التكامل المفرد

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ التكاملات الشاذة أساسية في التحليل التوافقي ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. وبشكل عام، يُعتبر التكامل الشاذ مؤثرًا تكامليًا.

تي(و)(x)=∫ك(x،y)و(y)دy،{\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}

دالة النواة الخاصة بهاك:Rن×Rن→R{\displaystyle K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }مفرد على طول القطرx=y{\displaystyle x=y}وبالتحديد، فإن التفرد هو من النوع الذي|ك(x،y)|{\displaystyle |K(x,y)|}حجمه|x-y|-ن{\displaystyle |xy|^{-n}}بشكل تقاربي كما|x-y|→0{\displaystyle |xy|\to 0}بما أن هذه التكاملات قد لا تكون قابلة للتكامل المطلق بشكل عام، فإن التعريف الدقيق يجب أن يُعرّفها على أنها نهاية التكامل على|y-x|→ϵ{\displaystyle |yx|\to \epsilon }مثلϵ→0{\displaystyle \epsilon \to 0}لكن في الواقع، هذا مجرد تفصيل تقني. عادةً ما تكون هناك حاجة إلى افتراضات إضافية للحصول على نتائج مثل محدوديتها على فضاءات Lp ، على سبيل المثال.لص(Rن){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.

تحويل هيلبرت

يُعد تحويل هيلبرت مثالاً نموذجياً على عامل التكامل المفردح{\displaystyle H}يتم الحصول عليها عن طريق الالتفاف على النواةك(x)=1/(πx){\displaystyle K(x)=1/(\pi x)}لx{\displaystyle x}فيR{\displaystyle \mathbb {R} }وبشكل أدق،

ح(و)(x)=1πليمε→0∫|x-y|>ε1x-yو(y)دy.{\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|xy|>\varepsilon }{\frac {1}{xy}}f(y)\,dy.}

أبسط نظائر هذه التحويلات في الأبعاد الأعلى هي تحويلات ريز ، التي تحل محلهاك(x)=1/x{\displaystyle K(x)=1/x}مع

كأنا(x)=xأنا|x|ن+1{\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}

أينأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,...,n}و xأنا{\displaystyle x_{i}}هوأنا{\displaystyle i}المكون رقم - منx{\displaystyle x}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}جميع هذه المؤثرات محدودة علىلص{\displaystyle L^{p}}وتلبية النوع الضعيف(1،1){\displaystyle (1,1)}التقديرات. [ 1 ]

التكاملات المفردة من نوع الالتفاف

التكامل المفرد من نوع الالتفاف هو مؤثرتي{\displaystyle T}يتم تعريفها عن طريق الالتفاف مع النواةك{\displaystyle K}قابل للتكامل محليًا علىRن∖{0}{\displaystyle R^{n}\setminus \{0\}}، بمعنى أن

لنفترض أن النواة تحقق ما يلي:

  1. شرط الحجم على تحويل فورييه لـك{\displaystyle K}
    ك^∈ل∞(Rن){\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
  2. شرط النعومة : لبعضج>0{\displaystyle C>0}،
    رشفةy≠0∫|x|>2|y||ك(x-y)-ك(x)|دx≤ج.{\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(xy)-K(x)|\,dx\leq C.}

ثم يمكن إثبات ذلكتي{\displaystyle T}يحدهالص(Rن){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}ويلبي نوعاً ضعيفاً(1،1){\displaystyle (1,1)}تقدير.

الخاصية 1 ضرورية لضمان أن عملية الالتفاف ( 1 ) مع توزيع pv المعتدل ك{\displaystyle K}معطى بواسطة التكامل ذي القيمة الرئيسية

ص.v.ك[ϕ]=ليمϵ→0+∫|x|>ϵϕ(x)ك(x)دx{\displaystyle \operatorname {pv} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}

هو مُضاعِف فورييه مُحدَّد جيدًا علىل2{\displaystyle L^{2}}ليس من السهل بالضرورة التحقق من أي من الخاصيتين 1 أو 2، وتوجد مجموعة متنوعة من الشروط الكافية. عادةً ما يتضمن التطبيق شرط إلغاء أيضًا.

∫R1<|x|<R2ك(x)دx=0، ∀R1،R2>0{\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}

وهو أمر يسهل التحقق منه. على سبيل المثال، يتم ذلك تلقائيًا إذاك{\displaystyle K}هي دالة فردية . إذا افترضنا، بالإضافة إلى ذلك، أن 2، وشرط الحجم التالي

رشفةR>0∫R<|x|<2R|ك(x)|دx≤ج،{\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}

عندئذٍ يمكن إثبات أن 1. يتبع.

من حيث المبدأ، يصعب التحقق من شرط النعومة 2، وهو الشرط الكافي التالي للنواةك{\displaystyle K}يمكن استخدامها:

  • ك∈ج1(Rن∖{0}){\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}
  • |∇ك(x)|≤ج|x|ن+1{\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}

لاحظ أن هذه الشروط متحققة بالنسبة لتحويلات هيلبرت وريز، لذا فإن هذه النتيجة هي امتداد لتلك النتيجة. [ 2 ]

التكاملات المفردة من النوع غير التلفيفي

هذه مؤثرات أكثر عمومية. ومع ذلك، نظرًا لأن افتراضاتنا ضعيفة للغاية، فليس بالضرورة أن تكون هذه المؤثرات محدودة علىلص{\displaystyle L^{p}}.

حبوب كالديرون-زيغموند

وظيفةك:Rن×Rن→R{\displaystyle K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }يُقال إنها نواة كالديرون - زيغموند إذا استوفت الشروط التالية لبعض الثوابتج>0{\displaystyle C>0}ودلتا>0{\displaystyle \delta >0}[ 2 ]​

  1. |ك(x،y)|≤ج|x-y|ن{\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|xy|^{n}}}}
  2. |ك(x،y)-ك(x′،y)|≤ج|x-x′|دلتا(|x-y|+|x′-y|)ن+دلتا حينما |x-x′|≤12الأعلى(|x-y|،|x′-y|){\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|xx'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ عندما }}|xx'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy|,|x'-y|{\bigr )}}
  3. |ك(x،y)-ك(x،y′)|≤ج|y-y′|دلتا(|x-y|+|x-y′|)ن+دلتا حينما |y-y′|≤12الأعلى(|x-y′|،|x-y|){\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|yy'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|xy'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ عندما }}|yy'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy'|,|xy|{\bigr )}}

التكاملات المفردة من النوع غير التلفيفي

تي{\displaystyle T}يُقال إنها مؤثر تكاملي منفرد من نوع غير التفافي مرتبط بنواة كالديرون - زيغموندك{\displaystyle K}لو

∫ز(x)تي(و)(x)دx=∬ز(x)ك(x،y)و(y)دyدx،{\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}

حينماو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}تكون هذه المؤثرات سلسة ولها نطاق دعم منفصل. [ 2 ] ولا يشترط أن تكون هذه المؤثرات محدودة علىلص{\displaystyle L^{p}}

مشغلو كالديرون – زيغموند

تكامل منفرد من نوع غير التفافيتي{\displaystyle T} مرتبط بنواة كالديرون – زيغموندك{\displaystyle K} يُطلق عليه اسم مؤثر كالديرون - زيغموند عندما يكون محدودًا علىل2{\displaystyle L^{2}}أي أن هناك ج>0{\displaystyle C>0}بحيث

‖تي(و)‖ل2≤ج‖و‖ل2،{\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}

لجميع أنواع الدعم السلس والمدمج ƒ.

يمكن إثبات أن هذه المؤثرات محدودة في الواقع على جميعلص{\displaystyle L^{p}}مع1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }.

التي(ب){\displaystyle T(b)}نظرية

التي(ب){\displaystyle T(b)}تُقدّم هذه النظرية شروطًا كافية لكي يكون المؤثر التكاملي المفرد مؤثر كالديرون-زيغموند، أي لكي يكون المؤثر التكاملي المفرد المرتبط بنواة كالديرون-زيغموند محدودًا علىل2{\displaystyle L^{2}}لكي نذكر النتيجة، يجب علينا أولاً تعريف بعض المصطلحات.

النتوء المعياري هو دالة سلسةφ{\displaystyle \varphi }علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}مدعومة في كرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل بحيث|∂αφ(x)|<1{\displaystyle |\partial ^{\alpha }\varphi (x)|<1}، لجميع المؤشرات المتعددة|α|≤ن+2{\displaystyle |\alpha |\leq n+2}. يُرمز إليه بـτx(φ)(y)=φ(y-x){\displaystyle \tau ^{x}(\varphi )(y)=\varphi (y-x)}وφر(x)=ر-نφ(x/ر){\displaystyle \varphi _{r}(x)=r^{-n}\varphi (x/r)}للجميعx{\displaystyle x}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ور>0{\displaystyle r>0}يُقال إن المؤثر محدود بشكل ضعيف إذا كان هناك ثابتج{\displaystyle C}بحيث

|∫تي(τx(φر))(y)τx(ψر)(y)دy|≤جر-ن{\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}

لجميع النتوءات المعياريةφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }يُقال إن الدالة تراكمية إذا كان هناك ثابتج>0{\displaystyle c>0}بحيثRهـ(ب)(x)≥ج{\displaystyle Re(b)(x)\geq c}للجميعx{\displaystyle x}فيR{\displaystyle \mathbb {R} }. يُرمز إليه بـمب{\displaystyle M_{b}}المؤثر الناتج عن الضرب بدالةب{\displaystyle b}.

التي(ب){\displaystyle T(b)}تنص النظرية على أن عامل التكامل المفردتي{\displaystyle T}تكون الدالة المرتبطة بنواة كالديرون-زيغموند محدودة علىل2{\displaystyle L^{2}}إذا استوفت جميع الشروط الثلاثة التالية لبعض الدوال التراكمية المحدودةب1{\displaystyle b_{1}}وب2{\displaystyle b_{2}}: [ 3 ]

  1. مب2تيمب1{\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}محدود بشكل ضعيف؛
  2. تي(ب1){\displaystyle T(b_{1})}موجود في بنك مونتريال (BMO )؛
  3. تيت(ب2)،{\displaystyle T^{t}(b_{2}),}يقع في بنك مونتريال ، حيثتيت{\displaystyle T^{t}}هو عامل النقل لـ تي{\displaystyle T}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ شتاين، إلياس (1993). "التحليل التوافقي". مطبعة جامعة برينستون.
  2. 1 2 3 Grafakos, Loukas (2004), "7", التحليل الكلاسيكي والحديث لفورييه ، نيو جيرسي: Pearson Education, Inc.
  3. ^ ديفيد. سيميس. جورنيه (1985). “Opérateurs de Calderón – Zygmund، fonctions para-accrétives and interpolation” (بالفرنسية). المجلد. 1. Revista Matemática Iberoamericana. ص 1 – 56.  

مراجع