تماثل المجموعات

في الرياضيات ، إذا كان لدينا مجموعتان ، ( G ,*) و( H ,·)، فإن التشاكل بين المجموعتين ( G ,*) و( H ,·) هو دالة h  : G → H بحيث يكون لكل u و v في G ما يلي:

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}$

حيث أن عملية المجموعة على الجانب الأيسر من المعادلة هي عملية المجموعة G وعلى الجانب الأيمن هي عملية المجموعة H.

انطلاقاً من هذه الخاصية، يمكن استنتاج أن h تربط عنصر الوحدة e _G من G بعنصر الوحدة e _H من H.

${\displaystyle h(e_{G})=e_{H}}$

كما أنها تربط المعكوسات بالمعكوسات بالمعنى التالي:

${\displaystyle h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,}$

وبالتالي يمكن القول أن h "متوافق مع بنية المجموعة".

في فروع الرياضيات التي تُعنى بالمجموعات ذات البنية الإضافية، يُقصد بالتشاكل أحيانًا تطبيقًا لا يحترم بنية المجموعة فحسب (كما ذُكر أعلاه)، بل يحترم أيضًا البنية الإضافية. على سبيل المثال، غالبًا ما يُشترط أن يكون تشاكل المجموعات الطوبولوجية متصلًا .

يترك${\displaystyle e_{H}}$ليكن العنصر المحايد للمجموعة ( H ، ·) و${\displaystyle u\in G}$، ثم

${\displaystyle h(u)\cdot e_{H}=h(u)=h(u*e_{G})=h(u)\cdot h(e_{G})}$

الآن بضرب الناتج في معكوس${\displaystyle h(u)}$(أو بتطبيق قاعدة الإلغاء) نحصل على

${\displaystyle e_{H}=h(e_{G})}$

بصورة مماثلة،

${\displaystyle e_{H}=h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})}$

لذلك، وبسبب تفرد المعكوس:${\displaystyle h(u^{-1})=h(u)^{-1}}$.

الشكل الأحادي

تماثل المجموعة الذي يكون حقنيًا (أو، واحدًا لواحد)؛ أي أنه يحافظ على التميّز.

التحول المتطور

تماثل المجموعة الذي يكون شاملاً (أو، على)؛ أي أنه يصل إلى كل نقطة في المجال المقابل.

التماثل

التشاكل الزمرّي التقابلي؛ أي أنه حقني وشامل. معكوسه هو أيضًا تشاكل زمرّي. في هذه الحالة، تُسمى الزمرتان G و H متماثلتين ؛ فهما تختلفان فقط في ترميز عناصرهما (باستثناء العنصر المحايد) وهما متطابقتان عمليًا. أي أننا نعيد تسمية جميع العناصر باستثناء العنصر المحايد.

التشكل الداخلي

تماثل المجموعة، h : G → G ؛ المجال والمجال المقابل متطابقان. يُسمى أيضًا تماثلًا داخليًا للمجموعة G.

التماثل الذاتي

التشاكل الذاتي للمجموعة هو تقابل، وبالتالي فهو تشاكل. مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لمجموعة G ، التي يكون تركيبها الوظيفي هو العملية، تُشكّل في حد ذاتها مجموعة، وهي مجموعة التشاكلات الذاتية لـ G. يُرمز لها بـ Aut( G ). على سبيل المثال، تحتوي مجموعة التشاكلات الذاتية لـ ( Z , +) على عنصرين فقط، وهما التحويل المحايد والضرب في -1؛ وهي متشاكلة مع ( Z /2Z , +).

نُعرّف نواة h بأنها مجموعة العناصر في G التي تُقابل العنصر المحايد في H

${\displaystyle \operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.}$

وصورة h لتكون​

${\displaystyle \operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}$

يمكن تفسير نواة وصورة التشاكل على أنهما مقياسان لمدى قربه من أن يكون تشاكلاً حقيقياً. تنص نظرية التشاكل الأولى على أن صورة تشاكل الزمر، h ( G )، متشاكلة مع زمرة القسمة G / kerh .

نواة h هي زمرة جزئية طبيعية من G. افترض${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (h)}$وأظهر${\displaystyle g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)}$لأي${\displaystyle u,g}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}}$

صورة h هي مجموعة جزئية من H.

التشاكل h هو تشاكل أحادي الزمرة ؛ أي أن h أحادي (تقابلي) إذا وفقط إذا كان ker( h ) = { e ∈ _G }. يُعطي التقابل مباشرةً وجود عنصر وحيد في النواة، وبالعكس، يُعطي وجود عنصر وحيد في النواة التقابل.

$\displaystyle \begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}}$

• لنفترض المجموعة الدورية Z³ ₌ ( Z³ / 3Z , +) = ({0, 1, 2}, +) ومجموعة الأعداد الصحيحة ( Z , +). التطبيق h  : Z → Z³ /3Z حيث h ( u ) = u mod 3 هو تشاكل زمر. وهو شامل، ونواته تتكون من جميع الأعداد الصحيحة القابلة للقسمة على 3.

• تُنتج الدالة الأسية تشاكلاً زمرياً من زمرة الأعداد الحقيقية R مع الجمع إلى زمرة الأعداد الحقيقية غير الصفرية R * مع الضرب. النواة هي {0} والصورة تتكون من الأعداد الحقيقية الموجبة.
• تُنتج الدالة الأسية أيضًا تشاكلًا زمرًا من زمرة الأعداد المركبة C مع الجمع إلى زمرة الأعداد المركبة غير الصفرية C * مع الضرب. هذه الدالة شاملة ولها النواة {2πki :  k ∈ Z } ، كما يتضح من صيغة أويلر . تُسمى الحقول مثل R و C التي لها تشاكلات من زمرتها الجمعية إلى زمرتها الضربية بالحقول الأسية .
• الوظيفة${\displaystyle \Phi$ :(\mathbb {Z} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)} ، معرفة بواسطة${\displaystyle \Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x}$هو تماثل.
• ضع في اعتبارك المجموعتين${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},*)}$و${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$، ممثلة على التوالي بـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$، أين${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$هي الأعداد الحقيقية الموجبة. إذن، الدالة${\displaystyle f:G\rightarrow H}$الدالة المعرفة بواسطة دالة اللوغاريتم هي تشاكل.

إذا كان h  : G → H و k  : H → K هما تشاكلان بين المجموعات، فإن k ∘ h  : G → K يكون كذلك أيضًا . وهذا يدل على أن فئة جميع المجموعات، بالإضافة إلى تشاكلات المجموعات كتشاكلات، تشكل فئة (وتحديدًا فئة المجموعات ).

إذا كانت G و H مجموعتين تبديليتين (أي، تبديليتين)، فإن مجموعة Hom( G , H ) لجميع تشاكلات المجموعات من G إلى H هي نفسها مجموعة تبديلية: يُعرَّف مجموع h + k لتشاكلين كما يلي:

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) لجميع u في G .   

إن خاصية التبديل لـ H ضرورية لإثبات أن h + k هو مرة أخرى تشاكل زمر.

إن جمع التشاكلات يتوافق مع تركيب التشاكلات بالمعنى التالي: إذا كانت f تنتمي إلى Hom( K , G ) ، و h و k عنصران من Hom( G , H ) ، و g تنتمي إلى Hom( H , L ) ، فإن

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) و g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .    

بما أن التركيب تجميعي ، فإن هذا يُظهر أن مجموعة End( G ) لجميع التشاكلات الداخلية لمجموعة أبيلية تُشكّل حلقة ، وهي حلقة التشاكلات الداخلية لـ G. على سبيل المثال، حلقة التشاكلات الداخلية للمجموعة الأبيلية المكونة من المجموع المباشر لـ m نسخة من Z / nZ متماثلة مع حلقة المصفوفات من الرتبة m × m ذات المدخلات في Z / nZ . كما يُظهر التوافق المذكور أعلاه أن فئة جميع المجموعات الأبيلية ذات التشاكلات الجماعية تُشكّل فئة ما قبل الجمع ؛ فوجود المجاميع المباشرة والنوى ذات السلوك الجيد يجعل هذه الفئة المثال النموذجي للفئة الأبيلية .

• التماثل
• النظرية الأساسية حول التشاكلات
• التماثل الشكلي
• تماثل الحلقات

• دوميت، دي إس؛ فوت، آر. (2004). الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة). وايلي. الصفحات 71-72 . ISBN  978-0-471-43334-7.
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  

• رولاند، تود ووايسشتاين، إريك دبليو. "التشاكل الجماعي" . عالم الرياضيات .