∃ i . x ∗ i = e = i ∗ x .            

(يستخدم بعض المؤلفين أيضًا بديهية " الإغلاق " التي تنص على أن x  ∗ y ينتمي إلى A كلما كان x و y ينتميان إليها، ولكن هذا مضمن بالفعل هنا من خلال تسمية ∗ عملية ثنائية.) 

لا يتوافق هذا التعريف للمجموعة مباشرةً مع وجهة نظر الجبر الشامل، لأن بديهيات عنصر المحايد والانعكاس لا تُصاغ بصيغة قوانين معادلاتية تنطبق عالميًا "لكل  ..."، بل تتضمن أيضًا المُكمِّم الوجودي "يوجد ...". يمكن صياغة بديهيات المجموعة كمعادلات مُكمَّمة عالميًا بتحديد عملية صفرية e  وعملية أحادية ~، بالإضافة إلى العملية الثنائية ∗ ، حيث تُكتب ~ x عادةً على الصورة x − 1. تصبح البديهيات كما يلي:

  • خاصية التجميع: x ∗ ( y ∗ z )  =  ( x ∗ y ) ∗ z .
  • العنصر المحايد: e ∗ x  =  x  =  x ∗ e .
  • العنصر العكسي: x ∗ (~ x )  =  e  =  (~ x ) ∗ x .

باختصار، التعريف المعتاد هو:

  • عملية ثنائية واحدة ( التوقيع (2))
  • 1. قانون المعادلة (التجميع)
  • قانونان كميان (قانون التطابق وقانون المعكوس)

بينما يتضمن تعريف الجبر الشامل ما يلي:

  • ثلاث عمليات: عملية ثنائية واحدة، وعملية أحادية واحدة، وعملية صفرية واحدة ( التوقيع (2، 1، 0) )
  • ثلاثة قوانين معادلات (التجميع، والهوية، والمعكوس)
  • لا توجد قوانين كمية (باستثناء المحددات الكمية العالمية الخارجية، والتي يتم تضمينها بشكل عام لجميع المتغيرات في الأصناف)

تكمن النقطة الأساسية في أن العمليات الإضافية لا تضيف معلومات، بل تتبع بشكل فريد من التعريف المعتاد للمجموعة. ورغم أن التعريف المعتاد لم يحدد العنصر المحايد e بشكل فريد ، إلا أن تمرينًا بسيطًا يُظهر أنه فريد، وكذلك معكوس كل عنصر.

يُعدّ منظور الجبر الشامل مناسبًا تمامًا لنظرية الفئات. فعلى سبيل المثال، عند تعريف كائن زمرة في نظرية الفئات، حيث قد لا يكون الكائن المعني مجموعة، يجب استخدام قوانين المعادلات (التي تُناسب الفئات العامة)، بدلًا من القوانين الكمية (التي تُشير إلى العناصر الفردية). علاوة على ذلك، يُحدد المعكوس والهوية كتشاكلات في الفئة. فعلى سبيل المثال، في زمرة طوبولوجية ، لا يكفي أن يكون المعكوس موجودًا عنصرًا بعنصر، بل يجب أن يُعطي تطبيقًا متصلًا (تشاكلًا). ويشترط بعض المؤلفين أيضًا أن يكون تطبيق الهوية تضمينًا مغلقًا ( تليفًا مشتركًا ).

أمثلة أخرى

معظم البنى الجبرية هي أمثلة على الجبر الشامل.

تشمل أمثلة الجبر العلائقي أنصاف الشبكات والشبكات والجبر البولياني .

الإنشاءات الأساسية

نفترض أن النوع Ω قد تم تحديده. عندئذٍ توجد ثلاثة بنى أساسية في الجبر الشامل: الصورة المتماثلة، والجبر الجزئي، والضرب.

التشاكل بين جبرين A و B هو دالة h : A → B من المجموعة A إلى المجموعة B بحيث يكون، لكل عملية f A من A و f B المناظرة لها من B ( ذات عدد n مثلاً )، h ( f A ( x1 , ..., xn ) ) = f B ( h ( x1 ), ..., h ( xn ) ). (أحيانًا تُحذف الرموز السفلية لـ f عندما يتضح من السياق الجبر الذي تنتمي إليه الدالة). على سبيل المثال، إذا كان e ثابتًا (عملية صفرية)، فإن h ( e A ) = e B. إذا كانت ~ عملية أحادية، فإن h (~ x ) = ~ h ( x ). إذا كانت ∗ عملية ثنائية، فإن h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). وهكذا. بعض استخدامات التشاكلات، بالإضافة إلى تعريفات لأنواع خاصة منها، مُدرجة تحت عنوان "التشاكل" . على وجه الخصوص، يمكننا أخذ الصورة المتماثلة للجبر، h ( A ).          

الجبر الجزئي من A هو مجموعة جزئية من A مغلقة تحت جميع عمليات A. حاصل ضرب مجموعة من البنى الجبرية هو حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات مع تعريف العمليات على مستوى الإحداثيات.

بعض النظريات الأساسية

الدوافع والتطبيقات

إضافةً إلى منهجها الموحد، تُقدّم الجبر الشامل نظريات عميقة وأمثلة مهمة، فضلاً عن أمثلة مضادة. كما تُوفّر إطارًا مفيدًا لمن يرغب في دراسة فئات جديدة من الجبر. وتُمكّن من استخدام أساليب طُوّرت لفئات مُحدّدة من الجبر في فئات أخرى، وذلك بإعادة صياغة هذه الأساليب في إطار الجبر الشامل (إن أمكن)، ثم تفسيرها عند تطبيقها على فئات أخرى. وقد ساهمت أيضًا في توضيح المفاهيم؛ فكما يقول جيه دي إتش سميث: "ما يبدو مُعقّدًا وفوضويًا في إطار مُحدّد قد يتبين أنه بسيط وواضح في الإطار العام المناسب".

على وجه الخصوص، يمكن تطبيق الجبر الشامل على دراسة المونويدات والحلقات والشبكات . قبل ظهور الجبر الشامل، تم إثبات العديد من النظريات (وأبرزها نظريات التشاكل ) بشكل منفصل في كل من هذه الفئات، ولكن مع الجبر الشامل، يمكن إثباتها مرة واحدة وإلى الأبد لكل نوع من أنواع الأنظمة الجبرية.

في عام ١٩٥٦، وضع هيغنز إطارًا لمجموعة من الأنظمة الجبرية المحددة. [ ١ ] وتُعدّ ورقته البحثية لعام ١٩٦٣ جديرة بالذكر لمناقشتها الجبر ذي العمليات الجزئية ، [ ٢ ] ومن الأمثلة النموذجية عليه الفئات والمجموعات الجزئية. ويُعدّ الجبر متعدد الأبعاد تعميمًا آخر لهذا المجال ، ويمكن تعريفه بأنه دراسة النظريات الجبرية ذات العمليات الجزئية التي تُعرَّف مجالاتها في ظل شروط هندسية. ومن الأمثلة البارزة على ذلك أشكال مختلفة من الفئات والمجموعات الجزئية متعددة الأبعاد.

مشكلة إرضاء القيود

يُوفّر الجبر الشامل لغةً طبيعيةً لمسألة إرضاء القيود (CSP) . تُشير مسألة إرضاء القيود إلى فئةٍ مهمةٍ من المسائل الحسابية، حيث يُطرح السؤال ، عند إعطاء جبر علائقي A وجملة وجودية ϕ على هذا الجبر، حول إمكانية تحقيق ϕ في A. غالبًا ما يكون الجبر A ثابتًا، لذا فإنّ CSP A تُشير إلى المسألة التي تُمثّل الجملة الوجودية ϕ فقط .

لقد ثبت أنه يمكن صياغة كل مشكلة حسابية على أنها CSP A لبعض الجبر A. [ 3 ]

على سبيل المثال، يمكن صياغة مشكلة التلوين n على أنها CSP للجبر ({0, 1, ..., n −1}, ≠) ، أي جبر يحتوي على n عنصر وعلاقة واحدة، وهي عدم المساواة.

التعميمات

تمت دراسة الجبر الشامل أيضًا باستخدام تقنيات نظرية الفئات . في هذا النهج، بدلًا من كتابة قائمة بالعمليات والمعادلات التي تخضع لها هذه العمليات، يمكن وصف البنية الجبرية باستخدام فئات من نوع خاص، تُعرف بنظريات لاوفير أو بشكل أعم النظريات الجبرية . وبدلاً من ذلك، يمكن وصف البنى الجبرية باستخدام المونادات . يرتبط النهجان ارتباطًا وثيقًا، ولكل منهما مزاياه الخاصة. [ 4 ] على وجه الخصوص، تُعطي كل نظرية لاوفير مونادًا على فئة المجموعات، بينما تنشأ أي موناد "نهائية" على فئة المجموعات من نظرية لاوفير. مع ذلك، تصف الموناد البنى الجبرية ضمن فئة معينة (على سبيل المثال، فئة المجموعات)، بينما تصف النظريات الجبرية البنية ضمن أي فئة من فئات واسعة (أي تلك التي لها جداءات منتهية ).

من التطورات الحديثة في نظرية الفئات نظرية العمليات (الأوبرادات  ) - وهي مجموعة من العمليات، تشبه الجبر الشامل، ولكنها مقيدة بحيث لا يُسمح بالمعادلات إلا بين التعبيرات التي تحتوي على المتغيرات، دون تكرار أو حذف أي متغير. [ 5 ] وبالتالي، يمكن وصف الحلقات بأنها ما يُسمى "جبر" بعض العمليات، ولكن ليس الزمر، لأن القانون gg −1 = 1 يُكرر المتغير g في الطرف الأيسر ويحذفه في الطرف الأيمن. قد يبدو هذا قيدًا مزعجًا في البداية، لكن فوائده تكمن في أن للعمليات مزايا معينة: على سبيل المثال، يمكن دمج مفهومي الحلقة والفضاء المتجهي للحصول على مفهوم الجبر الترابطي ، ولكن لا يمكن تكوين مفهوم هجين مماثل بين مفهومي الزمرة والفضاء المتجهي. [ 6 ]

ومن التطورات الأخرى الجبر الجزئي حيث يمكن أن تكون المؤثرات دوالًا جزئية . ويمكن أيضًا التعامل مع بعض الدوال الجزئية من خلال تعميم لنظريات لوفير يُعرف باسم "النظريات الجبرية الأساسية". [ 7 ]

ومن التعميمات الأخرى للجبر الشامل نظرية النماذج ، والتي توصف أحيانًا بأنها "الجبر الشامل + المنطق". [ 8 ]

تاريخ

في كتاب ألفريد نورث وايتهيد "رسالة في الجبر الشامل"، الذي نُشر عام ١٨٩٨، كان مصطلح " الجبر الشامل" يحمل المعنى نفسه الذي يحمله اليوم. يُنسب وايتهيد الفضل في ابتكار هذا الموضوع إلى ويليام روان هاميلتون وأوغسطس دي مورغان ، بينما يُنسب ابتكار المصطلح نفسه إلى جيمس جوزيف سيلفستر . [ ٩ ] : ٥

في ذلك الوقت، لفتت بنى مثل جبر لي والأعداد الرباعية الزائدية الانتباه إلى ضرورة توسيع نطاق البنى الجبرية لتتجاوز فئة الضرب التجميعي. كتب ألكسندر ماكفارلين في مراجعة : "الفكرة الرئيسية لهذا العمل ليست توحيد الطرق المتعددة، ولا تعميم الجبر العادي ليشملها، بل الدراسة المقارنة لبنياتها المختلفة." [ 10 ] في ذلك الوقت، شكّل جبر المنطق لجورج بول نقيضًا قويًا لجبر الأعداد العادي، لذا ساهم مصطلح "العالمي" في تهدئة الحساسيات المتوترة.

سعت أعمال وايتهيد المبكرة إلى توحيد الأعداد الرباعية (بفضل هاملتون)، ونظرية غراسمان في الجبر ، وجبر بول المنطقي. كتب وايتهيد في كتابه:

"لهذه الجبر قيمة جوهرية للدراسة التفصيلية المنفصلة؛ كما أنها جديرة بالدراسة المقارنة، لما تُلقيه من ضوء على النظرية العامة للاستدلال الرمزي، وعلى الرمزية الجبرية على وجه الخصوص. وتفترض الدراسة المقارنة بالضرورة دراسة منفصلة سابقة، إذ يستحيل إجراء المقارنة دون معرفة." [ 9 ]

مع ذلك، لم يتوصل وايتهيد إلى نتائج ذات طابع عام. كان العمل في هذا الموضوع محدودًا للغاية حتى أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، عندما بدأ غاريت بيركوف وأويستين أور بنشر أبحاثهما حول الجبر الشامل. وقد ساهمت التطورات في ما وراء الرياضيات ونظرية الفئات في أربعينيات وخمسينيات القرن العشرين في تطوير هذا المجال، ولا سيما أعمال أبراهام روبنسون ، وألفريد تارسكي ، وأندريه موستوفسكي ، وطلابهم. [ 11 ]

في الفترة ما بين عامي 1935 و1950، كُتبت معظم الأبحاث وفقًا للنهج الذي اقترحته أبحاث بيركوف، والتي تناولت الجبر الحر ، وشبكات التطابق والجبر الجزئي، ونظريات التشاكل. ورغم أن تطور المنطق الرياضي قد أتاح تطبيقاتٍ في الجبر، إلا أن هذه التطبيقات ظهرت ببطء؛ إذ لم تحظَ النتائج التي نشرها أناتولي مالتسيف في أربعينيات القرن العشرين بالاهتمام الكافي بسبب الحرب. وقد بشّرت محاضرة تارسكي في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1950 في كامبريدج ببداية حقبة جديدة شهدت تطورًا في الجوانب النظرية النموذجية، لا سيما على يد تارسكي نفسه، بالإضافة إلى تشين تشونغ تشانغ ، وليون هينكين ، وبيارني جونسون ، وروجر ليندون ، وغيرهم.

في أواخر الخمسينيات من القرن العشرين، أكد إدوارد مارشيفسكي [ 12 ] على أهمية الجبر الحر، مما أدى إلى نشر أكثر من 50 ورقة بحثية حول النظرية الجبرية للجبر الحر بواسطة مارشيفسكي نفسه، إلى جانب جان ميتشيلسكي ، وفلاديسلاف ناركيفيتش، وفيتولد نيتكا، وج. بلونكا، وس. شفيرتشكوفسكي، وك. أوربانيك ، وآخرين.

ظهرت كتبٌ دراسيةٌ شاملةٌ في ستينيات القرن العشرين من تأليف برنارد نيومان (1962)، وبول كوهن (1965)، وجورج غراتزر (1967) ، وريتشارد إس. بيرس (1968). وابتداءً من أطروحة ويليام لوفير عام 1963، أصبحت تقنيات نظرية الفئات ذات أهميةٍ في الجبر الشامل. [ 13 ]

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ هيغينز، بي جيه (1956)، "المجموعات ذات المؤثرات المتعددة" ، وقائع جمعية لندن الرياضية ، 3 (6): 366-416 ، doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366
  2. ^ هيغنز، بي جي (1963)، “الجبر مع مخطط العوامل”، Mathematische Nachrichten ، 27 ( 1– 2): 115– 132، دوى : 10.1002/mana.19630270108
  3. ↑ بوديرسكي، مانويل؛ غروهي، مارتن (2008)، عدم الثنائية في تعقيد إرضاء القيود (PDF)
  4. ↑ هايلاند، مارتن؛ باور، جون (2007)، الفهم النظري للفئات للجبر الشامل: نظريات لوفير والمونادات (ملف PDF) ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 30 مايو 2023
  5. ↑ ماركل، م.؛ شنايدر، س.؛ ستاشيف، ج.د. (2002). المؤثرات في الجبر والطوبولوجيا والفيزياء . دراسات وأبحاث رياضية. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 9780821843628. إل سي سي إن 2002016342 . 
  6. ↑ بيرس، ريتشارد س. (1982). "الجبر الترابطي". الجبر الترابطي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 88. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. الصفحات 1-20 . doi : 10.1007/978-1-4757-0163-0_1 . ISBN   978-1-4757-0163-0.
  7. ↑ نظرية جبرية أساسية في مختبر n
  8. ↑ سي سي تشانغ وهـ. جيروم كيسلر (1990). نظرية النماذج . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 73 ( الطبعة الثالثة). نورث هولاند. ص 1. ISBN    0444880542.
  9. 1 2 جورج غراتزر (1968). إم إتش ستون و إل نيرنبرغ وإس إس تشيرن (محررون). الجبر الشامل ( الطبعة الأولى). شركة فان نوستراند. 
  10. ↑ ألكسندر ماكفارلين (1899) مراجعة: رسالة في الجبر الشامل (ملف PDF) ، مجلة ساينس 9: 324-328 عبر أرشيف الإنترنت
  11. ↑ برينرد، بارون (أغسطس - سبتمبر 1967)، "مراجعة كتاب الجبر الشامل بقلم بي إم كوهن "، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 74 ( 7): 878-880
  12. ↑ مارشيفسكي، إي. ( 1958)، "مخطط عام لمفاهيم الاستقلال في الرياضيات"، نشرة الأكاديمية البولندية للعلوم ، سلسلة العلوم الرياضية والفلكية والفيزيائية، 6 : 731-736
  13. ↑ لوفير، ويليام ف. (1964)، الدلالات الوظيفية للنظريات الجبرية (أطروحة دكتوراه)

مراجع

  • بيرغمان، جورج م. (1998)، مدخل إلى الجبر العام والإنشاءات الشاملة ، بيركلي، كاليفورنيا: هنري هيلسون، ص  398، ISBN 0-9655211-4-1
  • بيركوف ، غاريت (1946)، “الجبر العالمي”، Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques ، تورونتو: مطبعة جامعة تورنتو: 310–326
  • بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، إتش بي (1981)، دورة في الجبر الشامل ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 3-540-90578-2نسخة مجانية عبر الإنترنت
  • كوهن، بول موريتز (1981)، الجبر الشامل ، دوردريخت، هولندا: دار نشر دي. ريدل، رقم ISBN 90-277-1213-1(نُشرت لأول مرة عام 1965 بواسطة دار نشر هاربر آند رو)
  • فريز، رالف؛ ماكنزي، رالف (1987)، نظرية المبدلات لمتنوعات التطابق النمطية ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  125 (  الطبعة الأولى)، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-34832-3طبعة ثانية مجانية عبر الإنترنت
  • غراتزر، جورج (1968)، الجبر الشامل ، شركة دي. فان نوستراند.
  • هوبي، ديفيد؛ ماكنزي، رالف (1988)، بنية الجبر المنتهي ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-3400-2نسخة مجانية عبر الإنترنت
  • جيبسن، بيتر؛ روز، هنري (1992)، أنواع الشبكات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1533، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 0-387-56314-8نسخة مجانية عبر الإنترنت
  • بيغوزي، دون، النظرية العامة للجبر (ملف PDF)نسخة مجانية عبر الإنترنت
  • سميث، جي دي إتش (1976)، أصناف مالسيف ، سبرينغر-فيرلاغ
  • وايتهيد، ألفريد نورث (1898)، رسالة في الجبر الشامل ، كامبريدج( ذات أهمية تاريخية في المقام الأول )