دالة بسيطة

في مجال التحليل الحقيقي ، تُعرَّف الدالة البسيطة بأنها دالة ذات قيم حقيقية (أو مركبة ) على مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية ، وهي تشبه دالة الدرجة . تتميز الدوال البسيطة بسهولتها، مما يُسهِّل الاستدلال الرياضي والنظرية والبرهان. فعلى سبيل المثال، لا تأخذ الدوال البسيطة إلا عددًا محدودًا من القيم. كما يشترط بعض الباحثين أن تكون الدوال البسيطة قابلة للقياس ، كما هو شائع في التطبيقات العملية.

من الأمثلة الأساسية للدوال البسيطة دالة الجزء الصحيح على الفترة نصف المفتوحة [1, 9)، والتي لا تقبل إلا القيم {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8}. ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا دالة ديريشليه على خط الأعداد الحقيقية، والتي تأخذ القيمة 1 إذا كان x عددًا نسبيًا، والقيمة 0 فيما عدا ذلك. (لذا فإن مصطلح "بسيطة" في "الدالة البسيطة" له معنى تقني قد يختلف قليلًا عن المعنى الشائع). جميع الدوال المتدرجة بسيطة.

تُستخدم الدوال البسيطة كمرحلة أولى في تطوير نظريات التكامل ، مثل تكامل ليبيغ ، لأنه من السهل تعريف التكامل لدالة بسيطة، كما أنه من السهل تقريب الدوال الأكثر عمومية بواسطة متواليات من الدوال البسيطة.

بصورة رسمية، الدالة البسيطة هي توليفة خطية منتهية من دوال المؤشر لمجموعات قابلة للقياس . بتعبير أدق، ليكن ( _{X, Σ) فضاءً قابلاً للقياس. ولتكن A₁} , ... , Aₙ ∈ Σ متتالية _من مجموعات قابلة للقياس منفصلة _، ​​ولتكن a₁ , ..., _aₙ متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة . الدالة البسيطة هي دالة${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$من الشكل

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),}$

أين${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$هي دالة المؤشر للمجموعة A.

إن مجموع وفرق وحاصل ضرب دالتين بسيطتين هما أيضاً دوال بسيطة، والضرب بثابت يُبقي الدالة البسيطة بسيطة؛ ومن ثم يترتب على ذلك أن مجموعة جميع الدوال البسيطة على فضاء قابل للقياس معين تُشكل جبرًا تبديليًا على${\displaystyle \mathbb {C} }$.

إذا كان هناك مقياس${\displaystyle \mu }$يتم تعريفها على الفضاء${\displaystyle (X,\Sigma )}$، تكامل دالة بسيطة${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$

إذا كانت جميع الحدود منتهية.

يمكن تعميم التكامل المذكور أعلاه للدوال البسيطة ليشمل فئة أعم من الدوال، وهو ما يُعرف به تكامل لوبيغ . ويستند هذا التعميم إلى الحقيقة التالية.

نظرية . أي دالة قابلة للقياس غير سالبة${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}}$هي النهاية النقطية لمتتالية متزايدة رتيبة من الدوال البسيطة غير السالبة.

يُفهم ضمناً من العبارة أن جبر سيجما في المجال المقابل${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$هو تقييد جبر سيجما بوريل${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$يتم البرهان على النحو التالي. ليكن${\displaystyle f}$لتكن دالة قابلة للقياس غير سالبة معرفة على فضاء القياس${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، قسّم المجال المشترك لـ${\displaystyle f}$داخل${\displaystyle 2^{2n}+1}$الفترات الزمنية،${\displaystyle 2^{2n}}$منها لها طول${\displaystyle 2^{-n}}$أي لكل${\displaystyle n}$، يُعرِّف

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)}$ل${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}$، و${\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}$،

وهي منفصلة وتغطي خط الأعداد الحقيقية غير السالبة (${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N} }$).

والآن، عرّف المجموعات

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,}$ل${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,}$

والتي يمكن قياسها (${\displaystyle A_{n,k}\in \Sigma }$) لأن${\displaystyle f}$يُفترض أن يكون قابلاً للقياس.

ثم التسلسل المتزايد للدوال البسيطة

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$

يتقارب نقطيًا إلى${\displaystyle f}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$لاحظ أنه عندما${\displaystyle f}$إذا كانت محدودة، فإن التقارب يكون منتظمًا.

دالة بوخنر القابلة للقياس

• JFC Kingman, SJ Taylor . مقدمة في القياس والاحتمال ، 1966، كامبريدج.
• S. Lang . التحليل الحقيقي والوظيفي ، 1993، Springer-Verlag.
• دبليو. رودين . التحليل الحقيقي والمركب ، 1987، ماكجرو هيل.
• إتش إل رويدن . التحليل الحقيقي ، 1968، كولير ماكميلان.