زوجية التبديل

في الرياضيات ، عندما تكون X مجموعة منتهية تحتوي على عنصرين على الأقل، فإن تباديل X ( أي الدوال التقابلية من X إلى X ) تنقسم إلى فئتين متساويتين في العدد: التباديل الزوجية والتباديل الفردية . إذا تم تحديد أي ترتيب كلي لـ X ، فإن زوجية ( فردية أو زوجية ) التبديل${\displaystyle \sigma }$يمكن تعريف X على أنه زوجية عدد الانعكاسات لـ σ ، أي أزواج العناصر x و y من X بحيث x < y و σ ( x ) > σ ( y ) . 

يُرمز إلى إشارة التبديل σ بالرمز sgn( σ ) ، وتُعرَّف بأنها +1 إذا كان σ زوجيًا، و -1 إذا كان σ فرديًا. تُحدد الإشارة خاصية التناوب للمجموعة المتناظرة S_{_n} . يُستخدم رمز ليفي-سيفيتا ₍ εσ ) كرمز آخر لإشارة التبديل ، وهو مُعرَّف لجميع الدوال من X إلى X ، وقيمته صفر للدوال غير التقابلية . 

يمكن التعبير عن إشارة التبديل بشكل صريح على النحو التالي:

sgn( σ ) = (−1) ^{N ( σ )}

حيث N ( σ ) هو عدد الانعكاسات في σ . 

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف إشارة التبديل σ من خلال تحليله إلى حاصل ضرب عمليات النقل كما يلي: 

sgn( σ ) = (−1) ^m

حيث يمثل m عدد عمليات التبديل في التفكيك. على الرغم من أن هذا التفكيك ليس فريدًا، إلا أن زوجية عدد عمليات التبديل في جميع عمليات التفكيك متساوية، مما يعني أن إشارة التبديل محددة جيدًا . ^{[ 1 ]}

لنعتبر التبديل σ للمجموعة {1، 2، 3، 4، 5} المعرّفة كما يلي:${\displaystyle \sigma (1)=3,}$${\displaystyle \sigma (2)=4,}$${\displaystyle \sigma (3)=5,}$${\displaystyle \sigma (4)=2,}$و${\displaystyle \sigma (5)=1.}$ في تدوين السطر الواحد ، يُرمز لهذا التبديل بالرمز 34521. ويمكن الحصول عليه من التبديل المحايد 12345 بثلاث عمليات تبديل: أولًا، تبديل العددين 2 و4، ثم تبديل 3 و5، وأخيرًا تبديل 1 و3. وهذا يُبين أن التبديل المُعطى σ فردي. وباتباع طريقة تدوين الدورة المذكورة في المقالة، يمكن كتابة هذا التبديل، بالترتيب من اليمين إلى اليسار، على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}.}$

توجد طرق أخرى كثيرة لكتابة σ كتركيب من عمليات النقل، على سبيل المثال

σ = (1 5)(3 4)(2 4)(1 2)(2 3) ,

لكن من المستحيل كتابتها كناتج لعدد زوجي من عمليات النقل.

التبديل المحايد هو تبديل زوجي. ^{[ 1 ]} يمكن الحصول على التبديل الزوجي من خلال تركيب عدد زوجي (وعدد زوجي فقط) من عمليات التبادل (تسمى التبديلات ) لعنصرين، بينما يمكن الحصول على التبديل الفردي من خلال عدد فردي (فقط) من عمليات التبديل.

تنبثق القواعد التالية مباشرة من القواعد المقابلة المتعلقة بجمع الأعداد الصحيحة: ^{[ 1 ]}

• يكون تركيب تبديلين زوجيين زوجيًا
• يكون تركيب تبديلين فرديين زوجيًا
• يكون تركيب تبديل فردي وتبديل زوجي فرديًا

ويترتب على ذلك أن

• معكوس كل تبديل زوجي هو تبديل زوجي
• معكوس كل تبديل فردي هو تبديل فردي

بالنظر إلى المجموعة المتناظرة S _n لجميع تباديل المجموعة {1، ...، n }، يمكننا أن نستنتج أن التطبيق

sgn: S _n → {−1, 1}

^{[ 2 ]} الذي يُسند لكل تبديل توقيعه هو تماثل المجموعة .

علاوة على ذلك، نلاحظ أن التبديلات الزوجية تُشكّل زمرة جزئية من S_{_n} . ^{[ 1 ]} هذه هي الزمرة المتناوبة على n حرفًا، ويُرمز لها بـ A _{_n} . ^{[ 3 ]} وهي نواة التشاكل sgn. ^{[ 4 ]} لا يُمكن للتبديلات الفردية أن تُشكّل زمرة جزئية، لأن تركيب تبديلين فرديين هو تبديل زوجي، لكنها تُشكّل مجموعة مشاركة لـ A _{_n} (في S_n ). ^{[ 5 ]}

إذا كان n > 1 ، فإن عدد التباديل الزوجية في S _{_n} يساوي عدد التباديل الفردية؛ ^{[ 3 ]} وبالتالي، فإن A _{_n} تحتوي على n ! /2 تبديلاً. (والسبب هو أنه إذا كان σ زوجيًا، فإن (1 2) σ فردي، وإذا كان σ فرديًا، فإن (1 2) σ زوجي، وهاتان الدالتان معكوسة لبعضهما البعض.) ^{[ 3 ]}

تكون الدورة زوجية إذا وفقط إذا كان طولها فرديًا. وهذا ما ينتج عن صيغ مثل

${\displaystyle (a\ b\ c\ d\ e)=(d\ e)(c\ e)(b\ e)(a\ e){\text{ أو }}(a\ b)(b\ c)(c\ d)(d\ e).}$

عمليًا، لتحديد ما إذا كان تبديل معين زوجيًا أم فرديًا، يُكتب التبديل كحاصل ضرب دورات منفصلة. يكون التبديل فرديًا إذا وفقط إذا احتوى هذا التحليل على عدد فردي من الدورات ذات الطول الزوجي.

هناك طريقة أخرى لتحديد ما إذا كان التبديل زوجيًا أم فرديًا، وهي إنشاء مصفوفة التبديل المقابلة وحساب محددها . قيمة المحدد هي نفسها زوجية التبديل.

كل تبديل ذي رتبة فردية يجب أن يكون زوجيًا. التبديل (1 2)(3 4) في المجموعة A ₄ يُظهر أن العكس ليس صحيحًا بشكل عام.

يقدم هذا القسم براهين على أن زوجية التبديل σ يمكن تعريفها بطريقتين متكافئتين:

• باعتبارها زوجية عدد الانعكاسات في σ (تحت أي ترتيب)؛ أو
• باعتبارها زوجية عدد عمليات النقل التي يمكن تحليل σ إليها (مهما اخترنا تحليلها).

الدليل الثالث

يستخدم نهج ثالث عرض المجموعة S _n بدلالة المولدات τ ₁ ، ...، τ _{n − 1} والعلاقات

• ${\displaystyle \tau _{i}^{2}=1}$ لكل ما أنا
• ${\displaystyle \tau _{i}^{}\tau _{i+1}\tau _{i}=\tau _{i+1}\tau _{i}\tau _{i+1}}$ لكل i < n − 1  
• ${\displaystyle \tau _{i}^{}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}}$ لو${\displaystyle |i-j|\geq 2.}$

[هنا المولد${\displaystyle \tau _{i}}$يمثل هذا التبديل ( i , i + 1) . تحافظ جميع العلاقات على طول الكلمة كما هو أو تغيره بمقدار اثنين. وبالتالي، فإن البدء بكلمة ذات طول زوجي سيؤدي دائمًا إلى كلمة ذات طول زوجي بعد تطبيق العلاقات، وينطبق الأمر نفسه على الكلمات ذات الطول الفردي. لذلك، من الواضح تمامًا تسمية عناصر المجموعة Sn _{الممثلة} بكلمات ذات طول زوجي بـ "زوجي"، والعناصر الممثلة بكلمات ذات طول فردي بـ "فردي".

الدليل الخامس

ضع في اعتبارك العناصر المحصورة بين عنصري التبديل. يقع كل عنصر إما فوق عنصري التبديل تمامًا، أو تحتهما تمامًا، أو بينهما.

لا يُساهم العنصر الموجود إما فوق أو تحت العنصر تمامًا في عدد الانعكاسات عند تطبيق عملية النقل. أما العناصر الموجودة بينهما فتُساهم.${\displaystyle \pm 2}$.

لأن عملية النقل نفسها توفر${\displaystyle \pm 1}$الانعكاس، وجميع الانعكاسات الأخرى توفر 0 (mod 2)، ويغير التبديل زوجية عدد الانعكاسات.

زوجية تبديل من${\displaystyle n}$كما أن النقاط مشفرة في بنيتها الدورية .

ليكن σ = ( i ₁ i ₂ ... i _{r +1} )( j ₁ j ₂ ... j _{s +1} )...( ℓ ₁ ℓ ₂ ... ℓ _{u +1} ) هو التفكيك الوحيد لـ σ إلى دورات منفصلة ، ​​والتي يمكن تركيبها بأي ترتيب لأنها تبادلية. يمكن دائمًا الحصول على دورة ( a b c ... x y z ) تتضمن k + 1 نقطة عن طريق تركيب k من عمليات النقل (دورات ثنائية):

${\displaystyle (a\ b\ c\dots x\ y\ z)=(a\ b)(b\ c)\dots (x\ y)(y\ z),}$

لنفترض أن k هو حجم الدورة ، ونلاحظ أنه وفقًا لهذا التعريف، فإن التبديلات هي دورات بحجم 1. من خلال تحليل σ إلى m دورة منفصلة، ​​يمكننا الحصول على تحليل σ إلى k₁ + _k₂ + _... + kₘ تبديل ، _حيث kᵢ هو حجم الدورة i . _يُسمى العدد N ( σ ) = k₁ + k₂ + ... + kₘ مميز σ ، ويمكن حسابه أيضًا _{على النحو التالي} :

${\displaystyle n{\text{ minus the number of disjoint cycles in the decomposition of }}\sigma }$

إذا حرصنا على تضمين النقاط الثابتة لـ σ كدورات أحادية.

لنفترض أنه تم تطبيق تبديل ( أ، ب ) بعد تبديل σ . عندما يكون أ و ب في دورتين مختلفتين من σ، فإن

${\displaystyle (a\ b)(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})}$،

وإذا كان a و b في نفس دورة σ ،

${\displaystyle (a\ b)(ac_{1}c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})}$.

في كلتا الحالتين، يمكن ملاحظة أن N (( a b ) σ ) = N ( σ ) ± 1 ، لذا فإن زوجية N (( a b ) σ ) ستكون مختلفة عن زوجية N ( σ ).

إذا كان σ = t ₁ t ₂ ... t _r عبارة عن تحليل عشوائي للتبديل σ إلى عمليات تبديل، وذلك بتطبيق عمليات التبديل r${\displaystyle t_{1}}$بعد t ₂ بعد ... بعد t _r بعد العنصر المحايد (الذي N الخاص به يساوي صفرًا)، لاحظ أن N ( σ ) و r لهما نفس الزوجية. بتعريف زوجية σ على أنها زوجية N ( σ )، فإن التبديل الذي له تفكيك بطول زوجي هو تبديل زوجي، والتبديل الذي له تفكيك واحد بطول فردي هو تبديل فردي.

ملاحظات

• يُظهر الفحص الدقيق للحجة المذكورة أعلاه أن r ≥ N ( σ ) ، وبما أن أي تفكيك لـ σ إلى دورات مجموع أحجامها يساوي r يمكن التعبير عنه كتركيب لـ r عمليات نقل، فإن العدد N ( σ ) هو الحد الأدنى الممكن لمجموع أحجام الدورات في تفكيك σ ، بما في ذلك الحالات التي تكون فيها جميع الدورات عمليات نقل.
• لا يُدخل هذا البرهان ترتيبًا (ربما تعسفيًا) في مجموعة النقاط التي تؤثر عليها σ .

يمكن تعميم التكافؤ على مجموعات كوكسيتر : يتم تعريف دالة طول ℓ( v )، والتي تعتمد على اختيار المولدات (بالنسبة للمجموعة المتناظرة، عمليات النقل المتجاورة )، ثم تعطي الدالة v ↦ ( − 1) ^{ℓ( v )} خريطة إشارة معممة.

• لعبة الألغاز الخمسة عشر هي تطبيق كلاسيكي
• معضلة زولوتاريف

• وايسستين، اريك دبليو. “حتى التقليب” . عالم الرياضيات .
• جاكوبسون، ناثان (2009). الجبر الأساسي . المجلد  1 (  الطبعة الثانية). دوفر. ISBN 978-0-486-47189-1.
• روتمان، ج. ج. (1995). مدخل إلى نظرية الزمر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-94285-8.
• جودمان، فريدريك م. الجبر: المجرد والملموس . ISBN 978-0-9799142-0-1.
• ماير، بول هيرمان إرنست؛ باور، إدموند (2004). نظرية الزمر: تطبيقها على ميكانيكا الكم . سلسلة دوفر الكلاسيكية في العلوم والرياضيات. منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-43798-9.