لعبة متزامنة
في نظرية الألعاب ، تُعرف اللعبة المتزامنة أو اللعبة الثابتة [ 1 ] بأنها لعبة يختار فيها كل لاعب حركته دون معرفة حركات اللاعبين الآخرين. [ 2 ] وتختلف الألعاب المتزامنة عن الألعاب المتسلسلة ، التي يلعبها اللاعبون بالتناوب (حيث تتناوب الحركات بينهم). بعبارة أخرى، يتحرك كلا اللاعبين عادةً في الوقت نفسه في اللعبة المتزامنة. حتى لو لم يتحرك اللاعبان في الوقت نفسه، فإنهما لا يعلمان بحركة بعضهما البعض عند اتخاذ قراراتهما. [ 3 ] تُستخدم تمثيلات الشكل الطبيعي عادةً للألعاب المتزامنة. [ 4 ] في الألعاب المستمرة ، يمتلك اللاعبون مجموعات معلومات مختلفة إذا كانت اللعبة متزامنة مقارنةً بالألعاب المتسلسلة، لأن لديهم معلومات أقل للتصرف بناءً عليها في كل خطوة من اللعبة. على سبيل المثال، في لعبة مستمرة ثنائية اللاعبين متسلسلة، يمكن للاعب الثاني أن يتصرف استجابةً لحركة اللاعب الأول. لكن هذا غير ممكن في لعبة متزامنة حيث يتصرف كلا اللاعبين في نفس الوقت.
صفات
في الألعاب المتسلسلة، يراقب اللاعبون ما فعله منافسوهم في الماضي، وهناك ترتيب محدد للعب. [ 5 ] أما في الألعاب المتزامنة، فيختار جميع اللاعبين استراتيجياتهم دون مراقبة اختيارات منافسيهم، ويختارون في الوقت نفسه تمامًا. [ 5 ]
من الأمثلة البسيطة على ذلك لعبة حجر-ورقة-مقص، حيث يختار جميع اللاعبين في نفس اللحظة تمامًا. مع ذلك، لا يُؤخذ مصطلح "في نفس اللحظة تمامًا" دائمًا على محمل الجد، فقد يتحرك اللاعبون دون أن يتمكنوا من رؤية اختيارات اللاعبين الآخرين. [ 5 ] مثال بسيط آخر هو الانتخابات، حيث لا يُدلي جميع الناخبين بأصواتهم في نفس الوقت حرفيًا، بل يُدلي كل ناخب بصوته دون أن يعلم باختيارات الآخرين.
بافتراض أن صانعي القرار عقلانيون، فإن العقلانية الفردية كذلك. وتكون النتيجة عقلانية فرديًا إذا حققت لكل لاعب مستوى أمانه على الأقل. [ 6 ] مستوى أمان اللاعب i هو المبلغ الأقصى الأدنى Hi(s) الذي يضمنه اللاعب لنفسه بشكل منفرد، أي دون الأخذ في الاعتبار تصرفات اللاعبين الآخرين.
التمثيل
في لعبة متزامنة، يقوم اللاعبون بتحركاتهم في وقت واحد، ويحددون نتيجة اللعبة ويحصلون على مكافآتهم.
التمثيل الأكثر شيوعًا للعبة المتزامنة هو الشكل الطبيعي (شكل المصفوفة). في لعبة ثنائية اللاعبين، يختار أحد اللاعبين صفًا ويختار الآخر عمودًا في نفس اللحظة. تقليديًا، ضمن كل خلية، يمثل المدخل الأول عائد لاعب الصف، بينما يمثل المدخل الثاني عائد لاعب العمود. الخلية المختارة هي نتيجة اللعبة. [ 4 ] لتحديد الخلية المختارة، يجب مقارنة عوائد كل من لاعب الصف ولاعب العمود. يكون وضع كل لاعب أفضل عندما يكون عائده أعلى.
لعبة حجر-ورقة-مقص ، وهي لعبة يدوية شائعة، مثال على الألعاب المتزامنة. يتخذ كلا اللاعبين قرارًا دون معرفة قرار الخصم، ويكشفان أوراقهما في الوقت نفسه. يوجد لاعبان في هذه اللعبة، ولكل منهما ثلاث استراتيجيات مختلفة لاتخاذ قراره؛ ويُشكّل مجموع هذه الاستراتيجيات (مجموعة كاملة من الاستراتيجيات الممكنة لكل لاعب) جدولًا 3×3. سنعرض استراتيجيات اللاعب الأول كصفوف، واستراتيجيات اللاعب الثاني كأعمدة. في الجدول، تمثل الأرقام الحمراء عائد اللاعب الأول، بينما تمثل الأرقام الزرقاء عائد اللاعب الثاني. وبالتالي، سيكون العائد في لعبة حجر-ورقة-مقص ثنائية اللاعبين كما يلي: [ 4 ]
اللاعب الثاني اللاعب 1 | صخر | ورق | مقص |
|---|---|---|---|
| صخر | 0 0 | 1 -1 | -1 1 |
| ورق | -1 1 | 0 0 | 1 -1 |
| مقص | 1 -1 | -1 1 | 0 0 |
يُعدّ الشكل الموسّع ( شجرة اللعبة ) تمثيلاً شائعاً آخر للألعاب المتزامنة . وتُستخدم مجموعات المعلومات لتسليط الضوء على المعلومات غير الكاملة. ورغم أنه ليس بالأمر البسيط، إلا أنه من الأسهل استخدام أشجار اللعبة للألعاب التي تضم أكثر من لاعبين. [ 4 ]
على الرغم من أن الألعاب المتزامنة تُمثَّل عادةً بالشكل العادي، إلا أنه يمكن تمثيلها أيضًا بالشكل الموسع. في حين أنه في الشكل الموسع، يجب أن يُتخذ قرار أحد اللاعبين قبل قرار الآخر، إلا أن هذا التمثيل، بحكم تعريفه، لا يتوافق مع التوقيت الفعلي لقرارات اللاعبين في لعبة متزامنة. يكمن مفتاح نمذجة الألعاب المتزامنة بالشكل الموسع في الحصول على مجموعات المعلومات الصحيحة. يُمثل الخط المتقطع بين العقد في تمثيل اللعبة بالشكل الموسع عدم تناظر المعلومات ، ويُشير إلى أنه خلال اللعبة، لا يستطيع أي طرف التمييز بين العقد، [ 7 ] نظرًا لعدم علمه بقرار الطرف الآخر (بحسب تعريف "اللعبة المتزامنة").
تتضمن بعض أنواع الشطرنج التي تنتمي إلى هذه الفئة من الألعاب الشطرنج المتزامن وشطرنج التكافؤ. [ 8 ]
لعبة Bimatrix
في لعبة متزامنة، يمتلك كل لاعب حركة واحدة فقط، وتُنفذ جميع الحركات في وقت واحد. يجب تحديد عدد اللاعبين في اللعبة، وسرد جميع الحركات الممكنة لكل لاعب. قد يكون لكل لاعب أدوار وخيارات حركات مختلفة. [ 9 ] ومع ذلك، فإن عدد الخيارات المتاحة لكل لاعب محدود.
لاعبان
مثال على لعبة ثنائية اللاعبين متزامنة:
يوجد في إحدى المدن شركتان، أ و ب، تحقق كل منهما حاليًا 8 ملايين دولار، وتحتاجان إلى تحديد ما إذا كان ينبغي عليهما الإعلان. يوضح الجدول أدناه أنماط العوائد؛ تمثل الصفوف خيارات الشركة أ، وتمثل الأعمدة خيارات الشركة ب. القيم المدخلة هي عوائد الشركتين أ و ب على التوالي، مفصولة بفاصلة. [ 9 ]
| تعلن شركة B | لا يقوم B بالإعلان | |
|---|---|---|
| يعلن أ | 2.2 | 5.1 |
| لا يقوم A بالإعلان | 1.5 | 8.8 |
لاعبان (مجموع صفري)
لعبة المحصلة الصفرية هي لعبة يكون فيها مجموع العوائد مساوياً للصفر في أي نتيجة، أي أن الخاسرين يدفعون ثمن مكاسب الفائزين. في لعبة المحصلة الصفرية بين لاعبين، لا يلزم عرض عائد اللاعب (أ) لأنه معكوس عائد اللاعب (ب). [ 9 ]
مثال على لعبة ثنائية اللاعبين ذات مجموع صفري متزامنة:
يلعب صديقان، أ و ب، لعبة حجر-ورقة-مقص مقابل 10 دولارات. تمثل الخانة الأولى ربحًا قدره 0 لكلا اللاعبين. أما الخانة الثانية فتمثل ربحًا قدره 10 دولارات لأ، والذي يجب أن يدفعه ب، وبالتالي يكون ربح ب -10 دولارات.
| صخر | ورق | مقص | |
|---|---|---|---|
| صخر | 0 | -10 | 10 |
| ورق | 10 | 0 | -10 |
| مقص | -10 | 10 | 0 |
ثلاثة لاعبين أو أكثر
مثال على لعبة ثلاثية اللاعبين متزامنة:
يُجرى تصويتٌ في الصف لتحديد ما إذا كان ينبغي منح الطلاب وقتًا إضافيًا للراحة أم لا. يختار اللاعب (أ) المصفوفة، ويختار اللاعب (ب) الصف، ويختار اللاعب (ج) العمود. [ 9 ] المكافآت هي:
| أصوات من أجل وقت فراغ إضافي | ||
|---|---|---|
| يصوت C للحصول على وقت فراغ إضافي | يصوت C ضد وقت الفراغ الإضافي | |
| يصوت ب لصالح وقت فراغ إضافي | 1,1,1 | 1،1،2 |
| يصوت ب ضد وقت الفراغ الإضافي | 1،2،1 | -1,0,0 |
| التصويت ضد وقت الفراغ الإضافي | ||
|---|---|---|
| يصوت C للحصول على وقت فراغ إضافي | يصوت C ضد وقت الفراغ الإضافي | |
| يصوت ب لصالح وقت فراغ إضافي | 2,1,1 | 0, − 1,0 |
| يصوت ب ضد وقت الفراغ الإضافي | 0,0, − 1 | 0,0,0 |
ألعاب متناظرة
جميع الأمثلة المذكورة أعلاه كانت متناظرة. يمتلك جميع اللاعبين نفس الخيارات، لذا إذا قام اللاعبون بتبديل تحركاتهم، فإنهم يتبادلون أيضًا مكافآتهم. بطبيعتها، الألعاب المتناظرة عادلة حيث تُمنح كل لاعب نفس الفرص. [ 9 ]
الاستراتيجيات - الخيار الأفضل
ينبغي أن توفر نظرية الألعاب للاعبين نصائح حول كيفية إيجاد أفضل خطوة. وتُعرف هذه الاستراتيجيات باسم "استراتيجيات الاستجابة المثلى". [ 10 ]
الاستراتيجية البحتة مقابل الاستراتيجية المختلطة
الاستراتيجيات النقية هي تلك التي يختار فيها اللاعبون استراتيجية واحدة فقط من بين أفضل ردود أفعالهم. تحدد الاستراتيجية النقية جميع تحركاتك الممكنة في اللعبة، وهي خطة كاملة للاعب في لعبة معينة. أما الاستراتيجيات المختلطة فهي تلك التي يختار فيها اللاعبون استراتيجيات عشوائية من بين أفضل ردود أفعالهم. ولكل مجموعة من هذه الاستراتيجيات احتمالات خاصة بها. [ 10 ]
في الألعاب المتزامنة، يختار اللاعبون عادةً استراتيجيات مختلطة، ونادرًا ما يلجؤون إلى استراتيجيات خالصة. والسبب في ذلك هو أنه في لعبة لا يعرف فيها اللاعبون خيارات بعضهم البعض، من الأفضل اختيار الخيار الذي يُرجّح أن يُحقق لك أكبر فائدة بأقل مخاطرة، نظرًا لأن اللاعب الآخر قد يختار أي شيء [ 10 ]، أي إذا اخترتَ أفضل خيار لديك، واختار اللاعب الآخر أيضًا أفضل خيار لديه، فسيتضرر أحدهما.
استراتيجية الهيمنة مقابل الهيمنة
تُتيح الاستراتيجية المهيمنة للاعب تحقيق أعلى عائد ممكن بغض النظر عن استراتيجية اللاعبين الآخرين. في الألعاب المتزامنة، يكون أفضل تحرك يمكن للاعب القيام به هو اتباع استراتيجيته المهيمنة، إن وُجدت. [ 11 ]
عند تحليل لعبة متزامنة:
- حدد أي استراتيجيات مهيمنة لجميع اللاعبين. إذا كان لكل لاعب استراتيجية مهيمنة، فسيلعب اللاعبون تلك الاستراتيجية، أما إذا كان هناك أكثر من استراتيجية مهيمنة، فإن أيًا منها ممكن. [ 11 ]
- إذا لم تكن هناك استراتيجيات مهيمنة، فحدد جميع الاستراتيجيات التي تهيمن عليها استراتيجيات أخرى. ثم استبعد الاستراتيجيات المهيمنة، والاستراتيجيات المتبقية هي التي سيلعبها اللاعبون. [ 11 ]
استراتيجية ماكسيمين
يتوقع بعض الناس الأسوأ دائمًا، ويعتقدون أن الآخرين يسعون لإفشالهم، بينما في الواقع يسعى الآخرون إلى تعظيم مكاسبهم. ومع ذلك، سيركز اللاعب (أ) على أقل مكسب ممكن، معتقدًا أنه سيحصل عليه، وسيختار الخيار ذي القيمة الأعلى. هذا الخيار هو حركة (استراتيجية) ماكسيمين ، لأنه يُعظّم أقل مكسب ممكن. وبالتالي، يمكن للاعب أن يضمن مكسبًا لا يقل عن قيمة ماكسيمين، بغض النظر عن كيفية لعب الآخرين. لا يحتاج اللاعب إلى معرفة عوائد اللاعبين الآخرين لاختيار حركة ماكسيمين، لذلك يمكن للاعبين اختيار استراتيجية ماكسيمين في لعبة متزامنة بغض النظر عما يختاره اللاعبون الآخرون. [ 10 ]
توازن ناش
يُعرَّف توازن ناش الخالص بأنه الحالة التي لا يستطيع فيها أي لاعب تحقيق عائد أعلى بتغيير خطوته، شريطة أن يلتزم الآخرون بخياراتهم الأصلية. وتُعدّ توازنات ناش عقودًا ذاتية التنفيذ، حيث يتم التفاوض قبل بدء اللعبة، ويحرص كل لاعب على الالتزام بالخطوة المتفق عليها. في توازن ناش، يكون رد فعل كل لاعب على خيارات اللاعب الآخر هو الأمثل. [ 11 ]
معضلة السجين
نشأت معضلة السجين على يد ميريل فلود وميلفين دريشر ، وهي من أشهر الألعاب في نظرية الألعاب. وعادةً ما تُعرض اللعبة على النحو التالي:
ألقت الشرطة القبض على اثنين من أعضاء عصابة إجرامية، وهما الآن رهن الحبس الانفرادي. يمتلك الادعاء الأدلة الكافية لإدانة كليهما بتهم أقل خطورة، ولكنه لا يملك الأدلة الكافية لإدانتهما بالتهم الموجهة إليهما. لذلك، يعرض الادعاء على كليهما صفقةً: إما التعاون مع الآخر بالصمت، أو الخيانة، أي الشهادة ضد شريكهما مقابل تخفيف الحكم. تجدر الإشارة إلى أن السجينين ممنوعان من التواصل. [ 12 ] وبالتالي، ينتج عن ذلك مصفوفة العوائد التالية:
السجين ب السجين أ | يلتزم السجين "ب" الصمت ( تعاون ) | السجين ب يعترف (خيانة) |
|---|---|---|
| يلتزم السجين (أ) الصمت ( تعاون ) | تكفي كل منها لمدة عام واحد | السجين أ: 3 سنوات السجين ب: 3 أشهر |
| السجين (أ) يعترف (خيانة) | السجين أ: 3 أشهر السجين ب: 3 سنوات | تكفي كل منها لمدة عامين |
تُفضي هذه اللعبة إلى استراتيجية خيانة مهيمنة بوضوح، حيث يكون توازن ناش القوي الوحيد هو اعتراف كلا السجينين. ويعود ذلك إلى افتراضنا أن كلا السجينين عقلانيان ولا يكنّان أي ولاء للآخر. لذا، تُوفّر الخيانة مكافأة أكبر في أغلب النتائج المحتملة. [ 12 ] إذا تعاون السجين (ب)، فعلى السجين (أ) اختيار الخيانة، لأن قضاء 3 أشهر أفضل من قضاء سنة واحدة. علاوة على ذلك، إذا اختار السجين (ب) الخيانة، فعلى السجين (أ) أيضًا اختيار الخيانة، لأن قضاء سنتين أفضل من قضاء 3 سنوات. من الواضح أن اختيار التعاون يُوفّر نتيجة أفضل للسجينين، إلا أنه من منظور المصلحة الذاتية، يُعتبر هذا الخيار غير عقلاني. يتميز خيار التعاون المذكور آنفًا بأقل مدة إجمالية في السجن، وهي سنتان. هذه المدة أقل بكثير من إجمالي مدة توازن ناش، حيث يتعاون السجينان، وهي 4 سنوات. مع ذلك، ونظرًا للقيود المفروضة على السجينين (أ) و(ب) ودوافعهما الفردية، فإنهما سيختاران الخيانة دائمًا. يفعلان ذلك باختيار الخيار الأفضل لأنفسهما مع مراعاة جميع القرارات المحتملة للسجين الآخر.
معركة الجنسين
في لعبة "صراع الجنسين" ، يقرر الزوجان بشكل مستقل ما إذا كانا سيذهبان إلى مباراة كرة قدم أو عرض باليه. كل منهما يحب قضاء الوقت مع الآخر، لكن الزوج يفضل كرة القدم والزوجة تفضل الباليه. يُحقق توازن ناش، وبالتالي أفضل استجابة لكليهما، اختيارهما نفس النشاط الترفيهي، مثلاً (باليه، باليه) أو (كرة قدم، كرة قدم). [ 11 ] يوضح الجدول أدناه العائد لكل خيار:
| زوجة | |||
|---|---|---|---|
| كرة القدم | الباليه | ||
| زوج | كرة القدم | 3.2 | 1.1 |
| الباليه | 0,0 | 2.3 | |
نتائج مرغوبة اجتماعيا
صُممت الألعاب المتزامنة لتوجيه الخيارات الاستراتيجية في البيئات التنافسية وغير التعاونية. مع ذلك، من المهم ملاحظة أن توازنات ناش والعديد من الاستراتيجيات المذكورة آنفًا لا تُفضي عمومًا إلى نتائج مرغوبة اجتماعيًا.
أمثلية باريتو
كفاءة باريتو مفهومٌ متجذرٌ في البنية النظرية للمنافسة الكاملة . نشأ هذا المفهوم على يد الاقتصادي الإيطالي فيلفريدو باريتو، ويشير إلى حالةٍ يحقق فيها الاقتصاد أقصى كفاءةٍ ممكنةٍ من حيث تخصيص الموارد. ترتبط كفاءة باريتو ارتباطًا وثيقًا بأمثلية باريتو ، وهي مُثُلٌ عليا في اقتصاديات الرفاه ، وغالبًا ما تنطوي على اعتبارٍ أخلاقي. على سبيل المثال، يُقال إن لعبةً متزامنةً تصل إلى أمثلية باريتو إذا لم يكن هناك بديلٌ يُمكن أن يُحسّن وضع لاعبٍ واحدٍ على الأقل مع الحفاظ على وضع جميع اللاعبين الآخرين على الأقل. ولذلك، تُسمى هذه النتائج بالنتائج المرغوبة اجتماعيًا. [ 13 ]
صيد الغزلان
لعبة صيد الأيل، كما وصفها الفيلسوف جان جاك روسو، هي لعبة متزامنة بين لاعبين. يكمن القرار في اختيار كل لاعب بين صيد الأيل أو الأرنب. من الطبيعي أن يكون صيد الأيل أكثر فائدة من صيد الأرنب. مع ذلك، يتطلب صيد الأيل تعاون اللاعبين. في المقابل، يستطيع كل لاعب صيد الأرنب بمفرده. تكمن المعضلة في عدم قدرة أي من اللاعبين على التنبؤ بخيار الآخر. وبالتالي، قد لا يحصل اللاعب الذي يختار صيد الأيل وحده على أي مكافأة. [ 14 ] لذا، ينتج عن ذلك مصفوفة العوائد التالية:
| غزال | أرنبة | |
|---|---|---|
| غزال | 3.3 | 0.1 |
| أرنبة | 1.0 | 1.1 |
صُممت اللعبة لتوضيح مبدأ باريتو الأمثل حيث يتعاون اللاعبان لاصطياد غزال. مع ذلك، ونظرًا للمخاطر الكامنة في اللعبة، لا يتحقق هذا الهدف دائمًا. من المهم الإشارة إلى أن مبدأ باريتو الأمثل ليس حلاً استراتيجيًا للألعاب المتزامنة. مع ذلك، يُطلع هذا المبدأ اللاعبين على إمكانية تحقيق نتائج أكثر فعالية، كما يُقدم رؤى قيّمة حول كيفية تطوير اللاعبين لمهاراتهم مع مرور الوقت. [ 15 ]
انظر أيضاً
مراجع
- ↑ بيبال، لين، 1952- (28-01-2014). التنظيم الصناعي : النظرية المعاصرة والتطبيقات التجريبية . ريتشاردز، دانيال جاي، نورمان، جورج، 1946- ( الطبعة الخامسة). هوبوكين، نيوجيرسي. ISBN 978-1-118-25030-3. OCLC 788246625 .
{{cite book}}: صيانة CS1: موقع الناشر مفقود ( رابط ) صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط ) - ↑ http://www-bcf.usc.edu الطريق إلى التوازن في الألعاب المتسلسلة والمتزامنة (بروكاس، كاريلو، ساشديفا؛ 2016).
- ↑ الاقتصاد الإداري: الطبعة الثالثة . ماكجرو هيل للتعليم (الهند) المحدودة. 2018. ISBN 978-93-87067-63-9.
- 1 2 3 4 مايلات، جورج ج.؛ سامويلسون، لاري؛ سوينكلز، جيرون م. (1993). "الاستدلال بالصيغة الموسعة في ألعاب الصيغة الطبيعية" . إيكونومتريكا . 61 ( 2): 273-302 . doi : 10.2307/2951552 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 2951552. S2CID 9876487 .
- 1 2 3 صن، سي.، 2019. الاختيار المتزامن والمتسلسل في لعبة متناظرة ثنائية اللاعبين ذات عوائد على شكل وادٍ. المجلة الاقتصادية اليابانية، [متاح عبر الإنترنت] على الرابط التالي: < https://www.researchgate.net/publication/332377544_Simultaneous_and_Sequential_Choice_in_a_Symmetric_Two-Player_Game_with_Canyon-Shaped_Payoffs > [تم الاطلاع بتاريخ 30 أكتوبر 2020].
- ^ فيرنينجو، ماتياس. كالدينتي، إستيبان بيريز؛ روسر جونيور، باركلي جي، محرران. (2020). UM تسجيل الدخول . دوى : 10.1057/978-1-349-95121-5 . رقم ISBN 978-1-349-95121-5. S2CID 261084293 . تم الاسترجاع بتاريخ 2021-11-20 .
{{cite book}}تم|website=تجاهله ( مساعدة ) - 1 2 واتسون، جويل. (9 مايو 2013). الاستراتيجية : مقدمة في نظرية الألعاب ( الطبعة الثالثة). نيويورك. ISBN 978-0-393-91838-0. OCLC 842323069 .
{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) - ^ إيه في ، مورالي (2014/10/07). "الشطرنج المتساوي" . مدَّوِن . تم الاسترجاع 2017/01/15 .
- 1 2 3 4 5 بريسنر، إي.، 2014. نظرية الألعاب من خلال الأمثلة. الجمعية الرياضية الأمريكية [متاح عبر الإنترنت] سويسرا: الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 25-30. متاح على الرابط: https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ebooks/GTE_sample.pdf > تاريخ الوصول: 30 أكتوبر 2020
- 1 2 3 4 روس، د.، 2019. نظرية الألعاب. موسوعة ستانفورد للفلسفة، [متاحة عبر الإنترنت] ص 7-80. متاح على الرابط التالي: < https://plato.stanford.edu/entries/game-theory > [تم الاطلاع بتاريخ 30 أكتوبر 2020].
- 1 2 3 4 5 مونوز-غارسيا، ف. وتورو-غونزاليس، د.، 2016. توازن ناش للاستراتيجية البحتة وألعاب الحركة المتزامنة بمعلومات كاملة. الاستراتيجية ونظرية الألعاب، [متاح عبر الإنترنت]، ص 25-60. متاح على الرابط التالي: < https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32963-5_2 > [تم الاطلاع بتاريخ 30 أكتوبر 2020].
- 1 2 م.، أماداي، س. (2016). سجناء العقل : نظرية الألعاب والاقتصاد السياسي النيوليبرالي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-67119-5. OCLC 946968759 .
{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) - ↑ بيرتونيه، إيرين؛ ديلكليت، توماس (10-10-2014)، "الكفاءة المثلى لباريتو أم كفاءة باريتو: مفهوم واحد، أسماء مختلفة؟ تحليل لأكثر من قرن من الأدبيات الاقتصادية" ، حولية بحثية ، دار نشر إميرالد غروب المحدودة، ص 129-145 ، doi : 10.1108/s0743-415420140000032005 ، ISBN 978-1-78441-154-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أبريل 2021
- ↑ فاندرشراف، بيتر (2016). "في استراتيجية الهيمنة الضعيفة تكمن القوة: تطور الأمثلية في صيد الغزلان المعزز بخيار العقاب" . فلسفة العلوم . 83 (1): 29-59 . doi : 10.1086/684166 . ISSN 0031-8248 . S2CID 124619436 .
- ↑ هاو، جياني؛ ليونغ، هو-فونغ (2013). "تحقيق النتائج المثلى اجتماعيًا في أنظمة متعددة الوكلاء باستخدام التعلم الاجتماعي المعزز" . معاملات ACM في الأنظمة المستقلة والتكيفية . 8 (3): 1-23 . doi : 10.1145/2517329 . ISSN 1556-4665 . S2CID 7496856 .
فهرس
- بريتشارد، د.ب. (2007). بيزلي، جون (محرر). الموسوعة المصنفة لأنواع الشطرنج . جون بيزلي. ISBN 978-0-9555168-0-1.
- نظرية الألعاب، دروس الألعاب
- نظرية الألعاب